mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Δεκ 09, 2012 10:49 pm**

Έστω

και

θετικοί ακέραιοι με πρώτους παράγοντες όχι μεγαλύτερους του

Βρείτε όλους αυτούς τους x,y

αν

για κάποιο μη αρνητικό ακέραιο

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Δεκ 10, 2012 11:26 pm**

Η εξίσωση μας δίνει:
(x-y)(x+y)=2^k

Άρα μπορώ να θέσω : x+y=2^m

και

και υποθέτω ακόμα ότι: m+n=k

και

. Τότε :

και

. Αν τώρα θέσω t=m-n

βγαίνει ότι:
$x=2^{n-1}(2^t+1)$ και $y=2^{n-1}(2^t-1)$
με t=1,2

αφού οι λύσεις έχουν πρώτους παράγοντες το πολύ μέχρι 5. Άρα οι λύσεις είναι:
$(x,y)=(2^{n-1}3,2^{n-1}),(2^{n-1}5,2^{n-1}3)$

Ιδιότυπη διοφαντική!