Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

kleovoulos
Δημοσιεύσεις: 285
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 02, 2012 3:12 pm
Τοποθεσία: Κολινδρός Πιερίας
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kleovoulos » Τετ Αύγ 15, 2012 6:09 pm

Απαντώ για την 10, μου φαίνεται ότι είναι ώρα να φρεσκάρω τη Γεωμετρία μου.

Μην ξεχνάτε ότι μένουνε οι 6,7,9,11,12,13,14.

Ξεκινάμε....

Από το πρώτο τρίγωνο παίρνουμε ότι:

3x+4x=180-C

Από το δεύτερο τρίγωνο παίρνουμε ότι:

5x=180-C-E

Kαι από το τρίτο τρίγωνο, ισχύει ότι:

6x+2x=180-E

Άρα: 5x+C=180-E \Leftrightarrow 6x+2x=5x+C\Leftrightarrow 8x=5x+C \Leftrightarrow 8x-5x=C\Leftrightarrow C=3x

Και για να βρούμε το Ε ισχύει ότι: 5x=180-C-E \Leftrightarrow 5x+E=180-C
Άρα: 5x+E=3x+4x \Leftrightarrow E=3x+4x-5x \Leftrightarrow E=2x

Τέλος, αντικαθιστούμε τις σχέσεις και βρίσκουμε ότι:

3x+4x=180-C \Leftrightarrow 3x+4x+C=180 \Leftrightarrow 3x+4x+3x=180 \Leftrightarrow 10x=180 \Leftrightarrow x=18

Άρα η μόνη τιμή που μπορεί να πάρει το χ είναι ο αριθμός 18.


Κλεόβουλος Κοφονικόλας
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1939
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τετ Αύγ 15, 2012 11:34 pm

κάποιοι έχουν βαλθεί να με τρέχουν :evil: καλοκαιριάτικα :P :P


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5240
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Αύγ 16, 2012 10:14 am

Άλλη μια καλή ασκησούλα ,επιπέδου Θαλή Β' Γυμνασίου ,για τη συλλογή των φίλων Δημήτρη και Γιώργου.


ΑΣΚΗΣΗ 15

Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί :

1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9 , 11, 12 , 13 , 14, 16, 17, 18, 19, 21, .........

α) Να αποδείξετε ότι στην παραπάνω σειρά αριθμών (ακολουθία) δεν ανήκει ο αριθμός 2010

β) Ποιος αριθμός βρίσκεται στη 2010η θέση της ακολουθίας αυτής.

γ) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 2010 αριθμών της παραπάνω ακολουθίας.

Μπάμπης


freyia
Δημοσιεύσεις: 197
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 15, 2011 9:44 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από freyia » Παρ Αύγ 17, 2012 5:31 pm

Για την άσηση 11.

(Αναφέρομαι στο σχήμα του κ. Ρίζου)

Επειδή η \displaystyle{\Gamma \Delta} είναι κάθετη στην \displaystyle{\epsilon _3}, θα είναι κάθετη και στην \displaystyle{\epsilon _1}. Επομένως το τρίγωνο \displaystyle{A\Delta E} , είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Επομένως η γωνία \displaystyle{A\Delta E} θα είναι ίση με \displaystyle{45^o}, και τόσο θα είναι και η γωνία \displaystyle{\Delta AE}.

H γωνία \displaystyle{\Delta \Gamma B}, είναι ίση με \displaystyle{90^o -30^o=60^o}

H γωνία \displaystyle{\Gamma BA}, είναι ίση με \displaystyle{50^o +30^o =80^o}

Τέλος, η γωνία \displaystyle{\Delta AB} είναι ίση με \displaystyle{\Delta AE+EAB=45^o +(180^o -50^o )=175^0}


kleovoulos
Δημοσιεύσεις: 285
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 02, 2012 3:12 pm
Τοποθεσία: Κολινδρός Πιερίας
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kleovoulos » Δευ Αύγ 20, 2012 4:08 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Άσκηση 11
13-8-2012 Διαγωνισμοί 3.jpg
Θαλής 1999-2000 Β΄ Γυμνασίου
Αρχικά, πρέπει να ομολογήσω πως μου πήρε κανένα μισάωρο για να τη λύσω γιατί έπρεπε να θυμηθώ αργά-αργά τη θεωρία της Α' Γυμνασίου. Μου έλειπε και το βιβλίο οπότε άργησα αρκετά. Τέλος πάντων - αρχίζουμε..

Ας ονομάσουμε την ορθή γωνία δίπλα στη Γ, x. Τότε \Gamma = 180-x-\omega \Leftrightarrow \Gamma =180-30-90 \Leftrightarrow \Gamma = 60.

Ονομάζουμε την ορθή γωνία στα αριστερά της \epsilon _{2} , y. Και τη γωνία B χωρίς το \varphi , z.

z=180-\Gamma -y \Leftrightarrow z=180-60-90\Leftrightarrow z=30 και άρα B=z+\varphi  \Leftrightarrow B=30+50 \Leftrightarrow B=80.

Η Α ανήκει στο τετράπλευρο και ισούται με: A=360-90-90-\varphi+D \Leftrightarrow A= 360-90-90-50 +D\Leftrightarrow A=130+D.
Στο τρίγωνο, ΑΕ=ΕΔ άρα και αφού είναι ορθωγώνιο και ισοσκελές η D=45.
Άρα A=130+D \Leftrightarrow A=130+45 \Leftrightarrow A=175


Κλεόβουλος Κοφονικόλας
gauss1988
Δημοσιεύσεις: 178
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 24, 2011 5:17 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gauss1988 » Παρ Αύγ 24, 2012 5:13 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Άλλη μια καλή ασκησούλα ,επιπέδου Θαλή Β' Γυμνασίου ,για τη συλλογή των φίλων Δημήτρη και Γιώργου.


ΑΣΚΗΣΗ 15

Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί :

1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9 , 11, 12 , 13 , 14, 16, 17, 18, 19, 21, .........

α) Να αποδείξετε ότι στην παραπάνω σειρά αριθμών (ακολουθία) δεν ανήκει ο αριθμός 2010

β) Ποιος αριθμός βρίσκεται στη 2010η θέση της ακολουθίας αυτής.

γ) Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων 2010 αριθμών της παραπάνω ακολουθίας.

Μπάμπης

Καλησπέρα κύριε Μπάμπη.

(α) Παρατηρώ ότι από την παραπάνω σειρά των αριθμών, λείπουν όλα τα πολλαπλάσια του 5. Αφού ο 2010 είναι πολλαπλάσιο του 5, άρα δεν συμπεριλαμβάνεται .

(β)Αν ήσαν γραμμένοι όλοι οι αριθμοί , χωρίς να λείπει κάποιος, τότε θα είχαμε 2010 στο πλήθος αριθμούς. Αφού όμως λείπουν τα πολλαπλάσια του 5, που από το 5 , μέχρι το 2010 έχουν πλήθος 2010:5=402, αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός που κατέχει την 2010 θέση στην σειρά των αριθμών, θα είναι ο 2010+402=2412.

(γ). Το άθροισμα που ζητάμε είναι ίσο με

\displaystyle{(1+2+3+4+5+6+ ... +2412)-(5+10+15+ . . . +2010)}

Είναι όμως γνωστό, ότι \displaystyle{1+2+3+4+ . . . +2412=\frac{2412.20413}{2}=1206.2413}

Και \displaystyle{5+10+15+ . . . +2010=1.5 + 2.5 + 3.5 + . . . +402.5=5(1+2+3+ . . . +402)=5.\frac{402.403}{2}=201.2015}

Άρα το άθροισμά μας είναι ίσο με: \displaystyle{1206.2413-201.2015}


gauss1988
Δημοσιεύσεις: 178
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 24, 2011 5:17 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gauss1988 » Παρ Αύγ 24, 2012 5:34 pm

Ασκηση 9.

Για την άσκηση αυτή, μπορούμε να βρούμε πάρα πολλές λύσεις. Θα γράψω εγώ μια (όχι την καλύτερη), για να δοκιμάσουν οι μικροί μαθητές κάποια άλλη λύση.
Κοιτώντας το σχήμα του κ. Ρίζου, παίρνω πάνω στην ευθεία \displaystyle{Ax} , ένα τυχαίο σημείο \displaystyle{Z}, και φέρνω από αυτό την κάθετη \displaystyle{ZE} πάνω στην ημιευθεία \displaystyle{\Delta y}. Τότε έχουμε δημιουργήσει ένα εξάγωνο \displaystyle{AB\Gamma\Delta EZ}. Aν από μια κορυφή αυτού του εξαγώνου φέρουμε΄τις διαγώνιες, τότε εμφανίζονται 4 τρίγωνα. Άρα το άθροισσμα των γωνιών του εξαγώνου, είναι \displaystyle{4.180=720^{o}}.

Συνεπώς: \displaystyle{a+\beta +\gamma +\delta=720^{o}-90^{o}-90^{o}=540^{o}}


xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1939
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Παρ Αύγ 24, 2012 6:49 pm

Φωτεινή έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Πάμε με μια εύκολη, λοιπόν Κλεόβουλε:
ΑΣΚΗΣΗ-1-

Αν : \displaystyle{\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{5}=\frac{5-z}{7}}

κα αν: \displaystyle{2x -3y +5z =10},

να βρεθούν οι αριθμοί x , y, z
Aρχικά αφού όλα τα κλάσματα είναι ίσα μεταξύ τους είναι ίσα με έναν αριθμό k.

\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{5}=\frac{5-z}{7}=k

Αντιστοιχίζουμε τους x , y, z με το k.

\frac{x-1}{2}=k \Leftrightarrow 2k=x-1\Leftrightarrow x=2k+1
\frac{y+3}{5}=k \Leftrightarrow 5k=y+3 \Leftrightarrow y=5k-3
\frac{5-z}{7}=k\Leftrightarrow 7k=5-z \Leftrightarrow z=-7k+5

Tώρα αντικαθιστούμε τους x , y, z με το k.

2x-3y+5z=10 \Leftrightarrow 2(2k+1)-3(5k-3)+5(-7k+5) = 10 \Leftrightarrow 4k+2-15k+9-35k+25=10 \Leftrightarrow 4k-15k-35k=10-2-9-25 \Leftrightarrow -46k = -26 \Leftrightarrow k=\frac{-26}{-46} \Leftrightarrow k=\frac{26}{46}

Oπότε τώρα μπορούμε να βρούμε τις τιμές τους.

\frac{x-1}{2} = \frac{26}{46}\Leftrightarrow 46(x-1) = 26 *2\Leftrightarrow 46x-46=52 \Leftrightarrow 46x=52+46 \Leftrightarrow x=\frac{98}{46}=\frac{49}{23}

\frac{y+3}{5}=\frac{26}{46}\Leftrightarrow 46(y+3)=5*26\Leftrightarrow 46y+138=130 \Leftrightarrow 46y=130-138\Leftrightarrow 46y=-8 \Leftrightarrow y=\frac{-8}{46}=\frac{-4}{23}

\frac{5-z}{7} = \frac{26}{46} \Leftrightarrow 46(5-z) = 7*26 \Leftrightarrow 230-46z=182\Leftrightarrow -46z=182-230\Leftrightarrow -46z=-48\Leftrightarrow z=\frac{-48}{-46}\Leftrightarrow z=\frac{48}{46}=\frac{24}{23}

Άρα x=\frac{49}{23} , y=\frac{-4}{23}, z=\frac{24}{23}.

ΑΛΛΟΙΩΣ
\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{5}=\frac{5-z}{7}\Leftrightarrow\frac{2x-2}{4}=\frac{-3y-9}{-15}=\frac{5z-25}{-35}=\frac{2x-2-3y-9+5z-25}{4-15-35}=\frac{2x-3y+5z-36}{-46}=\frac{-26}{-46}=\frac{13}{23}.
Έτσι έχουμε
\frac{2x-2}{4}=\frac{13}{23}\Leftrightarrow x=\frac{49}{23}
\frac{-3y-9}{-15}= \frac{13}{23}\Leftrightarrow y=\frac{-4}{23}
\frac{5z-25}{-35}=\frac{13}{23}\Leftrightarrow z=\frac{24}{23}.


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Αύγ 30, 2012 9:41 pm

AΣΚΗΣΗ 16: Να λυθεί η εξίσωση:

\displaystyle{\frac{x^2 +4x+3}{x^2 -4x+3}+\frac{x^2 -4x+3}{x^2 +4x+3}=\frac{x^2 +6x+8}{x^2 -6x+8}+\frac{x^2 -6x+8}{x^2 +6x+8}}

Η άσκηση αυτή, είχε τεθεί στο Πολυτεχνείο το 1954, τότε που οι υποψήφιοι διαγωνίζονταν σε όλη την ύλη που ήταν διδακτέα στο Γυμνάσιο και Λύκειο.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1306
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Αύγ 30, 2012 11:10 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 16: Να λυθεί η εξίσωση:

\displaystyle{\frac{x^2 +4x+3}{x^2 -4x+3}+\frac{x^2 -4x+3}{x^2 +4x+3}=\frac{x^2 +6x+8}{x^2 -6x+8}+\frac{x^2 -6x+8}{x^2 +6x+8}}
Το σύνολο ορισμού της εξίσωσης είναι :
\displaystyle{\Re  - \left\{ { - 1, - 2, - 3, - 4,1,2,3,4} \right\}}
\displaystyle{\frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{x^2} - 4x + 3}} + \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} + 4x + 3}} = \frac{{{x^2} + 6x + 8}}{{{x^2} - 6x + 8}} + \frac{{{x^2} - 6x + 8}}{{{x^2} + 6x + 8}}\,\,\,\,\,(1)}

Έστω
\displaystyle{a = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{x^2} - 4x + 3}}\,\,,\,\,\,b = \frac{{{x^2} + 6x + 8}}{{{x^2} - 6x + 8}}\,\,}
\displaystyle{(1) \Leftrightarrow \,a + \frac{1}{a} = b + \frac{1}{b} \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + 1}}{a} = \frac{{{b^2} + 1}}{b} \Leftrightarrow b{a^2} + b = a{b^2} + a \Leftrightarrow }
\displaystyle{ \Leftrightarrow b{a^2} + b - a{b^2} - a = 0 \Leftrightarrow ab\left( {a - b} \right) - \left( {a - b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {ab - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow a = b} ή \displaystyle{{\rm{ab = 1}}}
\displaystyle{a = b \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{x^2} - 4x + 3}}\, = \frac{{{x^2} + 6x + 8}}{{{x^2} - 6x + 8}}\,\,\,\,\,(2)}
Θέτουμε \displaystyle{k = {x^2} + 3\,\,\,\,\,,\,\,\,\,m = {x^2} + 8}
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 (2) \Leftrightarrow \left( {k + 4x} \right)\left( {m - 6x} \right) = \left( {k - 4x} \right)\left( {m + 6x} \right) \Leftrightarrow km - 6kx + 4mx - 24{x^2} = km + 6kx - 4mx - 24{x^2} \Leftrightarrow  \\  
  \Leftrightarrow 12kx = 8mx \Leftrightarrow x = 0\,\, \\  
 \end{array}}

ή \displaystyle{3k = 2m \Leftrightarrow 3{x^2} + 9 = 2{x^2} + 16 \Leftrightarrow {x^2} = 7 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 7 }
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 ab = 1 \Leftrightarrow \left( {\frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{x^2} - 4x + 3}}} \right)\,\left( {\frac{{{x^2} + 6x + 8}}{{{x^2} - 6x + 8}}} \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {k + 4x} \right)\left( {m + 6x} \right) = \left( {k - 4x} \right)\left( {m - 6x} \right) \Leftrightarrow  \\  
  \Leftrightarrow km + 6kx + 4mx + 24{x^2} = km - 6kx - 4mx + 24{x^2} \Leftrightarrow 12kx + 8mx = 0 \Leftrightarrow  \\  
 x = 0\,\,\, \\  
 \end{array}}

ή \displaystyle{3{\rm{k =   - 2m}} \Leftrightarrow 3{x^2} + 9 =  - 2{x^2} - 16 \Leftrightarrow {x^2} =  - 5 \Leftrightarrow x =  \pm i\sqrt 5 }
(Να λυθεί στο \displaystyle{\Re } ή στο \displaystyle{C} ; )
Όλες οι λύσεις είναι δεκτές
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Παρ Αύγ 31, 2012 11:43 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


Kαλαθάκης Γιώργης
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Αύγ 30, 2012 11:32 pm

Ναί, Γιώργο, στο R θα αναζητήσουμε λύσεις, μιας και πρόκειται για μαθητές Γυμνασίου.

ΑΣΚΗΣΗ 17: Να λυθεί η εξίσωση: \displaystyle{6x^2 -(x+1)(x+4)=x^2 (x-1)^2}

Kαι αυτή, είχε μπει στο Πολυτεχνείο, το 1949


Antonis_Z
Δημοσιεύσεις: 523
Εγγραφή: Δευ Σεπ 05, 2011 12:07 am

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Antonis_Z » Παρ Αύγ 31, 2012 1:19 am

Μου άρεσε η τελευταία του κύριου ΔΗΜΗΤΡΗ.
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 17: Να λυθεί η εξίσωση: \displaystyle{6x^2 -(x+1)(x+4)=x^2 (x-1)^2}
Η εξίσωση γράφεται:
5(x^2-x-1)=(x^2-x)^2-1=(x^2-x-1)(x^2+-x+1)\Leftrightarrow (x^2-x-1)(x^2-x-4)=0.
Η άσκηση έχει πρακτικά τελειώσει.
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Παρ Αύγ 31, 2012 11:42 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


Αντώνης Ζητρίδης
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Αύγ 31, 2012 7:16 am

ΑΣΚΗΣΗ 18: Να βρεθεί το σύνολο λύσεων της εξίσωσης: \displaystyle{5x^2 +2x+3=2sinx}

(Με \displaystyle{sinx}, συμβολίζουμε το ημίτονo της γωνίας x)


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9563
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Αύγ 31, 2012 10:55 am

Άσκηση 19 . Να λυθεί η εξίσωση : \displaystyle 2x^2-4x+\frac{x+1}{\sqrt{x}}=0


Antonis_Z
Δημοσιεύσεις: 523
Εγγραφή: Δευ Σεπ 05, 2011 12:07 am

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Antonis_Z » Παρ Αύγ 31, 2012 11:03 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 19 . Να λυθεί η εξίσωση : \displaystyle 2x^2-4x+\frac{x+1}{\sqrt{x}}=0
Πρέπει x>0.

Η εξίσωση γράφεται: x^2+x^2+\sqrt{x} +\frac{\sqrt{x}}{x}=4x.
Από ΑΜ-ΓΜ στο αριστερό μέλος προκύπτει ότι L\geq 4x,άρα πρέπει όλοι οι όροι του αριστερού μέλυς να είνα ίσοι.
Αυτό γίνεται για x=1.Το μηδέν απορρίπτεται,λόγω των περιορισμών.
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Παρ Αύγ 31, 2012 11:39 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


Αντώνης Ζητρίδης
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1306
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Αύγ 31, 2012 2:30 pm

Άσκηση 20

Να βρεθούν όλες οι τριάδες ακεραίων αριθμών \displaystyle{\,\,\,\,\left( {x,y,z} \right)} που ικανοποιούν τη σχέση

\displaystyle{xyz - 2(xy + xz + yz) + 4(x + y + z) = 7}


Kαλαθάκης Γιώργης
kleovoulos
Δημοσιεύσεις: 285
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 02, 2012 3:12 pm
Τοποθεσία: Κολινδρός Πιερίας
Επικοινωνία:

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#37

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kleovoulos » Παρ Αύγ 31, 2012 5:25 pm

Προσωπικά προτείνω να βάζετε τα θέματα, αλλά έστω και λίγο, και την αντίστοιχη θεωρία. Αυτό είναι γιατί μαθητές όπως και εγώ δε θα μπορούν να απαντήσουν λόγω έλλειψης γνώσης της θεωρίας. Θέλω να πω πως δε νομίζω να υπάρχει κάποιο παιδί της ηλικίας μου που κατά το καλοκαίρι έχει διαβάσει την ύλη της επόμενης τάξης.


Κλεόβουλος Κοφονικόλας
dr.tasos
Δημοσιεύσεις: 433
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 12, 2011 6:40 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#38

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dr.tasos » Παρ Αύγ 31, 2012 8:33 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 18: Να βρεθεί το σύνολο λύσεων της εξίσωσης: \displaystyle{5x^2 +2x+3=2sinx}

(Με \displaystyle{sinx}, συμβολίζουμε το ημίτονo της γωνίας x)
Γράφω \displaystyle{ 5(x+\frac{1}{5})^2+ \frac{14}{5}=2sinx}

όμως ειναι \displaystyle{  -1 \leq sinx \leq 1 \Leftrightarrow -2 \leq 2sinx \leq 2 }

Συνεπώς \displaystyle{ LHS \geq \frac{14}{5}>2 and RHS \leq 2 } Συνεπώς η ισοτητα δεν πιάνεται πουθενα και η εξίσωση ειναι αδυνατη.
τελευταία επεξεργασία από dr.tasos σε Παρ Αύγ 31, 2012 8:44 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


"Και μόνο επειδή σ'άφησαν να στολίσεις το κελί σου,μην νομίσεις στιγμή ότι είσαι ελεύθερος."
sokratis lyras
Δημοσιεύσεις: 710
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 05, 2011 9:13 pm

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#39

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sokratis lyras » Παρ Αύγ 31, 2012 8:33 pm

exdx έγραψε:Άσκηση 20

Να βρεθούν όλες οι τριάδες ακεραίων αριθμών \displaystyle{\,\,\,\,\left( {x,y,z} \right)} που ικανοποιούν τη σχέση

\displaystyle{xyz - 2(xy + xz + yz) + 4(x + y + z) = 7}
Κλεόβουλε μου φαίνεται πως το μοναδικό που χρειάζεται να γνωρίζεις για να λύσεις αυτήν την άσκηση είναι μόνο το τί είναι ένας ακέραιος αριθμός(που νομίζω ότι το γνωρίζεις).
Αρκεί να παρατηρήσουμε ότι :(x-2)(y-2)(z-2)=LHS-8\Rightarrow (x-2)(y-2)(z-2)=-1 και αφού x,y,z\in Z τα πράγματα είναι απλά.
**Έκανα μια μικρή διόρθωση.Ευχαριστώ exdx
τελευταία επεξεργασία από sokratis lyras σε Παρ Αύγ 31, 2012 11:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4184
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

#40

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Αύγ 31, 2012 9:26 pm

Λόγω λανθασμένης αρίθμησης, η άσκηση 21 που υπήρχε στην θέση αυτή, μετονομάσθηκε σε άσκηση 25 (βλ. πιο κάτω)
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ σε Κυρ Σεπ 02, 2012 7:59 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες