Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Karanus
Δημοσιεύσεις: 101
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 16, 2011 12:30 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#41

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Karanus » Παρ Αύγ 31, 2012 10:54 pm

sokratis lyras έγραψε:
exdx έγραψε:Άσκηση 20

Να βρεθούν όλες οι τριάδες ακεραίων αριθμών \displaystyle{\,\,\,\,\left( {x,y,z} \right)} που ικανοποιούν τη σχέση

\displaystyle{xyz - 2(xy + xz + yz) + 4(x + y + z) = 7}
Κλεόβουλε μου φαίνεται πως το μοναδικό που χρειάζεται να γνωρίζεις για να λύσεις αυτήν την άσκηση είναι μόνο το τί είναι ένας ακέραιος αριθμός(που νομίζω ότι το γνωρίζεις).
Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι :(x-2)(y-2)(z-2)=LHS-15\Rightarrow (x-2)(y-2)(z-2)=1 και αφού x,y,z\in Z τα πράγματα είναι απλά.
(x-2)(y-2)(z-2)=LHS-15\Rightarrow (x-2)(y-2)(z-2)=1 :αυτό πως το παρατήρησες;

LHS: left hand side δηλ. εννοεί το αριστερό μέρος της ισότητας
RHS:right hand side ,το δεξιό μέρος της ισότητας


sokratis lyras
Δημοσιεύσεις: 710
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 05, 2011 9:13 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#42

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokratis lyras » Παρ Αύγ 31, 2012 11:01 pm

Karanus έγραψε:
sokratis lyras έγραψε:
exdx έγραψε:Άσκηση 20

Να βρεθούν όλες οι τριάδες ακεραίων αριθμών \displaystyle{\,\,\,\,\left( {x,y,z} \right)} που ικανοποιούν τη σχέση

\displaystyle{xyz - 2(xy + xz + yz) + 4(x + y + z) = 7}
Κλεόβουλε μου φαίνεται πως το μοναδικό που χρειάζεται να γνωρίζεις για να λύσεις αυτήν την άσκηση είναι μόνο το τί είναι ένας ακέραιος αριθμός(που νομίζω ότι το γνωρίζεις).
Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι :(x-2)(y-2)(z-2)=LHS-15\Rightarrow (x-2)(y-2)(z-2)=1 και αφού x,y,z\in Z τα πράγματα είναι απλά.
(x-2)(y-2)(z-2)=LHS-15\Rightarrow (x-2)(y-2)(z-2)=1 :αυτό πως το παρατήρησες;
Yπάρχουν 2 τρόποι(που γνωρίζω εγώ).Ο ένας είναι να προσπαθήσεις να κάνεις παραγοντοποίηση με διάφορες προσθαφαιρέσεις.
Εγώ πήγα αλλιώς.Σκέφτηκα ότι στο ανάπτυγμα της παράστασης (x-k)(y-k)(z-k) εμφανίζονται το άθροισμα,τα διπλάσια γινόμενα των 3 μεταβήτών και το γινόμενο τους και έτσι το πρόβλημα αναχθηκέ στην αναζήτηση του k που στην προκειμένη είναι πολύ απλό.


Karanus
Δημοσιεύσεις: 101
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 16, 2011 12:30 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#43

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Karanus » Παρ Αύγ 31, 2012 11:13 pm

sokratis lyras έγραψε:
Karanus έγραψε:
sokratis lyras έγραψε:
exdx έγραψε:Άσκηση 20

Να βρεθούν όλες οι τριάδες ακεραίων αριθμών \displaystyle{\,\,\,\,\left( {x,y,z} \right)} που ικανοποιούν τη σχέση

\displaystyle{xyz - 2(xy + xz + yz) + 4(x + y + z) = 7}
Κλεόβουλε μου φαίνεται πως το μοναδικό που χρειάζεται να γνωρίζεις για να λύσεις αυτήν την άσκηση είναι μόνο το τί είναι ένας ακέραιος αριθμός(που νομίζω ότι το γνωρίζεις).
Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι :(x-2)(y-2)(z-2)=LHS-15\Rightarrow (x-2)(y-2)(z-2)=1 και αφού x,y,z\in Z τα πράγματα είναι απλά.
(x-2)(y-2)(z-2)=LHS-15\Rightarrow (x-2)(y-2)(z-2)=1 :αυτό πως το παρατήρησες;
Yπάρχουν 2 τρόποι(που γνωρίζω εγώ).Ο ένας είναι να προσπαθήσεις να κάνεις παραγοντοποίηση με διάφορες προσθαφαιρέσεις.
Εγώ πήγα αλλιώς.Σκέφτηκα ότι στο ανάπτυγμα της παράστασης (x-k)(y-k)(z-k) εμφανίζονται το άθροισμα,τα διπλάσια γινόμενα των 3 μεταβήτών και το γινόμενο τους και έτσι το πρόβλημα αναχθηκέ στην αναζήτηση του k που στην προκειμένη είναι πολύ απλό.
"Σκέφτηκα ότι στο ανάπτυγμα της παράστασης (x-k)(y-k)(z-k) εμφανίζονται το άθροισμα,τα διπλάσια γινόμενα των 3 μεταβήτών και το γινόμενο τους" : αυτό απο το ξέρει κάποιος;


gauss1988
Δημοσιεύσεις: 178
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 24, 2011 5:17 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#44

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gauss1988 » Σάβ Σεπ 01, 2012 12:00 am

exdx έγραψε:Άσκηση 20

Να βρεθούν όλες οι τριάδες ακεραίων αριθμών \displaystyle{\,\,\,\,\left( {x,y,z} \right)} που ικανοποιούν τη σχέση

\displaystyle{xyz - 2(xy + xz + yz) + 4(x + y + z) = 7}

Κάνω πράξεις:

\displaystyle{xyz-2xy-2xz-2yz+4x+4y+4z=7\Leftrightarrow xy(z-2)-2x(z-2)-2y(z-2)+4z=7\Leftrightarrow(z-2)(xy-2x-2y)+4z-8+8=7}

\displaystyle{\Leftrightarrow (z-2)(xy-2x-2y)+4(z-2)=-1\Leftrightarrow (z-2)(xy-2x-2y+4)=-1\Leftrightarrow }

\displaystyle{\Leftrightarrow (z-2)[x(y-2)-2(y-2)]=-1\Leftrightarrow (z-2)(y-2)(x-2)=-1}

Άρα:

\displaystyle{z-2=1 , y-2=1, x-2=-1} , ή

\displaystyle{z-2=1, y-2=-1 , x-2=1}, ή........ κλπ

Δηλαδή

\displaystyle{(z=3 , y=3 , x=1)} , ή \displaystyle{(z=3 , y=1 , x=3)}, ή , \displaystyle{(z=1 , y=3 , x=3)}, ή \displaystyle{(z=1 , y=1 , x=1)}


sokratis lyras
Δημοσιεύσεις: 710
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 05, 2011 9:13 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#45

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokratis lyras » Σάβ Σεπ 01, 2012 12:26 am

Karanus έγραψε:
sokratis lyras έγραψε:
Karanus έγραψε:
sokratis lyras έγραψε:
exdx έγραψε:Άσκηση 20

Να βρεθούν όλες οι τριάδες ακεραίων αριθμών \displaystyle{\,\,\,\,\left( {x,y,z} \right)} που ικανοποιούν τη σχέση

\displaystyle{xyz - 2(xy + xz + yz) + 4(x + y + z) = 7}
Κλεόβουλε μου φαίνεται πως το μοναδικό που χρειάζεται να γνωρίζεις για να λύσεις αυτήν την άσκηση είναι μόνο το τί είναι ένας ακέραιος αριθμός(που νομίζω ότι το γνωρίζεις).
Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι :(x-2)(y-2)(z-2)=LHS-15\Rightarrow (x-2)(y-2)(z-2)=1 και αφού x,y,z\in Z τα πράγματα είναι απλά.
(x-2)(y-2)(z-2)=LHS-15\Rightarrow (x-2)(y-2)(z-2)=1 :αυτό πως το παρατήρησες;
Yπάρχουν 2 τρόποι(που γνωρίζω εγώ).Ο ένας είναι να προσπαθήσεις να κάνεις παραγοντοποίηση με διάφορες προσθαφαιρέσεις.
Εγώ πήγα αλλιώς.Σκέφτηκα ότι στο ανάπτυγμα της παράστασης (x-k)(y-k)(z-k) εμφανίζονται το άθροισμα,τα διπλάσια γινόμενα των 3 μεταβήτών και το γινόμενο τους και έτσι το πρόβλημα αναχθηκέ στην αναζήτηση του k που στην προκειμένη είναι πολύ απλό.
"Σκέφτηκα ότι στο ανάπτυγμα της παράστασης (x-k)(y-k)(z-k) εμφανίζονται το άθροισμα,τα διπλάσια γινόμενα των 3 μεταβήτών και το γινόμενο τους" : αυτό απο το ξέρει κάποιος;
Δεν είναι να το ξέρεις απέξω..είναι να το φανταστείς ή να το έχεις δει κάπου μιας και παραστάσεις αυτής της μορφής συναντούνται πολύ συχνα στους διαγωνισμούς γυμνασίου.


Karanus
Δημοσιεύσεις: 101
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 16, 2011 12:30 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#46

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Karanus » Σάβ Σεπ 01, 2012 10:08 am

1η τοποθέτηση (δύο σκέψεις)
{Yπάρχουν 2 τρόποι(που γνωρίζω εγώ).Ο ένας είναι να προσπαθήσεις να κάνεις παραγοντοποίηση με διάφορες προσθαφαιρέσεις.
Εγώ πήγα αλλιώς.Σκέφτηκα ότι στο ανάπτυγμα της παράστασης εμφανίζονται το άθροισμα,τα διπλάσια γινόμενα των 3 μεταβήτών και το γινόμενο τους και έτσι το πρόβλημα αναχθηκέ στην αναζήτηση του που στην προκειμένη είναι πολύ απλό.
"}

2η τοποθέτηση
{Δεν είναι να το ξέρεις απέξω..είναι να το φανταστείς ή να το έχεις δει κάπου μιας και παραστάσεις αυτής της μορφής συναντούνται πολύ συχνα στους διαγωνισμούς γυμνασίου.}

3η τοποθέτηση
Η αναλυτική επιλυση του gauss1988

Όλα τα παραπάνω είναι αυτά που θα ήθελε να ακούσει και να δει γραμμένα, ένα παιδί που τώρα ξεκινάει και ασχολείται με τους διαγωνισμούς, όπως άλλωστε ρητά δηλώνεται και στον τίτλο του συγκεκριμένου φακέλου ,"Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθ.....".
Σίγουρα λοιπόν δεν του έφτανε να ξέρει ,"τι είναι ακέραιος για να λύσει την άσκηση" ,φίλε Σωκράτη.
Αν θέλεις πραγματικά να τον βοηθήσεις πρέπει να του πείς όλες αυτές τις σκέψεις σου.
Αυτό βέβαια ισχύει για όλους μας και όχι μόνο για τον ταλαντούχο Σωκράτη.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9573
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#47

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Σεπ 01, 2012 11:02 am

Άσκηση 19 . Να λυθεί η εξίσωση : \displaystyle 2x^2-4x+\frac{x+1}{\sqrt{x}}=0

Άλλη λύση : Η εξίσωση γράφεται : \displaystyle \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=-2x^2+4x . Επειδή \sqrt{x}>0

είναι \displaystyle \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\geq 2 ( θυμηθείτε \displaystyle \theta +\frac{1}{\theta }\geq 2 ), ενώ το τριώνυμο του β' μέλους έχει μέγιστη τιμή

το 2 για x=1 ( θυμηθείτε την κορυφή της παραβολής που είναι η γρ. παράσταση του τριωνύμου ).

Έτσι το x=1 είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης .


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1306
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#48

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Σεπ 01, 2012 11:10 am

Άσκηση 21

Εύκολη - απαιτούνται γνώσεις Β΄ Γυμνασίου

Μια διαδικασία ολοκληρώνεται από τον Α σε \displaystyle{\,\,3} ώρες , από τον Β σε \displaystyle{\,\,10\,\,} ώρες και από τον Γ σε \displaystyle{\,\,15\,\,} ώρες .
Αν εργαστούν και οι τρεις μαζί σε πόσες ώρες θα την ολοκληρώσουν ;


Kαλαθάκης Γιώργης
sokratis lyras
Δημοσιεύσεις: 710
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 05, 2011 9:13 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#49

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokratis lyras » Σάβ Σεπ 01, 2012 11:54 am

Karanus έγραψε:1η τοποθέτηση (δύο σκέψεις)
{Yπάρχουν 2 τρόποι(που γνωρίζω εγώ).Ο ένας είναι να προσπαθήσεις να κάνεις παραγοντοποίηση με διάφορες προσθαφαιρέσεις.
Εγώ πήγα αλλιώς.Σκέφτηκα ότι στο ανάπτυγμα της παράστασης εμφανίζονται το άθροισμα,τα διπλάσια γινόμενα των 3 μεταβήτών και το γινόμενο τους και έτσι το πρόβλημα αναχθηκέ στην αναζήτηση του που στην προκειμένη είναι πολύ απλό.
"}

2η τοποθέτηση
{Δεν είναι να το ξέρεις απέξω..είναι να το φανταστείς ή να το έχεις δει κάπου μιας και παραστάσεις αυτής της μορφής συναντούνται πολύ συχνα στους διαγωνισμούς γυμνασίου.}

3η τοποθέτηση
Η αναλυτική επιλυση του gauss1988

Όλα τα παραπάνω είναι αυτά που θα ήθελε να ακούσει και να δει γραμμένα, ένα παιδί που τώρα ξεκινάει και ασχολείται με τους διαγωνισμούς, όπως άλλωστε ρητά δηλώνεται και στον τίτλο του συγκεκριμένου φακέλου ,"Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθ.....".
Σίγουρα λοιπόν δεν του έφτανε να ξέρει ,"τι είναι ακέραιος για να λύσει την άσκηση" ,φίλε Σωκράτη.
Αν θέλεις πραγματικά να τον βοηθήσεις πρέπει να του πείς όλες αυτές τις σκέψεις σου.
Αυτό βέβαια ισχύει για όλους μας και όχι μόνο για τον ταλαντούχο Σωκράτη.
Αρχικά ο Κλεόβουλος ζήτησε την απαραίτητη θεωρία για την επίλυση της παραπάνω άσκησης και απλώς απάντησα πως δεν υπάρχει κάποια θεωρία που πρέπει να γνωρίζεις για να την λύσεις.Νομίζω ότι ήμουν σαφής.Για παράδειγμα η άσκηση : Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση A=x^4+4y^4 είιναι αρκετά δύσκολη για κάποιον που δεν είναι εξικοιωμένος με την παραγοντοποίηση όμως δεν χρειάζεται καμία επιπλέον γνώση εκτός αυτής της παραγοντοποίησης.Ο Κλεόβουλος είπε σαφέστατα ότι θέλει να ξέρει την θεωρία και τίποτα παραπάνω.Δεν μπορώ να καταλάβω το ύφος της απάντησης σου karanus.


freyia
Δημοσιεύσεις: 197
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 15, 2011 9:44 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#50

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από freyia » Σάβ Σεπ 01, 2012 12:57 pm

exdx έγραψε:Άσκηση 21

Εύκολη - απαιτούνται γνώσεις Β΄ Γυμνασίου

Μια διαδικασία ολοκληρώνεται από τον Α σε \displaystyle{\,\,3} ώρες , από τον Β σε \displaystyle{\,\,10\,\,} ώρες και από τον Γ σε \displaystyle{\,\,15\,\,} ώρες .
Αν εργαστούν και οι τρεις μαζί σε πόσες ώρες θα την ολοκληρώσουν ;
Έστω ότι η διαδικασία θα ολοκληρωθεί σε x ώρες. Τότε σε 1 ώρα , ο A, θα έχει εκτελέσει τα \displaystyle{\frac{1}{3}} της διαδικασίας, ο B τα \displaystyle{\frac{1}{10}} και ο \Gamma , τα \displaystyle{\frac{1}{15}} της διαδικασίας. Επομένως, μέσα σε μια ώρα, και οι τρεις μαζί, θα έχουνε εκτελέσει τα \displaystyle{\frac{1}{3}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}} της διαδικασίας, δηλαδή τα
\displaystyle{\frac{1}{2}} της διαδικασίας.
Επομένως, μέσα σε μια ώρα, θα έχει εκτελεστεί η μισή διαδικασία και άρα ολόκληρη θα εκτελεστεί μέσα σε 2 ώρες.

Edit: Διόρθωσα μια λανθασμένη διατύπωση που μου την είπε ο gauss1988 :P

ΠΑΡΟΜΟΙΑ ΜΕ ΑΥΤΟ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΙΝΑΙ ΚΑΙ ΤΑ ΕΠΟΜΕΝΑ:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 22. Μια βρύση, γεμίζει μια δεξαμενή σε 6 ώρες. Μια άλλη σε 9 ώρες. Και οι δύο μαζί σε πόσες ώρες θα την γεμίσουν;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 23. Μια βρύση, γεμίζει μια δεξαμενή σε 4 ώρες. Μια άλλη, που είναι στο κάτω μέρος της δεξαμενής, μπορεί να την αδειάσει σε 6 ώρες. Άμα ανοιχτούνε και οι δύο μαζί, σε πόση ώρα θα γεμίσει η δαξαμενή;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 24. Σε κυλιόμενες σκάλες ενός πολυκαταστήματος, ένας πελάτης, άμα σταθεί ακίνητος, ανεβάίνει σε 2 λεπτά.
Άμα όμως έχει κοπεί το ρεύμα, παρατήρησε ότι ανεβαίνει σε 3 λεπτά. Πόσο χρόνο θα χρειαστεί να ανέβει, όταν και ο ίδιος ανεβαίνει αλλά και οι σκάλες λειτουργούνε;


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#51

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Σεπ 02, 2012 7:56 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 25: Αν οι αριθμοί \displaystyle{a , b , x , y} είναι διάφοροι του μηδενός και αν \displaystyle{ay=bx}, να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράσρασης:

\displaystyle{P=\frac{x^2}{x^2 +y^2}+\frac{b^2}{a^2 +b^2}}

Μια μικρή υπόδειξη για τους μικρούς μαθητές, αν δεν καταφέρουν να την λύσουν:
Από την σχέση \displaystyle{ay=bx\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{x}{y}.}. Σε καθένα τώρα από τα κλάσματα της παράστασης P, προσπαθήστε να εμφανίσετε τους λόγους \displaystyle{\frac{a}{b} , \frac{x}{y}}

ΣΗΜ. Άλλαξα την αρίμηση στην άσκηση αυτή


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#52

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τρί Σεπ 11, 2012 10:22 pm

freyia έγραψε:ΠΑΡΟΜΟΙΑ ΜΕ ΑΥΤΟ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΙΝΑΙ ΚΑΙ ΤΑ ΕΠΟΜΕΝΑ:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 22. Μια βρύση, γεμίζει μια δεξαμενή σε 6 ώρες. Μια άλλη σε 9 ώρες. Και οι δύο μαζί σε πόσες ώρες θα την γεμίσουν;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 23. Μια βρύση, γεμίζει μια δεξαμενή σε 4 ώρες. Μια άλλη, που είναι στο κάτω μέρος της δεξαμενής, μπορεί να την αδειάσει σε 6 ώρες. Άμα ανοιχτούνε και οι δύο μαζί, σε πόση ώρα θα γεμίσει η δαξαμενή;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 24. Σε κυλιόμενες σκάλες ενός πολυκαταστήματος, ένας πελάτης, άμα σταθεί ακίνητος, ανεβάίνει σε 2 λεπτά.
Άμα όμως έχει κοπεί το ρεύμα, παρατήρησε ότι ανεβαίνει σε 3 λεπτά. Πόσο χρόνο θα χρειαστεί να ανέβει, όταν και ο ίδιος ανεβαίνει αλλά και οι σκάλες λειτουργούνε;

Μιας και δεν απαντήθηκαν, ας δώσω σύντομες απαντήσεις:

ΓΙΑ ΤΗΝ 22:

Έστω ότι η δεξαμενή θα γεμίσει σε x ώρες. Τότε η πρώτη βρύση θα έχει γεμίσει τα \displaystyle{\frac{x}{6}} της δεξαμενής.

και η δεύτερη βρύση τα \displaystyle{\frac{x}{9}} αυτής. Άρα για να βρω το x, θα λύσω την εξίσωση:

\displaystyle{\frac{x}{6}+\frac{x}{9}=1}, από όπου προκύπτει \displaystyle{x=\frac{18}{5}} ώρες.

ΓIA THN 23:

Όμοια αν εργαστούμε όπως και πριν, έχουμε:

\displaystyle{\frac{x}{4}-\frac{x}{6}=1}, από όπου προκύπτει \displaystyle{x=12} ώρες.

ΓΙΑ ΤΗΝ 24:

Όμοια όπως και με τις παραπάνω, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση:

\displaystyle{\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=1}, απ'ο 'οπου \displaystyle{x=\frac{6}{5}} λεπτ'α.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#53

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τρί Σεπ 11, 2012 10:31 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 25: Αν οι αριθμοί \displaystyle{a , b , x , y} είναι διάφοροι του μηδενός και αν \displaystyle{ay=bx}, να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράσρασης:

\displaystyle{P=\frac{x^2}{x^2 +y^2}+\frac{b^2}{a^2 +b^2}}

Μια μικρή υπόδειξη για τους μικρούς μαθητές, αν δεν καταφέρουν να την λύσουν:
Από την σχέση \displaystyle{ay=bx\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{x}{y}.}. Σε καθένα τώρα από τα κλάσματα της παράστασης P, προσπαθήστε να εμφανίσετε τους λόγους \displaystyle{\frac{a}{b} , \frac{x}{y}}

ΣΗΜ. Άλλαξα την αρίθμηση στην άσκηση αυτή

Έχουμε \displaystyle{ay=bx\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{x}{y}}

Τώρα, έχουμε:

\displaystyle{P=\frac{\frac{x^2}{y^2}}{\frac{x^2}{y^2}+1}+\frac{\frac{b^2}{b^2}}{\frac{a^2}{b^2}+1}=}

\displaystyle{\frac{(\frac{x}{y})^{2}}{(\frac{x}{y})^{2}+1}+\frac{1}{(\frac{a}{b})^{2}+1}=}

\displaystyle{\frac{(\frac{x}{y})^{2}}{(\frac{x}{y})^{2}+1}+\frac{1}{(\frac{x}{y})^{2}+1}=1}


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#54

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Σεπ 12, 2012 11:31 pm

AΣΚΗΣΗ 26:

Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle{ABC}, με \displaystyle{AB=AC}, θεωρούμε σημείο \displaystyle{D} στην βάση \displaystyle{BC} και σημείο \displaystyle{E} στην πλευρά \displaystyle{AC}, έτσι ώστε η γωνία \displaystyle{BAD} να ισούται με το διπλάσιο της γωνίας \displaystyle{CDE}.
Nα αποδείξετε ότι \displaystyle{AD=AE}.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#55

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Σεπ 15, 2012 9:52 pm

ΑΣΚΗΣΗ 27:

Να λυθεί η εξίσωση: \displaystyle{(x^{2n}+1)(y^{2m}+1)=2x^n}, με άγνωστο τον πραγματικό αριθμό x, όταν \displaystyle{m ,n\epsilon N^{*}}.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1306
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#56

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Σεπ 16, 2012 8:32 am

ΑΣΚΗΣΗ 26
Το σχήμα και μια βοήθεια
Τι ξέρετε για την εξωτερική γωνία τριγώνου ;
Συνημμένα
Isosceles.png
Isosceles.png (9.22 KiB) Προβλήθηκε 1210 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης
freyia
Δημοσιεύσεις: 197
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 15, 2011 9:44 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#57

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από freyia » Πέμ Σεπ 20, 2012 9:51 pm

exdx έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 26
Το σχήμα και μια βοήθεια
Τι ξέρετε για την εξωτερική γωνία τριγώνου ;

Θέλω να αποδείξω ότι AD=AE. Επομένως, πρέπει να αποδείξω ότι οι γωνίες y και w είναι ίσες.

Όμως η γωνία w , είναι εξωτερική στο τρίγωνο DEC και επομένως, θα ισούται με το άθροισμα των απέναντι εσωτερικών γωνιών του. Δηλαδή, w=x+z (i)

Επίσης, η γωνία ADC, είναι εξωτερική στο τρίγωνο ABD, και επομένως, y+z=x+2z, δηλ. y=x+z (ii)

Από (ι) και (ii), βρίσκω w=y , δηλ. AD=AE


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5240
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#58

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Παρ Σεπ 21, 2012 10:48 am

ΑΣΚΗΣΗ 28

Αν οι φυσικοί αριθμοί ab,bc,ca είναι τέλειοι κύβοι, να αποδειχθεί ότι και οι φυσικοί αριθμοί a,b,c είναι τέλειοι κύβοι.

Μπάμπης


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5240
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#59

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Παρ Σεπ 21, 2012 11:18 am

ΑΣΚΗΣΗ 29

Έστω a,b ακέραιοι αριθμοί, έτσι ώστε οι αριθμοί ab, (a+1)(b-1) να είναι διαδοχικοί ακέραιοι. Να αποδείξετε ότι ο

αριθμός ab+1 είναι τέλειο τετράγωνο.

Μπάμπης


Atemlos
Δημοσιεύσεις: 587
Εγγραφή: Τετ Αύγ 17, 2011 6:11 am
Τοποθεσία: North

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#60

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Atemlos » Παρ Σεπ 21, 2012 12:05 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 29

Έστω a,b ακέραιοι αριθμοί, έτσι ώστε οι αριθμοί ab, (a+1)(b-1) να είναι διαδοχικοί ακέραιοι. Να αποδείξετε ότι ο

αριθμός ab+1 είναι τέλειο τετράγωνο.

Μπάμπης
Θα είναι \displaystyle{(a + 1)\left( {b - 1} \right) - ab = 1 \Rightarrow b - a = 2} και έχουμε ότι :


\displaystyle{ab + 1 = a\left( {a + 2} \right) + 1 = {a^2} + 2a + 1 = a\left( {a + 1} \right) + \left( {a + 1} \right) = {\left( {a + 1} \right)^2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: grigkost και 1 επισκέπτης