Εξίσωση με δεκαδικό μέρος

#1

Να προσδιορίσετε το θετικό ακέραιο αριθμό

ώστε η εξίσωση $\{nx\}-\{x\}=x$ να έχει ακριβώς 2012

πραγματικές ρίζες.

http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=42&t=2920&start=0

#2

Επαναφορά!

#3

Επαναφορά!

#4

Γράφω την εξίσωση στη μορφή:
$\displaystyle{nx-\lfloor nx\rfloor-(x-\lfloor x\rfloor)=x}$ ή ισοδύναμα
$\displaystyle{x(n-2)=\lfloor nx\rfloor-\lfloor x\rfloor.}$
Αυτό σημαίνει ότι ο

είναι ρητός, έστω $x=\frac{a}{b}$ με (a,b)=1

. Τότε, πρέπει $b\mid n-2$ , δηλαδή n-2=bk

. Αντικαθιστώντας παίρνουμε ότι
$\displaystyle{\lfloor\frac{2a}{b}\rfloor=\lfloor\frac{a}{b}\rfloor.}$
Αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν 2a<b

. Επίσης πρέπει b>2

.
Συνεπώς, το πλήθος λύσεων είναι το εξής: Για κάθε διαιρέτη

του

έχουμε $\frac{\varphi (d)}{2}$ λύσεις (αυτό είναι πάντα ακέραιος για d>2

).
Το πλήθος δηλαδή των λύσεων είναι:
$\displaystyle{\sum_{d\mid n-2}\frac{\varphi(d)}{2},}$ όπου όμως d>2

.
Πρέπει τώρα να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Gauss, δηλαδή ότι
$\displaystyle{\sum_{d\mid m}\varphi(d)=m.}$
Παίρνουμε λοιπόν ότι αν d>2

, τότε $\displaystyle{\sum_{d\mid n-2}\frac{\varphi(d)}{2}=\frac{n-3}{2}.}$
Επομένως $n=2\cdot 2012+3$ .

Μπορεί να έχω χάσει κάτι στο μέτρημα στο τέλος

#5

Θανάση και Σιλουανέ, εγώ βγάζω ότι κανένας θετικός φυσικός

δεν ικανοποιεί τις συνθήκες. Συγκεκριμένα, για κάθε τέτοιο

η εξίσωση έχει περιττό πλήθος λύσεων, πάντως όχι 2012

Περίληψη γιατί θα λείψω κάποια ώρα.

Το αριστερό και το δεξί μέλος της εξίσωσης είναι περιττές συναρτήσεις. Οπότε για κάθε ρίζα x=a>0

έχουμε και την

, και αντίστροφα, Αυτό μας δίνει άρτιο πλήθος ριζών. Άλλά εχουμε άλλη μία, την x=0

.

Eλπίζω να μην κάνω λάθος. Κλείνω γιατί βιάζομαι.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 10, 2022 4:01 pm
Θανάση και Σιλουανέ, εγώ βγάζω ότι κανένας θετικός φυσικός δεν ικανοποιεί τις συνθήκες. Συγκεκριμένα, για κάθε τέτοιο η εξίσωση έχει περιττό πλήθος λύσεων, πάντως όχι

Σωστό είναι αυτό, έχετε δίκιο.
Εγώ τελικά έλυσα το ακόλουθο πρόβλημα: Να βρεθεί ο

έτσι ώστε η εξίσωση να έχει 2012 θετικές πραγματικές λύσεις.
Αν μπορεί κάποιος να ελέγξει την παραπάνω προσέγγιση.

#7

silouan έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 10, 2022 5:19 pm
Εγώ τελικά έλυσα το ακόλουθο πρόβλημα: Να βρεθεί ο έτσι ώστε η εξίσωση να έχει 2012 θετικές πραγματικές λύσεις.
Αν μπορεί κάποιος να ελέγξει την παραπάνω προσέγγιση.

Καταπληκτική λύση σε ένα δύσκολο πρόβλημα. Και μάλιστα θα έλεγα, ότι αυτό έπρεπε να ήταν το αρχικό πρόβλημα (να ζητούσε δηλαδή τις θετικές λύσεις).

Εξίσωση με δεκαδικό μέρος

Εξίσωση με δεκαδικό μέρος

Re: Εξίσωση με δεκαδικό μέρος

Re: Εξίσωση με δεκαδικό μέρος

Re: Εξίσωση με δεκαδικό μέρος

Re: Εξίσωση με δεκαδικό μέρος

Re: Εξίσωση με δεκαδικό μέρος

Re: Εξίσωση με δεκαδικό μέρος

Μέλη σε σύνδεση