Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5778
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1721

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Οκτ 14, 2015 1:42 am

ΑΣΚΗΣΗ 580
Να δείξετε ότι για κάθε ακέραιο n, ο αριθμός n^3 - 9n + 27 δε διαιρείται με το 81.

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 576
Σε ένα τουρνουά συμμετείχαν 6 ομάδες. Κάθε ομάδα έπαιξε με κάθε άλλη ακριβώς μία φορά. Σε κάθε αγώνα, η νικήτρια ομάδα κέρδιζε 3 βαθμούς, η ηττημένη 0 βαθμούς ενώ σε περίπτωση ισοπαλίας οι δύο ομάδες κέρδιζαν από 1 βαθμό. Στο τέλος του τουρνουά, διαπιστώθηκε ότι το άθροισμα των βαθμών που κέρδισαν όλες οι ομάδες ήταν 41. Να δείξετε ότι υπάρχουν τέσσερις ομάδες, καθεμία από τις οποίες έφερε μία, τουλάχιστον, φορά ισοπαλία.


Θανάσης Κοντογεώργης
ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1658
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1722

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ealexiou » Τετ Οκτ 14, 2015 9:55 am

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 576
Σε ένα τουρνουά συμμετείχαν 6 ομάδες. Κάθε ομάδα έπαιξε με κάθε άλλη ακριβώς μία φορά. Σε κάθε αγώνα, η νικήτρια ομάδα κέρδιζε 3 βαθμούς, η ηττημένη 0 βαθμούς ενώ σε περίπτωση ισοπαλίας οι δύο ομάδες κέρδιζαν από 1 βαθμό. Στο τέλος του τουρνουά, διαπιστώθηκε ότι το άθροισμα των βαθμών που κέρδισαν όλες οι ομάδες ήταν 41. Να δείξετε ότι υπάρχουν τέσσερις ομάδες, καθεμία από τις οποίες έφερε μία, τουλάχιστον, φορά ισοπαλία.
Οι 6 ομάδες έπαιξαν C(6,2)=\dfrac{6!}{2!\cdot4!}=15 αγώνες.
Αν x οι αγώνες με νικητή και ηττημένο και y οι αγώνες με ισοπαλία τότε 3x+2y=41 \ (1) και επειδή x+y=15\ (2) , (1)+(2)\Rightarrow x=11,\ y=4. Συνεπώς τέσσερις ομάδες καθεμία από τις οποίες έφερε μία, τουλάχιστον, φορά ισοπαλία.
τελευταία επεξεργασία από ealexiou σε Σάβ Οκτ 31, 2015 8:23 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4194
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1723

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Οκτ 30, 2015 9:49 pm

ΑΣΚΗΣΗ 581 (Βαθμός δυσκολίας 2, με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10): Αν \displaystyle{a , b , c > 0}, με \displaystyle{abc = 1} , να αποδείξετε ότι:

\displaystyle{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+c\sqrt{a}+\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}+a\sqrt{b}+\sqrt{ac}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}+b\sqrt{c}+\sqrt{ab}}=1}


Άβαταρ μέλους
kostas232
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 24, 2014 5:28 pm
Τοποθεσία: Κορινθία

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1724

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas232 » Σάβ Οκτ 31, 2015 3:10 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 581 (Βαθμός δυσκολίας 2, με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10): Αν \displaystyle{a , b , c > 0}, με \displaystyle{abc = 1} , να αποδείξετε ότι:

\displaystyle{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+c\sqrt{a}+\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}+a\sqrt{b}+\sqrt{ac}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}+b\sqrt{c}+\sqrt{ab}}=1}
Επειδή οι a,b,c είναι θετικοί οι ρίζες, καθώς και τα κλάσματα, ορίζονται.
Πολλαπλασιάζοντας το πρώτο κλάσμα με \sqrt{bc} , το δεύτερο με \sqrt{ac} και το τρίτο με \sqrt{ab}, η ισότητα
που θέλουμε να αποδείξουμε γίνεται η:
\frac{1}{1+c+bc} +\frac{1}{1+a+ac} +\frac{1}{1+b+ab} =1 (1)
Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο κλάσμα με a και το τρίτο με ac οπότε η (1) γίνεται
\frac{1+a+ac}{1+a+ac}=1, που αληθεύει.

Κωνσταντίνος Τερζής


Carpe Diem
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1725

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Σάβ Οκτ 31, 2015 7:50 pm

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 580
Να δείξετε ότι για κάθε ακέραιο n, ο αριθμός n^3 - 9n + 27 δε διαιρείται με το 81.
Αν ο n δεν είναι πολλαπλάσιο του 3 τότε ο n^3 δεν είναι πολλαπλάσιο του 3. Άρα και ο n^3-9n+27 δεν είναι πολλαπλάσιο του 3, πόσο μάλλον του 81.

Μένει να δούμε τι γίνεται όταν n=3k όπου k ακέραιος. Τότε
n^3-9n+27=27(k^3-k)+27=27(k-1)k(k+1)+27

Το γινόμενο (k-1)k(k+1) είναι πάντα πολλαπλάσιο του 3 ως γινόμενο τριών διαδοχικών ακεραίων (ένας από τους k-1,k,k+1 είναι πολλαπλάσιο του 3).

Άρα ο αριθμός 27(k-1)k(k+1) είναι πολλαπλάσιο του 81 ενώ ο 27(k-1)k(k+1)+27 διαιρούμενος με 81 αφήνει υπόλοιπο 27.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4194
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1726

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Νοέμ 01, 2015 7:09 pm

ΑΣΚΗΣΗ 582 (Βαθμός δυσκολίας 6 , με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10): Αν \displaystyle{x,y \in R} και \displaystyle{z} είναι περιττός φυσικός αριθμός, και

αν ισχύει ότι : \displaystyle{x+y = x^3 +y^3 = x^5 +y^5 = z}, να βρεθούν οι αριθμοί \displaystyle{x , y , z}


Άβαταρ μέλους
kostas232
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 24, 2014 5:28 pm
Τοποθεσία: Κορινθία

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1727

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas232 » Τρί Νοέμ 03, 2015 4:59 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 582 (Βαθμός δυσκολίας 6 , με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10): Αν \displaystyle{x,y \in R} και \displaystyle{z} είναι περιττός φυσικός αριθμός, και

αν ισχύει ότι : \displaystyle{x+y = x^3 +y^3 = x^5 +y^5 = z}, να βρεθούν οι αριθμοί \displaystyle{x , y , z}
Από τη σχέση x+y=x^3+y^3=x^5+y^5 προκύπτουν οι σχέσεις x(x^2-1)+y(y^2-1)=0(1) και x(x^2-1)(x^2+1)+y(y^2-1)(y^2+1)=0(2)
Από τις (1) και (2) προκύπτει η σχέση y(y^2-1)(y^2-x^2)=0.
Παίρνοντας περιπτώσεις εύκολα βλέπουμε ότι η αρχική σχέση έχει τις λύσεις
(x,y)=(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),(1,1)(1,-1)(-1,1),(k,-k)(k,k) με k πραγματικό αριθμό διάφορο του 0,1,-1.
Λαμβάνοντας υπ' όψιν το γεγονός ότι x+y=x^3+y^3=x^5+y^5=2p-1,p\geq1,όπου p ακέραιος, λαμβάνουμε τις τριάδες
(x,y,z)=(0,1,1),(1,0,1).


Carpe Diem
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5778
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1728

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Νοέμ 03, 2015 6:54 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 582 (Βαθμός δυσκολίας 6 , με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10): Αν \displaystyle{x,y \in R} και \displaystyle{z} είναι περιττός φυσικός αριθμός, και

αν ισχύει ότι : \displaystyle{x+y = x^3 +y^3 = x^5 +y^5 = z}, να βρεθούν οι αριθμοί \displaystyle{x , y , z}
Δείτε και:
viewtopic.php?f=109&t=34737


Θανάσης Κοντογεώργης
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5268
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1729

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τετ Νοέμ 04, 2015 12:53 am

ΑΣΚΗΣΗ 583

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός

\displaystyle{{{\overline{\underbrace{444...44}_{2014\,\,\psi \eta \varphi \iota\alpha }5}}^{2}}+\underbrace{\overline{111...11}}_{2015\,\,\psi \eta \varphi \iota \alpha }-{{10}^{2015}}}

είναι τέλειο τετράγωνο.

( Ρουμανία 2015)

Μπ


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1730

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 04, 2015 8:36 am

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 583

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός

\displaystyle{{{\overline{\underbrace{444...44}_{2014\,\,\psi \eta \varphi \iota\alpha }5}}^{2}}+\underbrace{\overline{111...11}}_{2015\,\,\psi \eta \varphi \iota \alpha }-{{10}^{2015}}}

είναι τέλειο τετράγωνο.
Γενικότερα

\displaystyle{{{\overline{\underbrace{444...44}_{n}5}}^{\,2}}+\underbrace{\overline{111...11}}_{n+1 }-{{10}^{n+1}}= (\overline{\underbrace{444...44}_{n+1}}+1})^{2}}+\underbrace{\overline{111...11}}_{n+1 }-{{10}^{n+1}}}

= \overline{\underbrace{444...44}_{n+1}}^{\,2} +\overline{\underbrace{888...88}_{n+1}} +1+\underbrace{\overline{111...11}}_{n+1 }-{{10}^{n+1}}}

= \overline{\underbrace{444...44}_{n+1}}^{\,2} +\overline{\underbrace{999...99}_{n+1}} +1-{{10}^{n+1}}}

= \overline{\underbrace{444...44}_{n+1}}^{\,2} +10^{n+1}-{{10}^{n+1}}=  \overline{\underbrace{444...44}_{n+1}}^{\,2} } (τέλειο τετράγωνο).

Παράδειγμα 45^2+11-100=44^2

Φιλικά,

Μιχάλης


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4194
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1731

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Νοέμ 13, 2015 6:59 pm

ΑΣΚΗΣΗ 584 (Βαθμός δυσκολίας 5, με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10): Αν οι αριθμοί \displaystyle{a , b , c} είναι θετικοί ακέραιοι και \displaystyle{b\neq c}, και αν επί πλέον

οι αριθμοί \displaystyle{a , a+b , a+b+c} είναι ανάλογοι με τους αριθμούς \displaystyle{b , b+13 , b+c} αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{a.b.c} είναι τέλειο τετράγωνο

φυσικού αριθμού.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10653
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1732

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 13, 2015 8:47 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 584 (Βαθμός δυσκολίας 5, με κλίμακα από το 1 μέχρι το 10): Αν οι αριθμοί \displaystyle{a , b , c} είναι θετικοί ακέραιοι και \displaystyle{b\neq c}, και αν επί πλέον
οι αριθμοί \displaystyle{a , a+b , a+b+c} είναι ανάλογοι με τους αριθμούς \displaystyle{b , b+13 , b+c} αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι ο αριθμός \displaystyle{a.b.c} είναι τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού.
Ακόμα καλύτερα, βρείτε τα a,b,c (η απάντηση είναι μοναδική).


Άβαταρ μέλους
kostas232
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 24, 2014 5:28 pm
Τοποθεσία: Κορινθία

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1733

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas232 » Πέμ Νοέμ 26, 2015 7:09 pm

Άσκηση 585
Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ρητό αριθμό που μπορεί να γραφεί στη μορφή \displaystyle{\frac{x}{584}+\frac{y}{645}, με x,y ακεραίους.


Carpe Diem
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4194
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1734

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Δεκ 11, 2015 8:44 pm

kostas232 έγραψε:Άσκηση 585
Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ρητό αριθμό που μπορεί να γραφεί στη μορφή \displaystyle{\frac{x}{584}+\frac{y}{645}, με x,y ακεραίους.
H δοσμένη παράσταση γράφεται: \displaystyle{A=\frac{645x+584y}{584.645}}. Για να γίνει η \displaystyle{A} ελάχιστη και θετική, πρέπει η παράσταση \displaystyle{B=645x+584y} να γίνει ελάχιστη

και θετική. Αφού οι \displaystyle{x,y} είναι ακέραιοι τότε η ελάχιστη θετική τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση \displaystyle{B} είναι το \displaystyle{1}. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι υπάρχουν

\displaystyle{x , y\in Z}, ώστε \displaystyle{645x+584y =1}. Όμως βρίσκουμε ότι \displaystyle{(645,584)=1}. Άρα πράγματι υπάρχουν ακέραιοι \displaystyle{x,y} ώστε \displaystyle{645x + 584y = 1}, οπότε η ελάχιστη

θετική τιμή της \displaystyle{A} είναι η \displaystyle{\frac{1}{645.584}}. (Εύκολα βρίσκουμε ότι αυτό επιτυγχάνεται για \displaystyle{x=517 , y= - 571})


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4194
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1735

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Δεκ 12, 2015 10:32 pm

ΑΣΚΗΣΗ 586: Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{4x^2 - 4k^2 x =16m -1693} , με \displaystyle{k , m \in Z} δεν έχει ρίζες ίσες.


Άβαταρ μέλους
kostas232
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 24, 2014 5:28 pm
Τοποθεσία: Κορινθία

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1736

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas232 » Κυρ Δεκ 13, 2015 2:33 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
kostas232 έγραψε:Άσκηση 585
Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ρητό αριθμό που μπορεί να γραφεί στη μορφή \displaystyle{\frac{x}{584}+\frac{y}{645}, με x,y ακεραίους.
H δοσμένη παράσταση γράφεται: \displaystyle{A=\frac{645x+584y}{584.645}}. Για να γίνει η \displaystyle{A} ελάχιστη και θετική, πρέπει η παράσταση \displaystyle{B=645x+584y} να γίνει ελάχιστη

και θετική. Αφού οι \displaystyle{x,y} είναι ακέραιοι τότε η ελάχιστη θετική τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση \displaystyle{B} είναι το \displaystyle{1}. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι υπάρχουν

\displaystyle{x , y\in Z}, ώστε \displaystyle{645x+584y =1}. Όμως βρίσκουμε ότι \displaystyle{(645,584)=1}. Άρα πράγματι υπάρχουν ακέραιοι \displaystyle{x,y} ώστε \displaystyle{645x + 584y = 1}, οπότε η ελάχιστη

θετική τιμή της \displaystyle{A} είναι η \displaystyle{\frac{1}{645.584}}. (Εύκολα βρίσκουμε ότι αυτό
επιτυγχάνεται για \displaystyle{x=517 , y= - 571})

Γενικά μπορούμε να πούμε ότι, επειδή (k,m)\mid kx+my με k,m ακεραίους είναι min(km+my)=(x,m).


Carpe Diem
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5778
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1737

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Δεκ 17, 2015 1:13 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 586: Να αποδείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{4x^2 - 4k^2 x =16m -1693} , με \displaystyle{k , m \in Z} δεν έχει ρίζες ίσες.
Αν η δοθείσα εξίσωση έχει (ως προς x) δύο ίσες ρίζες, τότε k^4+16m-1693=0.
Επομένως, k^4\equiv 1693 \equiv 13 \pmod {16}.
Όμως, k^4\equiv 0, \ 1, \ 4, \ 9 \pmod{16}.


Θανάσης Κοντογεώργης
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4194
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1738

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Φεβ 05, 2016 7:37 am

ΑΣΚΗΣΗ 587:(Βαθμός δυσκολίας 4, με κλίμακα από 1 έως 10) Αν \displaystyle{x,y \in Z}, να λυθεί η εξίσωση: \displaystyle{x^3 +y^2 =x^2 +y^3}


Άβαταρ μέλους
kostas232
Δημοσιεύσεις: 134
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 24, 2014 5:28 pm
Τοποθεσία: Κορινθία

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1739

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas232 » Κυρ Φεβ 07, 2016 5:35 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 587:(Βαθμός δυσκολίας 4, με κλίμακα από 1 έως 10) Αν \displaystyle{x,y \in Z}, να λυθεί η εξίσωση: \displaystyle{x^3 +y^2 =x^2 +y^3}
Η εξίσωση γράφεται

\displaystyle{(x-y)(x^2+xy+y^2)=(x-y)(x+y) \Leftrightarrow (x-y)(x^2+y^2+xy-x-y)=0(1)}.

Αν x=y, τότε προφανώς κάθε ζεύγος (x,y)=(k,k), k\in \mathbb{Z} ικανοποιεί την εξίσωση (1).

x^2+y^2+xy-x-y=0 τότε έχουμε

\displaystyle{x^2+(y-1)x+y^2-y=0}

Για να έχει λύσεις η παραπάνω εξίσωση πρέπει

\Delta \geq 0 \Leftrightarrow (y-1)^2 -4(y^2-y) \geq 0 \Leftrightarrow -3y^2+2y+1 \geq 0 \Leftrightarrow 3y^2-2y-1 \leq 0 \Leftrightarrow y\in \left [-\frac{2}{3}, 1 \right]}.

Όμως y \in \mathbb{Z}, άρα y\in \{0,1\}.

Για y=0 έχουμε x^2-x=0 \Leftrightarrow x=0 \wedge x=1.

Για y=1 έχουμε x^2=0 \Leftrightarrow x=0.

Συνολικά, λοιπόν, η (1) έχει στο \mathbb{Z} τις λύσεις (x,y)=(0,1),(1,0),(k,k), όπου k\in \mathbb{Z}.


Carpe Diem
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 768
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#1740

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Φεβ 07, 2016 6:27 pm

kostas232 έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 587:(Βαθμός δυσκολίας 4, με κλίμακα από 1 έως 10) Αν \displaystyle{x,y \in Z}, να λυθεί η εξίσωση: \displaystyle{x^3 +y^2 =x^2 +y^3}
Η εξίσωση γράφεται

\displaystyle{(x-y)(x^2+xy+y^2)=(x-y)(x+y) \Leftrightarrow (x-y)(x^2+y^2+xy-x-y)=0(1)}.

Αν x=y, τότε προφανώς κάθε ζεύγος (x,y)=(k,k), k\in \mathbb{Z} ικανοποιεί την εξίσωση (1).

x^2+y^2+xy-x-y=0 τότε έχουμε

\displaystyle{x^2+(y-1)x+y^2-y=0}
Λίγο διαφορετικά απο εδώ και πέρα.

A= x^2+y^2+xy-x-y=0 \Rightarrow

2A = 2x^2+2y^2+2xy-2x-2y=0 \Rightarrow

2x^2+2y^2+2xy-2x-2y +1 +1=2 \Rightarrow

(x+y)^2 + (x-1)^2 +(y-1)^2 = 2

επειδή τα τετράγωνα είναι θετικά παρατηρούμε ότι θα πρέπει δυο από αυτά να είναι ίσα με ένα και το άλλο μηδέν που μας οδηγεί στις λύσεις (0,1), (1,0)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης