Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1362
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#61

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Σεπ 27, 2012 11:12 am

ΑΣΚΗΣΗ 30

Αφήστε την για λίγο σε κάποιο μαθητή

Στο παρακάτω σχήμα το τετράγωνο έχει εμβαδόν \displaystyle{\,\,1\,\,} και το τρίγωνο \displaystyle{\,\,\,{\rm{{\rm H}\Theta {\rm E}}}\,\,\,} έχει εμβαδόν \displaystyle{{\rm{ }}\,\,\frac{2}{3}\,\,} .
Να βρείτε το μήκος της \displaystyle{\,{\rm{ {\rm H}\Theta }}\,\,} .
Συνημμένα
embadon.png
embadon.png (11.25 KiB) Προβλήθηκε 1554 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1309
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#62

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Πέμ Σεπ 27, 2012 2:05 pm

Αφού \displaystyle{\left( {AB\Gamma Z} \right) = 1 \Rightarrow AZ = AB = 1}.
Έστω \displaystyle{{\rm H}\Theta  = x} και \displaystyle{y} το αντίστοιχο ύψος προς την \displaystyle{{\rm H}\Theta }, στο τρίγωνο \displaystyle{\Theta {\rm H}{\rm E}}. Τότε \displaystyle{\frac{1}{2}xy = \frac{2}{3} \Rightarrow 3xy = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{{3y}}}. Αν \displaystyle{E{\rm K}} είναι το αντίστοιχο ύψος προς την \displaystyle{AZ}, στο τρίγωνο AEZ, τότε: \displaystyle{E{\rm K} = 1 + y}
Από την ομοιότητα των τριγώνων \displaystyle{AEZ} και \displaystyle{E\Theta {\rm H}} έχουμε: \displaystyle{\frac{{\Theta {\rm H}}}{{AZ}} = \frac{y}{{E{\rm K}}} \Leftrightarrow \frac{x}{1} = \frac{y}{{1 + y}} \Leftrightarrow \frac{4}{{3y}} = \frac{y}{{1 + y}} \Leftrightarrow 3{y^2} - 4y - 4 = 0}. Η εξίσωση αυτή δίνει μία θετική και μία αρνητική ρίζα. Δεκτή είναι η \displaystyle{y = 2} από την οποία προκύπτει \displaystyle{{\rm H}\Theta  = x = \frac{2}{3}}


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1362
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#63

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Σεπ 27, 2012 2:19 pm

Σωστός :clap2:

Μια λύση με εμβαδά κάποιος ;


Kαλαθάκης Γιώργης
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1309
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#64

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Πέμ Σεπ 27, 2012 2:22 pm

Αφού \displaystyle{\left( {AB\Gamma Z} \right) = 1 \Rightarrow AZ = AB = 1\,\,\,\left( 1 \right)}.
Έστω \displaystyle{{\rm H}\Theta  = x} και \displaystyle{y} το αντίστοιχο ύψος προς την \displaystyle{{\rm H}\Theta }, στο τρίγωνο \displaystyle{\Theta {\rm H}{\rm E}}. Τότε \displaystyle{\frac{1}{2}xy = \frac{2}{3} \Rightarrow 3xy = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{{3y}}\,\,\,\left( 2 \right)}. Αν \displaystyle{E{\rm K}} είναι το αντίστοιχο ύψος προς την \displaystyle{AZ}, στο τρίγωνο AEZ, τότε: \displaystyle{E{\rm K} = 1 + y\,\,\,\left( 3 \right)}

Έχουμε \displaystyle{\left( {AEZ} \right) - \left( {{\rm A}\Theta {\rm H}{\rm Z}} \right) = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot AZ \cdot E{\rm K} - \frac{{AZ + {\rm H}\Theta }}{2} \cdot AB = \frac{2}{3}\,\,\,\mathop  \Rightarrow \limits_{(3)}^{(1),(2)} }

\displaystyle{ \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \left( {1 + y} \right) - \frac{{1 + \frac{4}{{3y}}}}{2} \cdot 1 = \frac{2}{3} \Rightarrow 3\left( {1 + y} \right) - 3\left( {1 + \frac{4}{{3y}}} \right) = 4 \Rightarrow 3 + 3y - 3 - \frac{4}{y} = 4 \Rightarrow }

\displaystyle{ \Rightarrow 3{y^2} - 4y - 4 = 0}. Η εξίσωση αυτή δίνει μία θετική και μία αρνητική ρίζα. Δεκτή είναι η \displaystyle{y = 2} από την οποία παίρνουμε \displaystyle{{\rm H}\Theta  = x = \frac{2}{3}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9905
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#65

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Σεπ 27, 2012 3:26 pm

Μεταφέρω το E "κατακόρυφα" ώστε να γίνει συνευθειακό των D,C . Το ύψος CE του τριγώνου TCE

δεν άλλαξε , άρα ούτε η βάση x . Από την ομοιότητα των TCE , TBA παίρνω : \displaystyle CE=\frac{x}{1-x} , x\neq1.

Συνεπώς : \displaystyle \frac{x}{2}{\cdot}\frac{x}{1-x}=\frac{2}{3}...\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}
Συνημμένα
δύο τρίτα.png
δύο τρίτα.png (5.9 KiB) Προβλήθηκε 1494 φορές


stranton
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 662
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 25, 2009 5:00 pm
Τοποθεσία: Σπάρτη
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#66

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranton » Πέμ Σεπ 27, 2012 4:59 pm

ΑΣΚΗΣΗ 31

Να γράψετε τον αντίστροφο ενός πρώτου αριθμού p, σαν άθροισμα δύο κλασμάτων,

που το καθένα από αυτά να έχει αριθμητή το 1.


Στράτης Αντωνέας
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4189
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#67

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Οκτ 06, 2012 10:26 pm

AΣΚΗΣΗ 32.:Αν \displaystyle{a , b , c} είναι ακέραιοι αριθμοί, να αποδείξετε ότι ο αριθμός :

\displaystyle{(a-b)(b-c)(c-a)}, είναι άρτιος.


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3826
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#68

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Οκτ 06, 2012 10:30 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 32.:Αν \displaystyle{a , b , c} είναι ακέραιοι αριθμοί, να αποδείξετε ότι ο αριθμός :

\displaystyle{(a-b)(b-c)(c-a)}, είναι άρτιος.
Μεταξύ των τριών αυτών αριθμών θα υπάρχουν σίγουρα δύο - ας υποθέσουμε οι a,b - οι οποίοι είναι είτε άρτιοι είτε περιττοί. Συνεπώς η διαφορά τους a-b είναι άρτιος άρα και το γινόμενο (a-b)(b-c)(c-a) είναι άρτιος.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3826
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#69

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Οκτ 06, 2012 10:33 pm

stranton έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 31

Να γράψετε τον αντίστροφο ενός πρώτου αριθμού p, σαν άθροισμα δύο κλασμάτων,

που το καθένα από αυτά να έχει αριθμητή το 1.
\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{p(p+1)}+\dfrac{1}{p+1}


Αλέξανδρος Συγκελάκης
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4189
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#70

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Οκτ 06, 2012 10:35 pm

stranton έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 31

Να γράψετε τον αντίστροφο ενός πρώτου αριθμού p, σαν άθροισμα δύο κλασμάτων,

που το καθένα από αυτά να έχει αριθμητή το 1.
Έστω p πρώτος. Τότε: \displaystyle{\frac{1}{p}=\frac{1}{2p}+\frac{1}{2p}}

Μήπως έχει παραληφθεί κάτι από την εκφώνηση; Γιατί δεν είναι απαραίτητο να είναι ο p πρώτος...


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4189
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#71

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Οκτ 06, 2012 10:39 pm

ΑΣΚΗΣΗ 33. Δείξτε ότι ο αριθμός \displaystyle{x^2 +2}, με \displaystyle{x\epsilon Z}, δεν διαιρείται με το 4


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4189
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#72

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Οκτ 06, 2012 10:44 pm

ΑΣΚΗΣΗ 34. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 25, δεν μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δέκα ακεραίων προσθετέων, καθένας από τους οποίους να είναι ίσος με 1, ή 3 , ή 5


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3826
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#73

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Σάβ Οκτ 06, 2012 10:48 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 27:

Να λυθεί η εξίσωση: \displaystyle{(x^{2n}+1)(y^{2m}+1)=2x^n}, με άγνωστο τον πραγματικό αριθμό x, όταν \displaystyle{m ,n\epsilon N^{*}}.
Λόγω του ότι οι αριθμοί x^{2m}+1, \ y^{2m}+1 είναι θετικοί και ισχύει x^{2m}+1\geq 2x^n έχουμε (x^{2n}+1)(y^{2m}+1)\geq 2x^n(y^{2m}+1) δηλαδή 2χ^{2n}\geq 2x^n(y^{2m}+1) οπότε y^{2m}\leq 0 που ισχύει μόνο αν y=0.

Για y=0 είναι x^{2n}+1=2x^n δηλαδή (x^n-1)^2=0 απ' όπου αν n άρτιος έχουμε τις λύσεις x=\pm 1 ενώ αν n περιττός έχουμε τη λύση x=1.

Άρα τελικά αν n άρτιος οι λύσεις είναι (x,y)=(1,0) και (x,y)=(-1,0) ενώ αν n περιττός τότε η λύση είναι η (x,y)=(1,0).

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1362
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#74

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Οκτ 06, 2012 11:17 pm

ΑΣΚΗΣΗ 33
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 33. Δείξτε ότι ο αριθμός \displaystyle{x^2 +2}, με \displaystyle{x\epsilon Z}, δεν διαιρείται με το 4
Έστω \displaystyle{\,\,\,x = 4{\rm{\kappa  + \upsilon }}\,\,{\rm{, \upsilon  = 0}}{\rm{,1}}{\rm{,2}}{\rm{,3}}\,\,\,\,\,} . Τότε:
\displaystyle{{{\rm{x}}^2} + 2 = {\left( {4{\rm{\kappa  + \upsilon }}} \right)^2} + 2 = 16{\kappa ^2} + 8\kappa \upsilon  + {\upsilon ^2} + 2 = 4(4{\kappa ^2} + 2\kappa \upsilon ) + {\upsilon ^2} + 2 = 4\rho  + {\upsilon ^2} + 2}

Επομένως :
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 \Gamma \iota \alpha \,\,\,\upsilon  = 0 \Rightarrow {{\rm{x}}^2} + 2 = 4\rho  + 2 \\  
 \Gamma \iota \alpha \,\,\,\upsilon  = 1 \Rightarrow {{\rm{x}}^2} + 2 = 4\rho  + 3 \\  
 \Gamma \iota \alpha \,\,\,\upsilon  = 2 \Rightarrow {{\rm{x}}^2} + 2 = 4\rho  + 6 = 4\rho  + 4 + 2 = 4\mu  + 2 \\  
 \Gamma \iota \alpha \,\,\,\upsilon  = 3 \Rightarrow {{\rm{x}}^2} + 2 = 4\rho  + 11 = 4\rho  + 8 + 3 = 4\nu  + 3 \\  
 \end{array}}
Βλέπουμε ότι ο αριθμός \displaystyle{\,\,\,{{\rm{x}}^2} + 2\,\,} έχει πάντα τη μορφή
\displaystyle{\,\,4\rho  + 2\,\,} ή \displaystyle{\,\,\,4\rho  + 3\,\,} και επομένως δεν διαιρείται με το \displaystyle{\,\,4}
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Σάβ Οκτ 06, 2012 11:39 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1362
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#75

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Οκτ 06, 2012 11:28 pm

ΑΣΚΗΣΗ 34
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 34. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 25, δεν μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δέκα ακεραίων προσθετέων, καθένας από τους οποίους να είναι ίσος με 1, ή 3 , ή 5
Έστω ότι αυτό γίνεται . Έστω ότι χρησιμοποιούμε \displaystyle{\,\,\,k\,\,} φορές το \displaystyle{\,\,1\,\,\,,}
\displaystyle{\,\,m\,\,} φορές το \displaystyle{\,\,\,3\,\,\,,} \displaystyle{\,\,n\,\,\,} φορές το \displaystyle{\,\,5\,\,\,}
Τότε ισχύει :
\displaystyle{k + m + n = 10 \Leftrightarrow n = 10 - k - m}
και
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 k \cdot 1 + m \cdot 3 + n \cdot 5 = 25 \Leftrightarrow k + 3m + 5(10 - k - m) = 25 \Leftrightarrow  \\  
  \Leftrightarrow  - 4k - 2m =  - 25 \Leftrightarrow 4k + 2m = 25 \Leftrightarrow 2\left( {2k + m} \right) = 25 \Leftrightarrow 2{\rm{\rho  = 25}} \\  
 \end{array}}
Το τελευταίο είναι προφανώς άτοπο
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Σάβ Οκτ 06, 2012 11:39 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


Kαλαθάκης Γιώργης
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4189
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#76

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Οκτ 06, 2012 11:29 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 33. Δείξτε ότι ο αριθμός \displaystyle{x^2 +2}, με \displaystyle{x\epsilon Z}, δεν διαιρείται με το 4
Και ένας ακόμα παρόμοιος τρόπος λύσης για την άσκηση 33:

Αν x=2k, τότε x^2 +2=4k^2 +2, άρα ο x^2 +2, δεν διαιρείται με το 4, (αφού αφήνει υπόλοιπο 2)

Αν πάλι x=2k+1, τότε x^2 +2 =4k^2 +4k+3=4m+3, και άρα και πάλι δεν διαιρείται με το4, (αφού δίνει υπόλοιπο3)
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Σάβ Οκτ 06, 2012 11:40 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4189
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#77

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Οκτ 06, 2012 11:46 pm

AΣΚΗΣΗ 35. Αν ο a είναι περιττός ακέραιος, τότε ο αριθμός:

\displaystyle{A=a^2 +(a+2)^2 +(a+4)^2 +1}, διαιρείται με το 12
Θεωρώ ότι είναι μια πολύ ωραία άσκηση να γίνει μέσα στην τάξη τώρα που οι μαθητές της Γ Γυμνασίου, διδάσκονται τις ταυτότητες. Έτσι τους φέρνουμε (όσοι είναι αρχάριοι) σε μια πρώτη επαφή με τα διαγωνιστικά μαθηματικά.
Και μπορούμε να δώσουμε και για το σπίτι να λύσουν την παρόμοια:

Αν a άρτιος, τότε ο αριθμός \displaystyle{A=a^2 +(a+1)^2 +(a+3)^2 -2a+2}, διαιρείται με το 4


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1362
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#78

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Οκτ 07, 2012 12:36 am

ΑΣΚΗΣΗ 36

Γνωρίζοντας ότι ο κύκλος έχει ακτίνα \displaystyle{\,\,\,1\,\,\,} και το τόξο \displaystyle{\,\,\,{\rm{{\rm A}\Gamma }}\,\,\,\,} είναι τετραπλάσιο από το \displaystyle{\,\,{\rm{\Gamma {\rm B}}}\,\,}, να υπολογίσετε τη διαφορά \displaystyle{\,\,{{\rm E}_1} - {{\rm E}_2}}
των έγχρωμων κυκλικών τμημάτων
Συνημμένα
kyklos.png
kyklos.png (15.09 KiB) Προβλήθηκε 1331 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1309
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#79

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Κυρ Οκτ 07, 2012 4:31 am

ΑΣΚΗΣΗ 36

Από την υπόθεση συνεπάγεται ότι \displaystyle{{\rm{\tau o\xi }}\,{\rm{{\rm A}}}\Gamma  = {144^0}} και \displaystyle{{\rm{\tau o\xi }}\,\Gamma {\rm B} = {36^0}}

Αν \displaystyle{O} το κέντρο του κύκλου, τότε \displaystyle{\left( {OA\Gamma } \right) = \left( {OB\Gamma } \right) = \varepsilon }

Έχουμε \displaystyle{{E_1} - {E_2} = {E_1} - {E_2} + \varepsilon  - \varepsilon  = {E_1} + \varepsilon  - \left( {{E_2} + \varepsilon } \right) = }εμβαδόν τομέα \displaystyle{\left( {O.{\rm A}\Gamma } \right) - }

\displaystyle{ - } εμβαδόν τομέα \displaystyle{\left( {O.{\rm B}\Gamma } \right) = \frac{{\pi  \cdot {1^2} \cdot 144}}{{360}} - \frac{{\pi  \cdot {1^2} \cdot 36}}{{360}} = \frac{{108\pi }}{{360}} = \frac{{3\pi }}{{10}}}


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1362
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#80

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Οκτ 07, 2012 8:34 am

ΑΣΚΗΣΗ 37

Να βρείτε το πλήθος των αριθμών από το \displaystyle{\,\,\,\,1\,\,\,} έως το \displaystyle{\,\,\,2012\,\,\,} που έχουν όλα τα ψηφία τους διαφορετικά


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης