Ιρλανδική ολυμπιάδα 2012
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Ιρλανδική ολυμπιάδα 2012
Πρώτο μέρος: http://euclid.ucc.ie/pages/MATHENR/IrMO2012paper1.pdf
Δεύτερο μέρος: http://euclid.ucc.ie/pages/MATHENR/IrMO2012paper2.pdf
Θα προστεθούν σιγά σιγά και στα ελληνικά!
Δεύτερο μέρος: http://euclid.ucc.ie/pages/MATHENR/IrMO2012paper2.pdf
Θα προστεθούν σιγά σιγά και στα ελληνικά!
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Ιρλανδική ολυμπιάδα 2012
1. Έστω και
Βρείτε δύο σύνολα και τέτοια ώστε
(α)
(β)
(γ) το άθροισμα δύο διαφορετικών στοιχείων του δεν ανήκει στο
(δ) το άθροισμα δύο διαφορετικών στοιχείων του δεν ανήκει στο .
2. Τα σημεία βρίσκονται, με αυτή τη σειρά, στην περιφέρεια κύκλου Η είναι κάθετη στην και η στην Το σημείο βρίσκεται στην περιφέρεια του κύκλου, ανάμεσα στα και Η , προεκτεινόμενη, τέμνει την προέκταση της στο και η , προεκτεινόμενη, τέμνει την προέκταση της στο
Να δείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του και ότι η κοινή εφαπτομένη περνά από το κέντρο του
3. Βρείτε όλα τα πολυώνυμα με μη αρνητικούς ακέραιους συντελεστές και τέτοια ώστε και
(Το είδαμε εδώ)
4. Υπάρχουν άπειρα τρίγωνα με τις ιδιότητες:
(α) τα μήκη των πλευρών τους είναι ακέραιοι με ΜΚΔ το 1 και
(β) μία, και μόνο μία, γωνία τους είναι ίση με
Ένα τέτοιο τρίγωνο έχει μήκη πλευρών Βρείτε άλλα δύο τέτοια τρίγωνα.
(Δείτε και εδώ)
5. (α) Δείξτε ότι αν και είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε
(β) Αποδείξτε ότι η σταθερή είναι η καλύτερη δυνατή.
Με άλλα λόγια, αποδείξτε ότι για κάθε υπάρχουν θετικοί πραγματικοί αριθμοί και τέτοιοι ώστε
(Το είδαμε εδώ)
6. Έστω το άθροισμα των ψηφίων (στο δεκαδικό σύστημα) του αριθμού Για παράδειγμα,
Δείξτε ότι δεν υπάρχει ακέραιος για τον οποίο
7. Θεωρούμε τρίγωνο με Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στα σημεία και Ο κύκλος κέντρου και ακτίνας τέμνει την ευθεία σε δύο σημεία και Η ευθεία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στα και
Να αποδείξετε ότι το είναι το ορθόκεντρο του
8. Να δείξετε ότι
(Το είδαμε εδώ)
9. Έστω ένας ακέραιος. Να δείξετε ότι ο αριθμός διαιρείται με δύο τουλάχιστον διαφορετικούς πρώτους.
(Το είδαμε εδώ)
10. Έστω ένας θετικός ακέραιος. Σε κάθε γωνία ενός τετραγωνικού πίνακα κάθεται ένα ποντίκι όπως φαίνεται πιο κάτω για την περίπτωση .
Τα ποντίκια θα κινηθούν με μια ακολουθία βημάτων με τον ακόλουθο τρόπο:
(α) Σε κάθε βήμα, κάθε ένα από τα τέσσερα ποντίκια ταξιδεύει απόσταση μίας μονάδας σε οριζόντια ή κάθετη κατεύθυνση. Κάθε μονάδα απόστασης ονομάζεται μία ακμή του πίνακα και λέμε ότι κάθε ποντίκι χρησιμοποιεί μια ακμή του πίνακα.
(β) Μια ακμή δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί δύο φορές προς την ίδια κατεύθυνση.
(γ) Το πολύ δύο ποντίκια μπορούν να καταλαμβάνουν το ίδιο σημείο στον πίνακα ανά πάσα στιγμή.
Τα ποντίκια επιθυμούν να οργανώσουν συλλογικά τις κινήσεις τους έτσι ώστε κάθε ακμή του πίνακα να χρησιμοποιηθεί δύο φορές (όχι απαραίτητα από το ίδιο ποντίκι), και κάθε ποντίκι να τελειώσει στο σημείο εκκίνησής του. Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες τα ποντίκια μπορούν να επιτύχουν αυτόν το στόχο.
Ευχαριστώ το Δημήτρη για τη μετάφραση του τελευταίου θέματος!
Βρείτε δύο σύνολα και τέτοια ώστε
(α)
(β)
(γ) το άθροισμα δύο διαφορετικών στοιχείων του δεν ανήκει στο
(δ) το άθροισμα δύο διαφορετικών στοιχείων του δεν ανήκει στο .
2. Τα σημεία βρίσκονται, με αυτή τη σειρά, στην περιφέρεια κύκλου Η είναι κάθετη στην και η στην Το σημείο βρίσκεται στην περιφέρεια του κύκλου, ανάμεσα στα και Η , προεκτεινόμενη, τέμνει την προέκταση της στο και η , προεκτεινόμενη, τέμνει την προέκταση της στο
Να δείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του και ότι η κοινή εφαπτομένη περνά από το κέντρο του
3. Βρείτε όλα τα πολυώνυμα με μη αρνητικούς ακέραιους συντελεστές και τέτοια ώστε και
(Το είδαμε εδώ)
4. Υπάρχουν άπειρα τρίγωνα με τις ιδιότητες:
(α) τα μήκη των πλευρών τους είναι ακέραιοι με ΜΚΔ το 1 και
(β) μία, και μόνο μία, γωνία τους είναι ίση με
Ένα τέτοιο τρίγωνο έχει μήκη πλευρών Βρείτε άλλα δύο τέτοια τρίγωνα.
(Δείτε και εδώ)
5. (α) Δείξτε ότι αν και είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, τότε
(β) Αποδείξτε ότι η σταθερή είναι η καλύτερη δυνατή.
Με άλλα λόγια, αποδείξτε ότι για κάθε υπάρχουν θετικοί πραγματικοί αριθμοί και τέτοιοι ώστε
(Το είδαμε εδώ)
6. Έστω το άθροισμα των ψηφίων (στο δεκαδικό σύστημα) του αριθμού Για παράδειγμα,
Δείξτε ότι δεν υπάρχει ακέραιος για τον οποίο
7. Θεωρούμε τρίγωνο με Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στα σημεία και Ο κύκλος κέντρου και ακτίνας τέμνει την ευθεία σε δύο σημεία και Η ευθεία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στα και
Να αποδείξετε ότι το είναι το ορθόκεντρο του
8. Να δείξετε ότι
(Το είδαμε εδώ)
9. Έστω ένας ακέραιος. Να δείξετε ότι ο αριθμός διαιρείται με δύο τουλάχιστον διαφορετικούς πρώτους.
(Το είδαμε εδώ)
10. Έστω ένας θετικός ακέραιος. Σε κάθε γωνία ενός τετραγωνικού πίνακα κάθεται ένα ποντίκι όπως φαίνεται πιο κάτω για την περίπτωση .
Τα ποντίκια θα κινηθούν με μια ακολουθία βημάτων με τον ακόλουθο τρόπο:
(α) Σε κάθε βήμα, κάθε ένα από τα τέσσερα ποντίκια ταξιδεύει απόσταση μίας μονάδας σε οριζόντια ή κάθετη κατεύθυνση. Κάθε μονάδα απόστασης ονομάζεται μία ακμή του πίνακα και λέμε ότι κάθε ποντίκι χρησιμοποιεί μια ακμή του πίνακα.
(β) Μια ακμή δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί δύο φορές προς την ίδια κατεύθυνση.
(γ) Το πολύ δύο ποντίκια μπορούν να καταλαμβάνουν το ίδιο σημείο στον πίνακα ανά πάσα στιγμή.
Τα ποντίκια επιθυμούν να οργανώσουν συλλογικά τις κινήσεις τους έτσι ώστε κάθε ακμή του πίνακα να χρησιμοποιηθεί δύο φορές (όχι απαραίτητα από το ίδιο ποντίκι), και κάθε ποντίκι να τελειώσει στο σημείο εκκίνησής του. Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες τα ποντίκια μπορούν να επιτύχουν αυτόν το στόχο.
Ευχαριστώ το Δημήτρη για τη μετάφραση του τελευταίου θέματος!
Θανάσης Κοντογεώργης
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ιρλανδική ολυμπιάδα 2012
Μιας και έμεινε άλυτη ...
Έστω ότι ο έχει ψηφία.
Τότε, και .
Οπότε, .
Οπότε, .
Αν όμως , είναι (εύκολη απόδειξη με επαγωγή).
Άρα, πρέπει αναγκαστικά , δηλαδή ο έχει το πολύ ψηφία.
Επίσης, , συνεπώς , άρα ο (αν υπάρχει) θα είναι της μορφής με .
Άρα, .
Τελικά, συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχει τέτοιος .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Δημοσιεύσεις: 219
- Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Re: Ιρλανδική ολυμπιάδα 2012
socrates έγραψε: ↑Δευ Δεκ 10, 2012 2:51 pm
7. Θεωρούμε τρίγωνο με Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στα σημεία και Ο κύκλος κέντρου και ακτίνας τέμνει την ευθεία σε δύο σημεία και Η ευθεία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στα και
Να αποδείξετε ότι το είναι το ορθόκεντρο του
Ευχαριστώ το Δημήτρη για τη μετάφραση του τελευταίου θέματος!
Έστω τότε η διχοτόμος της τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στο kai . Η μεσοκάθετη της τέμνει την μόνο σε ένα σημείο αφού οι ευθείες δεν ταυτίζονται άρα υπάρχει μόνο ένα σημείο της διχοτόμου που να ισαπέχει από τα οπότε . Όμως τώρα εγγράψιμο αλλά το δεν ανοίκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του οπότε καταλήγουμε σε άτοπο. Άρα και (i) (Aφού η ΑD είναι και δοχοτόμος στο ισοσκελές). δοχοτομεί αφού από εγγράψιμο και από τον κύκλο τον δεύτερο της εκφώνησεις . Θεωρούμε και με τον ίδιο τρόπο όπως πριν καταλήγουμε σε άτοπο και μετά βγάζουμε το ίδιο συμπέρασμα δηλαδή (ii). Από (i),(ii) ορθόκεντρο
τελευταία επεξεργασία από Xriiiiistos σε Πέμ Ιαν 17, 2019 4:56 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ιρλανδική ολυμπιάδα 2012
Έστω το κέντρο του κύκλου .socrates έγραψε: ↑Δευ Δεκ 10, 2012 2:51 pm
2. Τα σημεία βρίσκονται, με αυτή τη σειρά, στην περιφέρεια κύκλου Η είναι κάθετη στην και η στην Το σημείο βρίσκεται στην περιφέρεια του κύκλου, ανάμεσα στα και Η , προεκτεινόμενη, τέμνει την προέκταση της στο και η , προεκτεινόμενη, τέμνει την προέκταση της στο
Να δείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του και ότι η κοινή εφαπτομένη περνά από το κέντρο του
Αν δείξω ότι η εφάπτεται στον κύκλο και στον , τότε οι δύο κύκλοι εφάπτεται και η κοινή εφαπτόμενη περνά από το .
Είναι, η εφάπτεται στον κύκλο .
Όμοια εφάπτεται και στον , και άρα η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες