Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1801

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 14, 2018 12:59 am
ΑΣΚΗΣΗ 601: Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x,y}$ είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύει ότι

$\displaystyle{\sqrt{2x-7}=19-y^2}$ , ...

Ακόμα καλύτερα, λύστε την παραπάνω εξίσωση.

#1802

matha έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 14, 2018 10:11 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 14, 2018 12:59 am
ΑΣΚΗΣΗ 601: Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x,y}$ είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύει ότι

$\displaystyle{\sqrt{2x-7}=19-y^2}$ , ...
Ακόμα καλύτερα, λύστε την παραπάνω εξίσωση.

Καλημέρα Θάνο.

Την έθεσα έτσι, για να δούμε αν οι μαθητές (απευθύνεται σε Γ Γυμνασίου, αρχάριους) θα έκαναν αντικατάσταση και τα δύο ζεύγη τιμών στην ζητούμενη σχέση ή αν θα αρκούνταν μόνο στο ένα...

#1803

ΑΣΚΗΣΗ 602: Έστω $\displaystyle{a=(-1)^{-1}.(\frac{1}{2})^{-2}.(-3)^{-3}.(-4)^4 .(-5)^{-5}.6^6}$

και $\displaystyle{b}$ ακέραιος με $\displaystyle{- 15.2^{10}<b<-15.2^6}$ . Αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός $\displaystyle{x=\sqrt{2\sqrt{ab}}}$ είναι ρητός, να βρεθεί

ο ακέραιος $\displaystyle{b}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1804

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 27, 2015 1:26 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 564: (Βαθμός δυσκολίας 4, με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10). Να βρείτε ένα πολυώνυμο $\displaystyle{P(x)}$ με ακεραίους συντελεστές,

τέτοιο ώστε να υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί $\displaystyle{x_1 , x_2 , ... , x_n}$ , ώστε οι αριθμοί $\displaystyle{P(x_1 ), P(x_2 ) , ... , P(x_n )}$ να είναι όλοι τους πρώτοι και διαφορετικοί

μεταξύ τους

Δεν θα γράψω λύση γιατί την ξέρω ήδη αλλά θέλω να κάνω ένα ιστορικό σχόλιο και να θέσω ένα συμπληρωματικό ερώτημα.

Ιστορικό σχόλιο: Ο Euler βρήκε ένα απίστευτο τέτοιο πολυώνυμο. Είναι μόνο δευτέρου βαθμού και όμως δίνει διαφορετικούς πρώτους για διαδοχικές τιμές του , τις . Λίγο αργότερα ο Legendre το ξαναβρήκε (σε ισοδύναμη μορφή) ανεξάρτητα από τον Euler.

Συμπλήρωμα: Δείξτε ότι δεν υπάρχει μη σταθερό πολυώνυμο $\displaystyle{P$ με ακεραίους συντελεστές, που να δίνει διαφορετικούς πρώτους για όλα τα $x \in \mathbb N$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

Η λύση της άσκησης 564 είναι απλή.
Αρκεί να πάρουμε το P(x)=2x+1

Μάλιστα παίρνουμε όλους τους πρώτους εκτός του

.

Μενέλαος · #1805

matha έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 13, 2012 1:09 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Από τη βόρεια Εύβοια στέλνω την παρακάτω άσκηση στην ωραία πρωτοβουλία του Γιώργου
-----------------------
Άσκηση 8

Αν $\displaystyle{x=\dfrac{\overline{777\dots 75}}{\overline{777\dots 78}}}$ , $\displaystyle{~~ y=\dfrac{\overline{888 \dots 85}}{\overline{888\dots 89}}}$

και οι όροι των κλασμάτων έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων, να αποδείξετε ότι
Ας είναι

$\displaystyle{a=\overline{77\cdots 75}}$ και $\displaystyle{b=\overline{88\cdots 85}.}$

Τότε,

$\displaystyle{x=\frac{a}{a+3}}$ και $\displaystyle{y=\frac{b}{b+4}.}$

Επειδή $\displaystyle{x,y>0,}$ αρκεί να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\frac{1}{x}<\frac{1}{y},}$

δηλαδή ότι

$\displaystyle{3b<4a.}$

Όμως, είναι

$\displaystyle{3b=3\cdot 8\cdot \overline{\underbrace{11\cdots 1}_{n}0}+15=24 \cdot \overline{\underbrace{11\cdots 1}_{n}0}+15,}$

και

$\displaystyle{4a=4\cdot 7\cdot \overline{\underbrace{11\cdots 1}_{n}0}+20=28 \cdot \overline{\underbrace{11\cdots 1}_{n}0}+20.}$

#1806

Μενέλαε, καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Υπάρχει κάποιος λόγος που έστειλες το προηγούμενο μήνυμα, που είναι το ποστ άλλου πριν από

χρόνια; Χάνω κάτι;

Μενέλαος · #1807

sokratis lyras έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 31, 2012 8:33 pm

exdx έγραψε:Άσκηση 20

Να βρεθούν όλες οι τριάδες ακεραίων αριθμών $\displaystyle{\,\,\,\,\left( {x,y,z} \right)}$ που ικανοποιούν τη σχέση

$\displaystyle{xyz - 2(xy + xz + yz) + 4(x + y + z) = 7}$
Κλεόβουλε μου φαίνεται πως το μοναδικό που χρειάζεται να γνωρίζεις για να λύσεις αυτήν την άσκηση είναι μόνο το τί είναι ένας ακέραιος αριθμός(που νομίζω ότι το γνωρίζεις).
Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι : $(x-2)(y-2)(z-2)=LHS-8\Rightarrow (x-2)(y-2)(z-2)=-1$ και αφού $x,y,z\in Z$ τα πράγματα είναι απλά.
**Έκανα μια μικρή διόρθωση.Ευχαριστώ exdx

Είμαι σχετικά αρχάριος σε τέτοιου είδους ασκήσεις μη γνωρίζοντας τι είναι το LHS ....

#1808

Μενέλαος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 05, 2019 9:10 pm

Είμαι σχετικά αρχάριος σε τέτοιου είδους ασκήσεις μη γνωρίζοντας τι είναι το LHS ....

Εκεί δεν έχεις άδικο. LHS= Left Hand Side = αριστερό μέλος. Προφανώς ο λύτης χρησιμοποίησε αυτή την αγγλική ορολογία
γιατί γράφει σε latex, οπότε η φράση "αριστερό μέλος" ελληνιστί είναι φασαρία να γραφεί.

Κάτι ακόμα. Είδες το προηγούμενο μήνυμά μου, λίγα ποστ πιο πάνω, που απευθύνεται σε σένα; Τι αιτιολογία δίνεις;

Μενέλαος · #1809

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 21, 2012 10:48 am
ΑΣΚΗΣΗ 28

Αν οι φυσικοί αριθμοί είναι τέλειοι κύβοι, να αποδειχθεί ότι και οι φυσικοί αριθμοί είναι τέλειοι κύβοι.

Μπάμπης

Καλησπέρα ,
μπορούμε να το αποδείξουμε αντικαθιστώντας τις μεταβλητές με τέλειους κύβους ?
Ευχαριστώ

#1810

Μενέλαος έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 6:48 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 21, 2012 10:48 am
ΑΣΚΗΣΗ 28

Αν οι φυσικοί αριθμοί είναι τέλειοι κύβοι, να αποδειχθεί ότι και οι φυσικοί αριθμοί είναι τέλειοι κύβοι.

Μπάμπης
Καλησπέρα ,
μπορούμε να το αποδείξουμε αντικαθιστώντας τις μεταβλητές με τέλεια τετράγωνα ?
Ευχαριστώ

Δεν είναι απαραίτητο
Πάρε π.χ $\displaystyle{a=27, b=1 , c=8}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1811

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 6:54 pm

Μενέλαος έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 6:48 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 21, 2012 10:48 am
ΑΣΚΗΣΗ 28

Αν οι φυσικοί αριθμοί είναι τέλειοι κύβοι, να αποδειχθεί ότι και οι φυσικοί αριθμοί είναι τέλειοι κύβοι.

Μπάμπης
Καλησπέρα ,
μπορούμε να το αποδείξουμε αντικαθιστώντας τις μεταβλητές με τέλεια τετράγωνα ?
Ευχαριστώ
Δεν είναι απαραίτητο
Πάρε π.χ $\displaystyle{a=27, b=1 , c=8}$

Νομίζω ότι ρωτάει το εξής:

Αν οι φυσικοί αριθμοί ab,bc,ca

είναι τέλεια τετράγωνα , να αποδειχθεί ότι και οι φυσικοί αριθμοί a,b,c

είναι τέλεια τετράγωνα .

Η απάντηση είναι όχι .Για παράδειγμα

$a=2^{3},b=2^{5},c=2^{13}$

και φυσικά μπορούμε να φτιάξουμε άπειρα παραδείγματα

#1812

Μενέλαος έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 6:48 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 21, 2012 10:48 am
ΑΣΚΗΣΗ 28

Αν οι φυσικοί αριθμοί είναι τέλειοι κύβοι, να αποδειχθεί ότι και οι φυσικοί αριθμοί είναι τέλειοι κύβοι.

Μπάμπης
Καλησπέρα ,
μπορούμε να το αποδείξουμε αντικαθιστώντας τις μεταβλητές με τέλεια τετράγωνα ?
Ευχαριστώ

Μενέλαε,

με τρώει η περιέργεια: Πες ότι αντικαθιστούμε τα a,b,c

τέλεια τετράγωνα, $a=A^2, \, b=B^2, \, c=C^2$ . Μετά τι; Έχεις κάποια λύση
από κει και πέρα; Θα χαιρόμουν να την δω.

Κάτι ακόμα. Μερικά ποστ πιο πάνω σε ρώτησα μία ερώτηση. Δεν την είδες ή ξέχασες να απαντήσεις;

Μενέλαος · #1813

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 7:43 pm

Μενέλαος έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 6:48 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 21, 2012 10:48 am
ΑΣΚΗΣΗ 28

Αν οι φυσικοί αριθμοί είναι τέλειοι κύβοι, να αποδειχθεί ότι και οι φυσικοί αριθμοί είναι τέλειοι κύβοι.

Μπάμπης
Καλησπέρα ,
μπορούμε να το αποδείξουμε αντικαθιστώντας τις μεταβλητές με τέλεια τετράγωνα ?
Ευχαριστώ
Μενέλαε,

με τρώει η περιέργεια: Πες ότι αντικαθιστούμε τα τέλεια τετράγωνα, $a=A^2, \, b=B^2, \, c=C^2$ . Μετά τι; Έχεις κάποια λύση
από κει και πέρα; Θα χαιρόμουν να την δω.

Κάτι ακόμα. Μερικά ποστ πιο πάνω σε ρώτησα μία ερώτηση. Δεν την είδες ή ξέχασες να απαντήσεις;

Με συγχωρείτε αλλά δεν πρόσεξα την επισήμανση σας. Την παλιά δημοσίευση την ξανά υπέβαλα κατά λάθος . Όσο αναφορά την τωρινή έκανα λάθος και αντί να γράψω τέλειους κύβους έγραψα τέλεια τετράγωνα

#1814

Μενέλαος έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 8:02 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 7:43 pm

Μενέλαος έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 6:48 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 21, 2012 10:48 am
ΑΣΚΗΣΗ 28

Αν οι φυσικοί αριθμοί είναι τέλειοι κύβοι, να αποδειχθεί ότι και οι φυσικοί αριθμοί είναι τέλειοι κύβοι.

Μπάμπης
Καλησπέρα ,
μπορούμε να το αποδείξουμε αντικαθιστώντας τις μεταβλητές με τέλεια τετράγωνα ?
Ευχαριστώ
Μενέλαε,

με τρώει η περιέργεια: Πες ότι αντικαθιστούμε τα τέλεια τετράγωνα, $a=A^2, \, b=B^2, \, c=C^2$ . Μετά τι; Έχεις κάποια λύση
από κει και πέρα; Θα χαιρόμουν να την δω.

Κάτι ακόμα. Μερικά ποστ πιο πάνω σε ρώτησα μία ερώτηση. Δεν την είδες ή ξέχασες να απαντήσεις;
Με συγχωρείτε αλλά δεν πρόσεξα την επισήμανση σας. Την παλιά δημοσίευση την ξανά υπέβαλα κατά λάθος . Όσο αναφορά την τωρινή έκανα λάθος και αντί να γράψω τέλειους κύβους έγραψα τέλεια τετράγωνα

Καλή χρονιά Μενέλαε. Είναι φυσικό, για την ηλικία που έχεις να έχεις τέτοιου είδους απορίες. Και μόνο που θέλεις να ασχοληθείς με τέτοια θέματα, σου αξίζουν έπαινοι. Τώρα για αυτό που ρωτάς, όχι δεν μπορούμε να αντικαταστήσουμε τα $\displaystyle{a , b , c}$ με $\displaystyle{A^3 , B^3 , C^3}$ , αφού αυτό ακριβώς μας ζητάει η άσκηση. Δηλαδή, αν μας ζητάνε να δείξουμε κάτι, δεν μπορούμε να το θεωρήσουμε ως δεδομένο. Θα μπορούσες όμως να ισχυρισθείς ότι ένας τουλάχιστον από τους $\displaystyle{a,b,c}$ δεν είναι τέλειος κύβος και μετά με κατάλληλους συλλογισμούς να δείξεις ότι αυτό έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση , οπότε τότε θα είχες δείξει το ζητούμενο. Η μέθοδος αυτή λέγεται "εις άτοπον απαγωγή" και θα την συναντήσεις συχνά στις επόμενες τάξεις.

Ορέστης Λιγνός · #1815

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 21, 2012 10:48 am
ΑΣΚΗΣΗ 28

Αν οι φυσικοί αριθμοί είναι τέλειοι κύβοι, να αποδειχθεί ότι και οι φυσικοί αριθμοί είναι τέλειοι κύβοι.

Μπάμπης

Μία λύση για αυτήν (αν δεν έχει ήδη λυθεί):

Θα δείξω πρώτα το εξής Λήμμα:

Λήμμα

Αν $s,t \in \mathbb{N}$ και ισχύει s^2=t^3

, τότε

και

για κάποιο φυσικό αριθμό

Απόδειξη

Έστω (s,t)=d

, οπότε υπάρχουν $k,\ell \in \mathbb{N}$ ώστε $s=kd, t= \ell d$ και $(k,\ell)=1$ .

Τότε, s^2=k^2d^2

και $t^3=\ell^3d^3$ , οπότε $k^2=d \ell^3$ (1).

Η (1) δίνει $\ell \mid k^2$ , και αφού $(k,\ell)=1$ , πρέπει αναγκαστικά $\ell=1$ .
Επομένως, d=k^2

και

,

, οπότε το Λήμμα αποδείχτηκε.

Πάμε στην λύση της άσκησης τώρα.

Έστω $ab=x^3, \, bc=y^3, \, ca=z^3$ με $a,b,c,x,y,z \in \mathbb{N}$ .

Τότε, πολλαπλασιάζοντας τις παραπάνω κατά μέλη προκύπτει (abc)^2=(xyz)^3

και από το Λήμμα, υπάρχει φυσικός

ώστε

και

.

Τότε όμως, $m^3=abc=x^3c \Rightarrow c=(\dfrac{m}{x})^3$ , συνεπώς ο

είναι κύβος ρητού αριθμού, και αφού $c \in \mathbb{N}$ , πρέπει να είναι κύβος φυσικού.

Όμοια, δείχνουμε ότι και οι a,b

είναι κύβοι φυσικών, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

#1816

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 07, 2019 11:53 pm
Θα δείξω πρώτα το εξής Λήμμα:

Λήμμα

Αν $s,t \in \mathbb{N}$ και ισχύει , τότε και για κάποιο φυσικό αριθμό

Ας το δούμε και αλλιώς, χάριν πολυφωνίας.

Από την s^2=t^3

εύκολα βλέπουμε ότι κάθε πρώτος παράγοντας του

είναι και του

, και αντίστροφα. Άρα για κάποιους πρώτους $p_1, ... \,,\, p_n$ είναι $s=p_1^{a_1}...p_n^{a_n},\,t=p_1^{b_1}...p_n^{b_n}$ , οπότε

$p_1^{2a_1}...p_n^{2a_n}=s^2=t^3=p_1^{3b_1}...p_n^{3b_n}$

Από την μοναδικότητα της ανάλυσης σε πρώτους είναι 2a_j=3b_j

για

. Άρα

, όποτε μπορούμε να γράψουμε
a_j=3c_j

. Έχουμε τότε

$s=p_1^{3c_1}...p_n^{3c_n}=( p_1^{c_1}...p_n^{c_n})^3=k^3$ , όπως θέλαμε. Όμοια για τo

ή, αλλιώς, είναι k^6=s^2=t^3

, άρα

.

#1817

Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 21, 2012 10:48 am
ΑΣΚΗΣΗ 28

Αν οι φυσικοί αριθμοί είναι τέλειοι κύβοι, να αποδειχθεί ότι και οι φυσικοί αριθμοί είναι τέλειοι κύβοι.

Μπάμπης

Αν δεν έκανα κάποιο λάθος, μπορούμε να αποδείξουμε την γενίκευση της άσκησης αυτής, που είναι η εξής:

Αν $\displaystyle{a,b,c}$ είναι φυσικοί αριθμοί και αν $\displaystyle{ab=k^v , bc=m^v , ca=n^v}$ , όπου ο $\displaystyle{v}$ είναι περιττός φυσικός αριθμός, τότε

θα πρέπει : $\displaystyle{a=A^v , b=B^v , c=C^v}$

Prødigy · #1818

Το άθροισμα

διαφορετικών ανά δύο μετάξυ τους θετικών ακεραίων είναι ίσο με

.Να αποδειχθεί ότι το γινόμενο αυτών των αριθμών διαιρείται με τον

.

Επίπεδο: Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου

Ορέστης Λιγνός · #1819

Prødigy έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 03, 2019 8:35 pm
Το άθροισμα διαφορετικών ανά δύο μετάξυ τους θετικών ακεραίων είναι ίσο με .Να αποδειχθεί ότι το γινόμενο αυτών των αριθμών διαιρείται με τον .

Επίπεδο: Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου

Αν

οι αριθμοί, πρέπει a+b+c+d+e+f+g=30

.

Είναι, $b \geqslant a+1, c \geqslant a+2, d \geqslant a+3, e \geqslant a+4, f \geqslant a+5, g \geqslant a+6$ (έχουμε επίσης ότι οι a,b,c,d,e,f,g

είναι ανά δύο διαφορετικοί.

Οπότε, $30 \geqslant 7a+21 \Rightarrow a=1$ , οπότε b+c+d+e+f+g=29

.

Με την ίδια μέθοδο (τώρα, χρησιμοποιούμε τις $c \geqslant b+1, d \geqslant b+2, e \geqslant b+3, f \geqslant b+4, g \geqslant b+5$ ) προκύπτει b=2

, και μετά $c \in \{3, 4 \}$ .

Αν c=3

προκύπτουν d=4, e=5

οπότε

, αριθμός προφανώς διαιρετός από το

.

Αν

, τότε $d \geqslant c+1=5$ $23=d+e+f+g \geqslant d+d+1+d+2+d+3=4d+6 \geqslant 26$ , άτοπο.

Σε κάθε περίπτωση λοιπόν, το ζητούμενο δείχτηκε.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1820

Prødigy έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 03, 2019 8:35 pm
Το άθροισμα διαφορετικών ανά δύο μετάξυ τους θετικών ακεραίων είναι ίσο με .Να αποδειχθεί ότι το γινόμενο αυτών των αριθμών διαιρείται με τον .

Επίπεδο: Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου

Έστω $a_{1},a_{2},a_{3},a_{2},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}$ οι αριθμοί.
Είναι
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{2}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=30$
Παρατηρούμε ότι αν κάποιος από αυτούς είναι

τότε το ελάχιστο άθροισμά τους είναι 10+1+2+3+4+5+6=31

.Άρα $a_{1},a_{2},a_{3},a_{2},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}\leq 9$
Είναι $60=2^2\cdot 3\cdot 5$
Αν κάποιος από αυτούς είναι

τότε έχουμε αναγκαστικά $9+1+2+3+4+5+6=30\,\,\,4\mid 4\Leftrightarrow 4\mid 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,3\mid 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,5\mid1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6$
Άν $a_{1},a_{2},a_{3},a_{2},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7}\leq 8$ υπάρχουν αναγκαστικά $a_{i},a_{j},a_{n}$ ώστε
$4\mid a_{i},5\mid a_{j},3\mid a_{n}$
Άρα αποδείχθηκε το ζητούμενο(Η περίπτωση να μην υπάρχει ο

ανάμεσα στους

αποκλείτεται γιατί τότε δεν έχουμε άθροισμα

Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση