Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6112
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1801

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Κυρ Ιαν 14, 2018 10:11 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Κυρ Ιαν 14, 2018 12:59 am
ΑΣΚΗΣΗ 601: Αν οι αριθμοί \displaystyle{x,y} είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύει ότι

\displaystyle{\sqrt{2x-7}=19-y^2}, ...
Ακόμα καλύτερα, λύστε την παραπάνω εξίσωση.


Μάγκος Θάνος
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4195
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1802

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Ιαν 14, 2018 10:24 am

matha έγραψε:
Κυρ Ιαν 14, 2018 10:11 am
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Κυρ Ιαν 14, 2018 12:59 am
ΑΣΚΗΣΗ 601: Αν οι αριθμοί \displaystyle{x,y} είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύει ότι

\displaystyle{\sqrt{2x-7}=19-y^2}, ...
Ακόμα καλύτερα, λύστε την παραπάνω εξίσωση.
Καλημέρα Θάνο.

Την έθεσα έτσι, για να δούμε αν οι μαθητές (απευθύνεται σε Γ Γυμνασίου, αρχάριους) θα έκαναν αντικατάσταση και τα δύο ζεύγη τιμών στην ζητούμενη σχέση ή αν θα αρκούνταν μόνο στο ένα...


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4195
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1803

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Απρ 15, 2018 9:32 pm

ΑΣΚΗΣΗ 602: Έστω \displaystyle{a=(-1)^{-1}.(\frac{1}{2})^{-2}.(-3)^{-3}.(-4)^4 .(-5)^{-5}.6^6}

και \displaystyle{b} ακέραιος με \displaystyle{- 15.2^{10}<b<-15.2^6}. Αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός \displaystyle{x=\sqrt{2\sqrt{ab}}} είναι ρητός, να βρεθεί

ο ακέραιος \displaystyle{b}.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2058
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1804

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Σάβ Σεπ 08, 2018 11:24 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Ιούλ 27, 2015 1:26 pm
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 564: (Βαθμός δυσκολίας 4, με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10). Να βρείτε ένα πολυώνυμο \displaystyle{P(x)} με ακεραίους συντελεστές,

τέτοιο ώστε να υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί \displaystyle{x_1 , x_2 , ... , x_n} , ώστε οι αριθμοί \displaystyle{P(x_1 ), P(x_2 ) , ... , P(x_n )} να είναι όλοι τους πρώτοι και διαφορετικοί

μεταξύ τους

Δεν θα γράψω λύση γιατί την ξέρω ήδη αλλά θέλω να κάνω ένα ιστορικό σχόλιο και να θέσω ένα συμπληρωματικό ερώτημα.

Ιστορικό σχόλιο: Ο Euler βρήκε ένα απίστευτο τέτοιο πολυώνυμο. Είναι μόνο δευτέρου βαθμού και όμως δίνει διαφορετικούς πρώτους για 40 διαδοχικές τιμές του x, τις x=0,1, ... , 39. Λίγο αργότερα ο Legendre το ξαναβρήκε (σε ισοδύναμη μορφή) ανεξάρτητα από τον Euler.

Συμπλήρωμα: Δείξτε ότι δεν υπάρχει μη σταθερό πολυώνυμο \displaystyle{P με ακεραίους συντελεστές, που να δίνει διαφορετικούς πρώτους για όλα τα x \in \mathbb N.

Φιλικά,

Μιχάλης
Η λύση της άσκησης 564 είναι απλή.
Αρκεί να πάρουμε το P(x)=2x+1
Μάλιστα παίρνουμε όλους τους πρώτους εκτός του 2.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης