Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4194
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1741

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Φεβ 08, 2016 6:08 am

ΑΣΚΗΣΗ 588(Βαθμός δυσκολίας 3, με κλίμακα από 1 μέχρι 10): Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο αριθμός

\displaystyle{A=2.6.10.14. ... .2018}


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4194
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1742

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Απρ 11, 2016 10:55 pm

ΑΣΚΗΣΗ 589 (Βαθμός δυσκολίας 5, με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10)
ΣΧ Β1.png
ΣΧ Β1.png (11.25 KiB) Προβλήθηκε 2327 φορές
Οι κύκλοι \displaystyle{(K,3)} και \displaystyle{(O,9)} εφάπτονται στο σημείο \displaystyle{E} και έστω \displaystyle{AB} το ευθύγραμμο τμήμα που εφάπτεται στους δύο κύκλους.

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του μέρους που είναι ανάμεσα στους κύκλους και το τμήμα \displaystyle{AB} (δηλαδή το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου

\displaystyle{AEB}).

ΣΗΜ: Ως γνωστόν τα σημεία K,E,O είναι συνευθειακά, (το σχήμα δεν είναι και τόσο επιτυχές)


Eυ. N.
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Τρί Απρ 05, 2016 9:48 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1743

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eυ. N. » Τρί Απρ 12, 2016 8:55 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 588(Βαθμός δυσκολίας 3, με κλίμακα από 1 μέχρι 10): Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο αριθμός

\displaystyle{A=2.6.10.14. ... .2018}
Παρατηρούμε ότι για με το δεδομένο μοτίβο σε κάθε εκαντοντάδα προστίθενται 5 ακόμα μηδενικά από τους αριθμούς 10,30,50,70,90, επομένως αφού έχουμε 20 εκαντοντάδες και 1 ακόμα 10 , ο αριθμός θα λήγει σε 20*5+1=101 μηδενικά.
Σημείωση: Θα μπορούσε να γινόταν πιο δύσκολο αν το μοτίβο ευνοούσε την ύπαρξη 5αριών.


Eυ. N.
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Τρί Απρ 05, 2016 9:48 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1744

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eυ. N. » Τρί Απρ 12, 2016 9:02 pm

Το πρόβλημα γεωμετρίας δεν μου φαίνεται πολύ δυσπροσέγγιστο. Θα το επιχειρήσω αργότερα.


Eυ. N.
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Τρί Απρ 05, 2016 9:48 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1745

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eυ. N. » Τρί Απρ 12, 2016 10:39 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 589 (Βαθμός δυσκολίας 5, με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10)
ΣΧ Β1.png
Οι κύκλοι \displaystyle{(K,3)} και \displaystyle{(O,9)} εφάπτονται στο σημείο \displaystyle{E} και έστω \displaystyle{AB} το ευθύγραμμο τμήμα που εφάπτεται στους δύο κύκλους.

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του μέρους που είναι ανάμεσα στους κύκλους και το τμήμα \displaystyle{AB} (δηλαδή το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου

\displaystyle{AEB}).

ΣΗΜ: Ως γνωστόν τα σημεία K,E,O είναι συνευθειακά, (το σχήμα δεν είναι και τόσο επιτυχές)
Δημιουργούμε τα ευθύγραμμα τμήματα KA,KO,OB και παρατηρούμε ότι σχηματίζεται το τραπέζιο KABO με A=B=90^{o},AKO=120^{o} και O=360^{o}-300^{o}=60^{o} .
Απο τα δεδομένα της εκφώνησης έχουμε ότι KA=3 & OB=9. Φέρνουμε ευθύγραμμο τμήμα OZ στο AB έτσι ώστε BOZ=30^{o}. Παρατηρούμε ότι AZ=ZB, επομένως Z είναι το μέσο του AB. Από την εφαπτομένη των 30^{o} λαμβάνουμε ότι BZ=3*\sqrt{{3}}. Επομένως BA=6*\sqrt{{3}} . Έτσι, έχουμε (KABO)=\frac{(KA+OB)AB}{2}=36*\sqrt{{3}} τετραγωνικές μονάδες. Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα AKE=\frac{3,14*9}{3}=9.42τετραγωνικές μονάδες. Το εμβαδόν του κυκλικού τομεα(BOE)=\frac{3,14*81}{6}=42,39 τετραγωνικές μονάδες. Τώρα απλά αφαιρούμε από το εμβαδόν του τραπεζίου το άθροισμα των εμβαδών των δύο κυκλικών δίσκων. Και έχουμε 36*\sqrt{{3}}-(9,42+42,39)=36*\sqrt{{3}}-(51,81)=10,54 τετραγωμικές μονάδες περίπου. Τέλος. (Δεν είμαι σίγουρος αν είναι σωστό. Με συγχωρείτε που δεν δικαιολόγησα αρκετά πράγματα δεν προλαβαίνω)


Eυ. N.
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Τρί Απρ 05, 2016 9:48 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1746

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eυ. N. » Τρί Απρ 12, 2016 10:43 pm

Το επίπεδο αυτό αντιστοιχεί στον δικό μας Αρχιμήδη;


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10632
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1747

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Απρ 12, 2016 11:19 pm

Πώς αιτιολογείς αυτό:
Eυ. N. έγραψε: AKO=120^{o}
και πώς αυτό:
Eυ. N. έγραψε: Παρατηρούμε ότι AZ=ZB
Πρόκειται για ουσιαστικά κενά στον συλλογισμό. Δεν μπορώ παρά να θυμηθώ ότι σε κάποια άλλη λύση σου (την οποία ορθότατα έσβησαν οι Γενικοί Συντονιστές) είχες ένα βήμα που έβγαινε "πρακτικά", το οποίο βέβαια μεταφράζεται "με το μάτι". Αν κάνεις το ίδιο και τώρα, είμαστε έξω από την σφαίρα των Μαθηματικών. Να όμως που το φόρουμ είναι Μαθηματικό, όπως άλλωστε δηλώνει το όνομά του.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7951
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1748

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Απρ 12, 2016 11:48 pm

Eυ. N. έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 588(Βαθμός δυσκολίας 3, με κλίμακα από 1 μέχρι 10): Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο αριθμός

\displaystyle{A=2.6.10.14. ... .2018}
Παρατηρούμε ότι για με το δεδομένο μοτίβο σε κάθε εκαντοντάδα προστίθενται 5 ακόμα μηδενικά από τους αριθμούς 10,30,50,70,90, επομένως αφού έχουμε 20 εκαντοντάδες και 1 ακόμα 10 , ο αριθμός θα λήγει σε 20*5+1=101 μηδενικά.
Σημείωση: Θα μπορούσε να γινόταν πιο δύσκολο αν το μοτίβο ευνοούσε την ύπαρξη 5αριών.
Η απάντηση δεν είναι σωστή. Υπάρχουν περισσότερα μηδενικά. Π.χ. αν πολλαπλασιάσουμε το 50 με το 2 θα πάρουμε ακόμη ένα μηδενικό το οποίο δεν έχει καταμετρηθεί.


Eυ. N.
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Τρί Απρ 05, 2016 9:48 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1749

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eυ. N. » Τετ Απρ 13, 2016 1:54 pm

Demetres έγραψε:
Eυ. N. έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 588(Βαθμός δυσκολίας 3, με κλίμακα από 1 μέχρι 10): Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο αριθμός

\displaystyle{A=2.6.10.14. ... .2018}
Παρατηρούμε ότι για με το δεδομένο μοτίβο σε κάθε εκαντοντάδα προστίθενται 5 ακόμα μηδενικά από τους αριθμούς 10,30,50,70,90, επομένως αφού έχουμε 20 εκαντοντάδες και 1 ακόμα 10 , ο αριθμός θα λήγει σε 20*5+1=101 μηδενικά.
Σημείωση: Θα μπορούσε να γινόταν πιο δύσκολο αν το μοτίβο ευνοούσε την ύπαρξη 5αριών.
Η απάντηση δεν είναι σωστή. Υπάρχουν περισσότερα μηδενικά. Π.χ. αν πολλαπλασιάσουμε το 50 με το 2 θα πάρουμε ακόμη ένα μηδενικό το οποίο δεν έχει καταμετρηθεί.
Παρατηρούμε ότι για με το δεδομένο μοτίβο σε κάθε εκαντοντάδα προστίθενται 6 ακόμα μηδενικά από τους αριθμούς 10,30,50,70,90 (από το 50 παίρνουμε 2, επομένως αφού έχουμε 20 εκαντοντάδες και 1 ακόμα 10 , ο αριθμός θα λήγει σε 20*6+1=121 μηδενικά.
Σημείωση: Θα μπορούσε να γινόταν πιο δύσκολο αν το μοτίβο ευνοούσε την ύπαρξη 5αριών. (Έπειτα από υπόδειξη του Demetres διόρθωσα την άσκηση, χωρίς να είμαι σίγουρος ότι είναι σωστή)


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1750

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Τετ Απρ 13, 2016 2:18 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 588(Βαθμός δυσκολίας 3, με κλίμακα από 1 μέχρι 10): Να βρείτε σε πόσα μηδενικά λήγει ο αριθμός

\displaystyle{A=2.6.10.14. ... .2018}
A=2\cdot6\cdot10\cdot...\cdot2018= 2*1\cdot2*3\cdot2*5\cdot...\cdot2*1009= 2^{505}(1\cdot3\cdot5\cdot....\cdot1009)

Οι αριθμοί (5,15,25,...1005)\cdot 2 δίνουν 1009/10+1=101 μηδενικά.

Οι αριθμοί (25,75,125,...925,975)\cdot 2^{2} δίνουν από 2 μηδενικά ο καθένας, όμως ένα στον καθένα (σαν πολλαπλάσιο του 5) έχει μετρηθεί , άρα δίνουν επιπλέον 975/50+1=20 μηδενικά.

Οι αριθμοί (125,375,625,875)\cdot 2^{3} δίνουν από 3 μηδενικά ο καθένας, όμως 2 στον καθένα (σαν πολλαπλάσιο του 25) έχουν μετρηθεί , άρα δίνουν επιπλέον 4 μηδενικά.

Ο αριθμός 2^{4}\cdot625(=25\cdot25) δίνει 4 μηδενικά, τρία όμως έχουν μετρηθεί (ένα σαν πολλαπλάσιο του 5 και από ένα για κάθε 25, άρα δίνει ένα (1) επιπλέον μηδενικό.

Άρα ο αριθμός A λήγει σε 101+20+4+1=126 μηδενικά.


Eυ. N.
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Τρί Απρ 05, 2016 9:48 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1751

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eυ. N. » Τετ Απρ 13, 2016 2:49 pm

Atemlos έγραψε:Άσκηση 2)

Να συγκριθούν οι αριθμοί \displaystyle{a = {3^4} \cdot {44^3}} και \displaystyle{b = {4^3} \cdot {33^4}}

(Ελπίζω να μην έχει ξαναμπεί)
Έχουμε: a=3^{4}*44^{3}=3*(3*44)^{3}=3*(132)^{3}
b=4^{3}*33^{4}=33(4*33)^{3}=33(132)^{3}
Θέτουμε ως c=(132)^{3}
Συνεπώς, a=3c, b=33c. Επομένως a<b


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10632
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1752

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Απρ 13, 2016 11:57 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:Πώς αιτιολογείς αυτό:
Eυ. N. έγραψε: AKO=120^{o}
και πώς αυτό:
Eυ. N. έγραψε: Παρατηρούμε ότι AZ=ZB
Πρόκειται για ουσιαστικά κενά στον συλλογισμό. Δεν μπορώ παρά να θυμηθώ ότι σε κάποια άλλη λύση σου (την οποία ορθότατα έσβησαν οι Γενικοί Συντονιστές) είχες ένα βήμα που έβγαινε "πρακτικά", το οποίο βέβαια μεταφράζεται "με το μάτι". Αν κάνεις το ίδιο και τώρα, είμαστε έξω από την σφαίρα των Μαθηματικών. Να όμως που το φόρουμ είναι Μαθηματικό, όπως άλλωστε δηλώνει το όνομά του.
Επειδή ο Ευ. Ν. δεν φαίνεται να θέλει να απαντήσει, ας γράψω λύση για να μην μένει μετέωρη η ασκησούλα αυτή, ας είναι απλή.

Θα ακολουθήσω το σχήμα στην εκφώνηση (Άσκηση 589).

Φέρνουμε την κάθετο KL από το K στην OB. Εύκολα βλέπουμε ότι στο ορθογώνιο τρίγωνο KOA είναι KO=3+9=12 και OA=9-3=6. Από το Πυθαγόρειο είναι KL=6\sqrt 3. Επίσης, αφού στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι OK=2OL, έπεται (γνωστό και απλό) ότι \angle KOB=60^o, \, \angle OKL = 30^o και άρα \angle OKA=120^o. Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι

\frac {1}{2} (3+9)6\sqrt  3 - \frac {1}{3} \pi \cdot 3^2 - \frac {1}{6} \pi \cdot 9^2=36\sqrt  3 -  \frac {33\pi}{2}.


Eυ. N.
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Τρί Απρ 05, 2016 9:48 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1753

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eυ. N. » Πέμ Απρ 14, 2016 1:43 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:Πώς αιτιολογείς αυτό:
Eυ. N. έγραψε: AKO=120^{o}
και πώς αυτό:
Eυ. N. έγραψε: Παρατηρούμε ότι AZ=ZB
Πρόκειται για ουσιαστικά κενά στον συλλογισμό. Δεν μπορώ παρά να θυμηθώ ότι σε κάποια άλλη λύση σου (την οποία ορθότατα έσβησαν οι Γενικοί Συντονιστές) είχες ένα βήμα που έβγαινε "πρακτικά", το οποίο βέβαια μεταφράζεται "με το μάτι". Αν κάνεις το ίδιο και τώρα, είμαστε έξω από την σφαίρα των Μαθηματικών. Να όμως που το φόρουμ είναι Μαθηματικό, όπως άλλωστε δηλώνει το όνομά του.
Επειδή ο Ευ. Ν. δεν φαίνεται να θέλει να απαντήσει, ας γράψω λύση για να μην μένει μετέωρη η ασκησούλα αυτή, ας είναι απλή.


Θα ακολουθήσω το σχήμα στην εκφώνηση (Άσκηση 589).

Φέρνουμε την κάθετο KL από το K στην OB. Εύκολα βλέπουμε ότι στο ορθογώνιο τρίγωνο KOA είναι KO=3+9=12 και OA=9-3=6. Από το Πυθαγόρειο είναι KL=6\sqrt 3. Επίσης, αφού στο ορθογώνιο τρίγωνο είναι OK=2OL, έπεται (γνωστό και απλό) ότι \angle KOB=60^o, \, \angle OKL = 30^o και άρα \angle OKA=120^o. Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι

\frac {1}{2} (3+9)6\sqrt  3 - \frac {1}{3} \pi \cdot 3^2 - \frac {1}{6} \pi \cdot 9^2=36\sqrt  3 -  \frac {33\pi}{2}.
Με συγχωρείτε και εγώ το ίδιο εμβαδόν δεν βρήκα; Επειδή δεν δικαιολόγησα δηλαδή θα πρέπει να μου ακυρώνετε ως λάθος όλη την άσκηση;


Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1754

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Πέμ Απρ 14, 2016 10:28 pm

Γεια σου Ευ.Ν.
Η αιτιολόγηση είναι απαραίτητη. Χωρίς αυτή δεν έχει λυθεί το πρόβλημα.
Μάλιστα είναι ενδιαφέρον να μπαίνουμε σε βαθύτερα ερωτήματα δηλαδή για ποιο λόγο ακολουθεί κάποιος αυτή την πορεία επίλυσης , γιατί άλλαξε την αρχική πορεία επίλυσης,ποια ήταν η αρχική του σκέψη , γιατί την ενίσχυσε, πως την ενίσχυσε...

Είναι σαν έναν μαχητή που έχει οπλοστάσιο.Νικάει και χάνει.
Καμιά φορά όμως που ο αγώνας είναι άνισος εκείνος βρίσκει από κάπου δύναμη να νικήσει. Εύχομαι να νικάς .


Σοφόν το σαφές...


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10632
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1755

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Απρ 14, 2016 10:39 pm

Eυ. N. έγραψε:<...> Επειδή δεν δικαιολόγησα δηλαδή θα πρέπει να μου ακυρώνετε ως λάθος όλη την άσκηση;
Τα Μαθηματικά είναι η επιστήμη της ακριβολογίας. Απαγορεύονται οι τελείως αυθαίρετοι ισχυρισμοί ή οτιδήποτε που δεν συνοδεύεται από απόδειξη (έστω με νύξη απόδειξης αν τα παραλειπόμενα είναι προσιτά). Οτιδήποτε έξω από τους κανόνες των Μαθηματικών είναι ότι η Αστρολογία για την Αστρονομία ή τα κομπογιαννίτικα γιατροσόφια για την Ιατρική. Για παράδειγμα ένας ισχυρισμός του τύπου AZ=ZB επειδή "μου φάνηκαν ίσα με το μάτι" καταστρέφει τελείως μία απόδειξη. Για τον Μαθηματικό τέτοιοι συλλογισμοί είναι όχι μόνο εσφαλμένοι, αλλά εξοργιστικά εσφαλμένοι.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7306
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1756

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 15, 2016 12:16 am

Γεια σου Eu. N

Θέλω να σου εξηγήσω μερικά πράγματα για να μην νομίζεις ότ είμαστε παράλογοι. Θα εστιάσω σε αυτά που σημείωσε ο κ. Λάμπρου.
Eυ. N. έγραψε: AKO=120^{o}
Γυμνάσιο.png
Γυμνάσιο.png (17.67 KiB) Προβλήθηκε 1908 φορές
Φέρνω την \displaystyle{KH \bot OB}, οπότε HB=3, OH=OB-HB=9-3=6

\displaystyle{\eta \mu \omega  = \frac{{OH}}{{OK}} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}}, άρα \omega=30^0, οπότε \boxed{\widehat{AKO}=90^0+30^0=120^0}.

Εσύ από όλα αυτά έγραψες μόνο ότι η γωνία είναι 120^0 χωρίς να αιτιολογήσεις τίποτα. Αν αυτό το διάβαζες σε κάποια λυμένη άσκηση του βιβλίου σου ή σε κάποιο βοήθημα θα ήσουν ικανοποιημένος;
Eυ. N. έγραψε: Παρατηρούμε ότι AZ=ZB
Τα τρίγωνα OEZ, OBZ έχουν OE=OB=9, την πλευρά OZ κοινή και \widehat{EOZ}=\widehat{ZOB}=30^0, άρα είναι ίσα (Π-Γ-Π),

οπότε \widehat{ZEO}=\widehat{ZBO}=90^0, δηλαδή η ZE εφάπτεται στον κύκλο (O) και στον κύκλο (K) και θα είναι ZB=ZE=ZA.


Βλέπεις λοιπόν ότι αυτό το "Παρατηρούμε ότι AZ=ZB", δεν σημαίνει τίποτα όταν δεν ακολουθείται από κάποια αιτιολόγηση και να είσαι σίγουρος ότι δεν βαθμολογείται κιόλας.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4194
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1757

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Απρ 16, 2016 9:37 pm

ΑΣΚΗΣΗ 590: Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: \displaystyle{A=2a^3 -5a^2 b+ab^2 +2b^3}, αν γνωρίζουμε ότι ένας παράγοντας
είναι ο \displaystyle{a-b}


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 767
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1758

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Απρ 16, 2016 10:22 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 590: Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: \displaystyle{A=2a^3 -5a^2 b+ab^2 +2b^3}, αν γνωρίζουμε ότι ένας παράγοντας
είναι ο \displaystyle{a-b}
Κάνουμε την κάθετη διαίρεση όπως στο σχήμα

\begin{array}{c|l} 
2a^3-5a^2b+ab^2+2b^3 & \underline{a-b \phantom{3ab-2b^2}}  \\ 
\underline{-(2a^3-2a^2b)} \phantom{+ab^2+2b^3} & 2a^2-3ab+2b^2 \\ 
0 - 3a^2b + ab^2 + 2b^3 & \\ 
\underline{- (-3a^2b + 3ab^2)} &  \\ 
\phantom{2a^3+}0 - 2ab^2 + 2b^3 & \\ 
\phantom{2a^3+}\underline{-(- 2ab^2 + 2b^3)} & \\ 
\phantom{2a^3+}0 + 0 &  
\end{array}

οπότε προκύπτει

A = (a-b)(2a^2 - 3ab-2b^2)

A = (a-b)(2a^2-4ab+ab-2b^2)

A= (a-b)(2a(a-2b)+b(a-2b))

A=(a-b)(a-2b)(2a+b)


Eυ. N.
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Τρί Απρ 05, 2016 9:48 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1759

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eυ. N. » Παρ Απρ 29, 2016 9:31 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Eυ. N. έγραψε: x(-4x-17)=-42-9y^{2}+12y (2)
Από την (2) προκύπτει ότι x|(-)42
Για ξαναδές το αυτό. Από που ακριβώς προκύπτει οτι ο x διαιρεί τον -42;
Eυ. N. έγραψε: ύση αποτελεί και το ζεύγος (x,y)=(54,38) (ευχαριστώ τον κύριο Αλεξίου για την λύση που είχα ξεχάσει)
Από που ακριβώς την ξέχασες, αφού το x=54 δεν διαιρεί το -42 (ισχυρισμός παραπάνω) ώστε να υπεισέλθει κάπως στον συλλογισμό σου;
Για το πρώτο :
x(-4x-17)=-42-9y^{2}+12y ή -4x-17=\frac{-42-9y^{2}+12y}{x} ή -4x-17=\frac{-42}{x}-\frac{9y^{2}}{x}+\frac{12y}{x}
Για το δεύτερο:
Ο συλλογισμός μου θα ταίριαζε καλύτερα αν το β'μέρος της εξίσωση αποτελούταν από μόνο έναν όρο. Στην προκειμένη περίπτωση δεν υπολόγισα το άθροισμα των κλασμάτων. Δεν το ξέχασα, καθώς δεν το είχα καν σκεφτεί, όπως προείπα. Ο κύριος Αλεξίου το βρήκε με WolframAlpha. Είπα απλά ότι το είχα ξεχάσει για να συμπεριλάβω όλες τις δυνατές λύσεις στην λύση μου.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10632
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1760

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Απρ 29, 2016 9:48 pm

Eυ. N. έγραψε: Για το πρώτο :
-4x-17=\frac{-42}{x}-\frac{9y^{2}}{x}+\frac{12y}{x}
Και τώρα πες μου γιατί ο συλλογισμός αυτός έχει ένα σοβαρό λογικό σφάλμα.

Ας δούμε ένα παράδειγμα το οποίο ακολουθεί τον ίδιο (εσφαλμένο) συλλογισμό σου για να διαπιστώσουμε ότι κάτι δεν πάει καλά.

Πες ότι η εξίσωση έρχεται στην μορφή x= \frac {-42}{x} + \frac {67y}{x}.

Με την ίδια λογική που έγραψες, θα είχαμε ότι x διαιρεί τον -42.

Συμφωνούμε μέχρι εδώ;

Να όμως που η εξίσωση αυτή έχει λύση την x=5, \, y=1 (και άλλες) αλλά το x=5 δεν διαιρεί το -42.

Κάτι λοιπόν δεν πάει καλά με τον συλλογισμό σου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης