Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Eυ. N.
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Τρί Απρ 05, 2016 9:48 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1761

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eυ. N. » Παρ Απρ 29, 2016 9:51 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Eυ. N. έγραψε: Για το πρώτο :
-4x-17=\frac{-42}{x}-\frac{9y^{2}}{x}+\frac{12y}{x}
Και τώρα πες μου γιατί ο συλλογισμός αυτός έχει ένα σοβαρό λογικό σφάλμα.

Ας δούμε ένα παράδειγμα το οποίο ακολουθεί τον ίδιο (εσφαλμένο) συλλογισμό σου για να διαπιστώσουμε ότι κάτι δεν πάει καλά.

Πες ότι η εξίσωση έρχεται στην μορφή x= \frac {-42}{x} + \frac {67y}{x}.

Με την ίδια λογική που έγραψες, θα είχαμε ότι x διαιρεί τον -42.

Συμφωνούμε μέχρι εδώ;

Να όμως που η εξίσωση αυτή έχει λύση την x=5, \, y=1 (και άλλες) αλλά το x=5 δεν διαιρεί το -42.

Κάτι λοιπόν δεν πάει καλά με τον συλλογισμό σου.
Ακριβώς. Όπως είπα δεν υπολόγισα το άθροισα-την διαφορά των κλασμάτων.


Eυ. N.
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Τρί Απρ 05, 2016 9:48 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1762

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eυ. N. » Παρ Απρ 29, 2016 9:52 pm

Σε περίπτωση όμως που ήταν μόνο ένας όρος στο β'μέλος ο συλλογισμός θα ήταν σωστός.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10054
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1763

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Απρ 29, 2016 10:26 pm

Eυ. N. έγραψε:Σε περίπτωση όμως που ήταν μόνο ένας όρος στο β'μέλος ο συλλογισμός θα ήταν σωστός.
Και εδώ που δεν είναι ένας όρος, ο συλλογισμός είναι λάθος.

Από κάτω γράφω σωστή λύση.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10054
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1764

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Απρ 29, 2016 10:44 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 552 (Βαθμός δυσκολίας 8, με κλίμακα από 1 έως 10). Να ΄λυθεί η εξίσωση: \displaystyle{9y^2 -4x^2 = 12y +17x - 42} , με \displaystyle{x,y \in N}
Ξεχάστηκε.

Αφού πολλαπλασιάσουμε επί 16 η εξίσωση παίρνει την μορφή

\displaystyle{(8x+12y+9)(8x-12y +25)=897= 3\cdot 13 \cdot 23}

Οπότε οι παράγοντες αριστερά είναι διαιρέτες του 897 και συγκεκριμένα έχουμε τις περιπτώσεις

α) \displaystyle{8x+12y+9= 897, \, 8x-12y +25= 1} . Λύνοντας το γραμμικό σύστημα θα βρούμε x=54, \, y=38 (δεκτή).
β) \displaystyle{8x+12y+9= 299, \, 8x-12y +25= 3}. Θα βρούμε x=16\frac {3}{4}, \, y=... (απορρίπτεται).
γ) \displaystyle{8x+12y+9= 69, \, 8x-12y +25= 13}. Θα βρούμε x=3, \, y=3 (δεκτή).

Όμοια οι υπόλοιπες περιπτώσεις (στην πραγματικότητα μόνο αλλή μία, που όμως δεν δίνει λύση). Αφήνω τις πράξεις ρουτίνας.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1765

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Ιουν 02, 2016 11:59 am

ΑΣΚΗΣΗ 591: (Βαθμός δυσκολίας 3, με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10)
ΣΧΑ2.png
ΣΧΑ2.png (8.57 KiB) Προβλήθηκε 2137 φορές
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} με κορυφή το \displaystyle{A} και έστω \displaystyle{B\Delta} το ύψος του. Στην προέκταση της \displaystyle{BA} παίρνουμε το σημείο \displaystyle{E} ,
ώστε να είναι \displaystyle{AE=A\Delta}. Αν η \displaystyle{E\Delta} τέμνει την \displaystyle{B\Gamma} στο \displaystyle{Z} ,
(α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία \displaystyle{EZ} είναι κάθετη με την \displaystyle{B\Gamma}
(β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα \displaystyle{EBZ} και \displaystyle{\Delta Z \Gamma} είναι όμοια
(γ) Αν επί πλέον δίνεται ότι \displaystyle{\frac{A\Delta}{\Delta\Gamma}=\frac{1}{2}}, να βρείτε τον λόγο \displaystyle{\frac{(EBZ)}{(\Delta Z \Gamma)}}.


Άβαταρ μέλους
Silver
Δημοσιεύσεις: 113
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 12:22 am

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1766

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Silver » Πέμ Ιουν 02, 2016 1:39 pm

Συγνώμη για το "εκτός θέματος" αλλά πώς μπορώ να πάρω την φωτογραφία, να την επεξεργαστώ και να την ξανανεβάσω στο φόρουμ.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1212
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1767

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Ιουν 02, 2016 7:42 pm

ΑΣΚΗΣΗ 35

Ξεχάστηκε... ( δεν βρήκα κάπου λύση και έτσι γράφω την δική μου ).

Η παράσταση αυτή γράφεται : P = 3(a^2+4a+7).

Όμως, 12=4 \cdot 3 , gcd(4,3)=1. Όμως, 3 \mid P και άρα αρκεί 4 \mid a^2+4a+7.
Γνωρίζουμε όμως ότι, για περιττούς a ισχύει a^2 \equiv 1(mod 4) και άρα a^2+4a+7 \equiv 1+4a+7(mod 4) = 4a+8(mod 4) \equiv o(mod 4), το ζητούμενο.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1212
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1768

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Ιουν 02, 2016 8:03 pm

ΑΣΚΗΣΗ 591

(α) Ας θέσουμε AED=ADE = \phi , ABC=ACB= \omega. Στο τρίγωνο ADE, η γωνία BAC=A είναι εξωτερική και άρα A=2\phi.
Όμως, A+B+C=180 \Leftrightarrow 2\phi+2\omega = 180 \Leftrightarrow \phi+\omega = 90 \Leftrightarrow ADE+C=90 \Leftrightarrow ZDC+C=90 , και άρα DZC=90, το ζητούμενο.

(β) Τα τρίγωνα αυτά είναι όμοια, διότι έχουν μία ορθή γωνία( τις EZB , DZC, αντίστοιχα ) και τις γωνίες B και C ίσες. Άρα είναι ισογώνια και το ζητούμενο έπεται.

(γ) Θέτω AD=AE=x, DC=2x, AC=3x, AB=3x. Άρα, \frac{EB}{DC} = \frac{4x}{2x}=2. Οπότε, ο λόγος ομοιότητας \lambda είναι ίσος με \frac{1}{2}. Έτσι, ο λόγος των εμβαδών είναι \frac{DZC}{EBZ}=\frac{1}{4} \Leftrightarrow  \frac{EBZ}{DZC} = 4.
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Παρ Ιουν 03, 2016 11:51 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1769

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Ιουν 03, 2016 10:58 pm

Silver έγραψε:Συγνώμη για το "εκτός θέματος" αλλά πώς μπορώ να πάρω την φωτογραφία, να την επεξεργαστώ και να την ξανανεβάσω στο φόρουμ.
Νομίζω ότι είναι εύκολο να το φτιάξεις στο Geogebra, να το μεταφέρεις πάνω δεξιά, να το βάλεις (πατώντας δεξί κλικ) σε πλαίσιο, να πας "αρχείο", εξαγωγή, Προβολή γραφικών ως εικόνα , Αποθήκευση (στην επιφάνεια εργασίας).
Μετά για να το ανεβάσεις εδώ, βρες και πάτα Προσθήκη συνημμένου, επιλογή αρχείου, επέλεξε το από την επιφάνεια εργασίας, μετά πάτα προσθήκη αρχείου και μετά προβολή στην δημοσίευση.
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ σε Τρί Ιουν 07, 2016 10:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1212
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1770

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Ιουν 04, 2016 12:28 am

Επαναφέρω την ΑΣΚΗΣΗ 557. Έχω μερικές σκέψεις, αλλά αύριο θα ασχοληθώ σοβαρά με την άσκηση λόγω του περασμένου της ώρας.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1212
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1771

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Ιουν 04, 2016 12:47 am

(α) Λύνοντας την διτετράγωνη εξίσωση που προκύπτει λαμβάνουμε n_1=1,n_2=-\frac{40}{9}.

(β) Δεν υπάρχουν, γιατί το a_n είναι πάντα άρτιος, ανεξάρτητα από την αρτιοπεριττότητα του n. Όμως, το 2m^3+3 είναι περιττός.

(γ) Απλώς, το a_n παραγοντοποιείται ως a_n=(n^2-1)(9n^2+40), το οποίο, ως γινόμενο δύο αριθμών διάφορων του 1 δεν είναι πρώτος.( τα n^2-1, 9n^2+40 είναι προφανώς > 1, διότι, αν κάποιο ήταν 1, θα είχαμε εύκολα n^2=2 ή n^2= -\frac{13}{3}, με τις δύο περιπτώσεις να είναι προφανώς αδύνατες. μιας και n \in \mathbb{N}.).

Τα υπόλοιπα αύριο...


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1772

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τρί Ιουν 14, 2016 10:55 pm

ΑΣΚΗΣΗ 592: (Βαθμός δυσκολίας 6, με κλίμακα από 1 μέχρι 10)

Αν \displaystyle{11x^2 +2y^2 -z^2 = 5y^2 +z^2 -x^2 =3z^2 +5x^2  -y^2 =2(xy+xz+yz)} , να αποδείξετε ότι \displaystyle{x=y=z=0}


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1212
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1773

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Ιουν 14, 2016 11:27 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 592: (Βαθμός δυσκολίας 6, με κλίμακα από 1 μέχρι 10)

Αν \displaystyle{11x^2 +2y^2 -z^2 = 5y^2 +z^2 -x^2 =3z^2 +5x^2  -y^2 =2(xy+xz+yz)} , να αποδείξετε ότι \displaystyle{x=y=z=0}
Μία λύση με πολλές, πολλές πράξεις.

Εξισώνοντας την δεύτερη με την τρίτη σχέση λαμβάνουμε ότι \displaystyle{z^2=3y^2-3x^2} (1).
Εξισώνοντας τώρα την πρώτη με την δεύτερη σχέση και χρησιμοποιώντας την (1), παίρνουμε ότι \boxed{y^2=2x^2}.
Ομοίως, με την πρώτη και την τρίτη σχέση είναι \boxed{z^2=3x^2}.

Έχουμε τώρα τέσσερις περιπτώσεις

1) y=x\sqrt{2}, z=x\sqrt{3}
2) y=-x\sqrt{2}, z=x\sqrt{3} κλπ

Ας δούμε την πρώτη περίπτωση. Εξισώνοντας πρώτη και τέταρτη σχέση και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις y=x\sqrt{2},z=x\sqrt{3}, παίρνουμε ότι x(12-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6})=0. Ο αριθμός στην παρένθεση είναι προφανώς διάφορος του μηδέν, αφού 12 \in \mathbb{Q} ενώ το \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6} είναι άρρητος.
Συνεπώς, x=0 και εύκολα x=y=z=0, που είναι και το ζητούμενο.

Ομοίως και οι υπόλοιπες περιπτώσεις.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1774

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Ιουν 15, 2016 1:18 am

orestis26 έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 592: (Βαθμός δυσκολίας 6, με κλίμακα από 1 μέχρι 10)

Αν \displaystyle{11x^2 +2y^2 -z^2 = 5y^2 +z^2 -x^2 =3z^2 +5x^2  -y^2 =2(xy+xz+yz)} , να αποδείξετε ότι \displaystyle{x=y=z=0}
Μία λύση με πολλές, πολλές πράξεις.

Εξισώνοντας την δεύτερη με την τρίτη σχέση λαμβάνουμε ότι \displaystyle{z^2=3y^2-3x^2} (1).
Εξισώνοντας τώρα την πρώτη με την δεύτερη σχέση και χρησιμοποιώντας την (1), παίρνουμε ότι \boxed{y^2=2x^2}.
Ομοίως, με την πρώτη και την τρίτη σχέση είναι \boxed{z^2=3x^2}.

Έχουμε τώρα τέσσερις περιπτώσεις

1) y=x\sqrt{2}, z=x\sqrt{3}
2) y=-x\sqrt{2}, z=x\sqrt{3} κλπ

Ας δούμε την πρώτη περίπτωση. Εξισώνοντας πρώτη και τέταρτη σχέση και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις y=x\sqrt{2},z=x\sqrt{3}, παίρνουμε ότι x(12-\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6})=0. Ο αριθμός στην παρένθεση είναι προφανώς διάφορος του μηδέν, αφού 12 \in \mathbb{Q} ενώ το \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6} είναι άρρητος.
Συνεπώς, x=0 και εύκολα x=y=z=0, που είναι και το ζητούμενο.

Ομοίως και οι υπόλοιπες περιπτώσεις.
Ωραιότατα Ορέστη!!! :clap2:

Ας δούμε και μια ακόμα λύση: Έχουμε:

\displaystyle{11x^2 +2y^2 -z^2 =2(xy+yz+zx)} , (1)
\displaystyle{5y^2 +z^2 - x^2 =2(xy+yz+zx)}
\displaystyle{3z^2 +5x^2 - y^2 =2(xy+yz+zx)}

Με πρόσθεση κατά μέλη των πιο πάνω εξισώσεων, παίρνουμε:

\displaystyle{15x^2 +6y^2 +3z^2 =6(xy+yz+zx)\Leftrightarrow  5x^2 +2y^2 +z^2 =2xy+2yz+2zx \Leftrightarrow }

\displaystyle{4x^2 +y^2 -4xy+x^2 +y^2 +z^2 +2xy-2yz-2zx=0\Leftrightarrow (2x-y)^2 +(x+y-z)^2 =0}. Άρα \displaystyle{y=2x} και \displaystyle{z=x+y} , δηλαδή

\displaystyle{y=2x} και \displaystyle{z=3x}.

Τώρα η (1) γράφεται \displaystyle{11x^2 +8x^2 -9x^2 = 2(2x^2 +6x^2 +3x^2) \Leftrightarrow 10x^2 = 22x^2 \Leftrightarrow 12x^2 =0\Leftrightarrow x=0}

Άρα \displaystyle{x=y=z=0} (που επαληθεύουν και τις αρχικές συνθήκες)


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1775

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Ιουν 16, 2016 2:37 pm

ΑΣΚΗΣΗ 593: Να λυθεί το σύστημα:

\displaystyle{2x^2 +y^2 +z^2 =4xy}
\displaystyle{3y^2 +2z^2 +1=4yz}
\displaystyle{y^2 +2z^2 -x^2 =2z}


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1212
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1776

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Ιουν 16, 2016 2:44 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 593: Να λυθεί το σύστημα:

\displaystyle{2x^2 +y^2 +z^2 =4xy}
\displaystyle{3y^2 +2z^2 +1=4yz}
\displaystyle{y^2 +2z^2 -x^2 =2z}
Καλησπέρα!
Προσθέτοντας κατά μέλη λαμβάνουμε \displaystyle{5z^2+5y^2+x^2+1=4xy+4yz+2z}.
Αυτή γράφεται \displaystyle{(z-1)^2+(x-2y)^2+(y-2z)^2=0}. από όπου έχουμε την λύση (x,y,z)=(4,2,1), η οποία όμως δεν επαληθεύει τις αρχικές εξισώσεις και άρα απορρίπτεται.

Υ.Γ. Δεν ξέρω αν είμαι σωστός στις πράξεις.Είναι και η μεσημεριανή ξεκούραση...

Φιλικά,
Ορέστης.
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Πέμ Ιουν 16, 2016 3:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1702
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1777

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιουν 16, 2016 2:57 pm

Για την ΑΣΚΗΣΗ 593
Πιστεύω ότι υπάρχει τυπογραφικό.
Η δεύτερη εξίσωση είναι αδύνατη στους πραγματικούς.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1778

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Ιουν 16, 2016 11:24 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Για την ΑΣΚΗΣΗ 593
Πιστεύω ότι υπάρχει τυπογραφικό.
Η δεύτερη εξίσωση είναι αδύνατη στους πραγματικούς.
Όχι Σταύρο, δεν υπάρχει τυπογραφικό. Η ιδέα της κατασκευής ήταν να λυθεί με τον τρόπο που έκανε ο Ορέστης και ύστερα όμως να γίνει οπωσδήποτε η επαλήθευση. Τώρα βέβαια, πολύ καλά παρατήρησες ότι έβγαινε αδύνατο και μόνο από την δεύτερη εξίσωση, οπότε και πάλι είναι αδύνατο το σύστημα. Αυτό θα μπορούσε να διορθωθεί , αν το σύστημα δινόταν π.χ ως εξής:

\displaystyle{2x^2 +y^2 +z^2 =4xy-8}
\displaystyle{3y^2 +2z^2 -2016=4yz}
\displaystyle{y^2 +2z^2 -x^2 = 2z-2009}

Τότε με τον τρόπο που έκανε ο Ορέστης, λύνεται εύκολα.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1779

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Ιουν 23, 2016 12:08 am

ΑΣΚΗΣΗ 594: (Βαθμός δυσκολίας 3, με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10) . Αν ο αριθμός \displaystyle{(2n+1)^2 +2^{2n+1} -1}

δεν διαιρείται με το 4, να βρεθεί ο μη αρνητικός ακέραιος αριθμός n


papamixalis
Δημοσιεύσεις: 189
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 13, 2015 3:38 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1780

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papamixalis » Πέμ Ιουν 23, 2016 1:59 am

594 μια προσπάθεια.αν κάνουμε τις πράξεις καταλήγουμε στο 4n^2+4n+2 \cdot 4^n όλοι οι όροι διαιρούνται με το 4 Εκτός εαν n=0


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης