Διαιρετότητα

#1

Την προόριζα για μαθητές (και συνεχίζω...)

Αν $m,n \in \mathbb{N}$ ώστε $\displaystyle{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2000}=\frac{m}{n}}$

νδο ο αριθμός 2m-3n

διαιρείται με το 2003.

Hint

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Σχόλιο

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

socrates έγραψε:Την προόριζα για μαθητές (και συνεχίζω...)

Αν $m,n \in \mathbb{N}$ ώστε $\displaystyle{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2000}=\frac{m}{n}}$

νδο ο αριθμός διαιρείται με το 2003.

Η παραπάνω σχέση γράφεται

$\displaystyle{ \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1999}+\frac{1}{2000}=\frac{m}{n}-1-\frac{1}{2} }$ άρα

$\displaystyle{ \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2000}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{1999}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{1001}+\frac{1}{1002}\right)=\frac{2m-3n}{2n} }$ άρα

$\displaystyle{ 2003\left(\frac{1}{3\cdot 2000}+\frac{1}{4\cdot 1999}+\cdots + \frac{1}{1001\cdot 1002}\right)=\frac{2m-3n}{2n} }$

Το $\displaystyle{ 2003 }$ είναι πρώτος αριθμός και αν κάνουμε τις απαραίτητες απλοποιήσεις (δηλαδή πολλαπλασιάσουμε με τον αριθμό $\displaystyle{ 2n(1\cdot 2 \cdot 3\cdots 2000) })$ τότε καταλήγουμε στην $\displaystyle{ 2003\cdot 2n\cdot a=(2m-3n)(1\cdot 2 \cdot 3\cdots 2000) }$ όπου το

είναι ακέραιος. Τελικά, καθώς

$\displaystyle{ 2003\nmid i }$ για κάθε $\displaystyle{ i=3,4,\ldots,2000 }$ άρα $\displaystyle{ 2003\mid (2m-3n). }$

Αλέξανδρος

Διαιρετότητα

Διαιρετότητα

Re: Διαιρετότητα

Μέλη σε σύνδεση