Εξισώσεις στους ακεραίους

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#41

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Δευ Νοέμ 28, 2011 11:56 am

22) Να λυθεί στους φυσικούς η εξίσωση (x-y)^2(y^2-x)=4x^2y

23) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση x^3+y^3+z^3=2 έχει άπειρες λύσεις στους ακέραιους.


Γιώργος
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6157
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#42

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Νοέμ 28, 2011 2:27 pm

Αρχιμήδης 6 έγραψε:- 21 )
x^4+y^4+z^4=2w^2
Για τους μη μηδενικούς και διαφορετικούς ανα 2 ακέραιους x,y,z,w να εξεταστεί αν η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις στους ακεραίους .
(a,b,a+b,a^2+b^2+ab)
Γιώργος Απόκης έγραψε:22) Να λυθεί στους φυσικούς η εξίσωση (x-y)^2(y^2-x)=4x^2y
Είναι η 10.
Γιώργος Απόκης έγραψε:23) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση x^3+y^3+z^3=2 έχει άπειρες λύσεις στους ακέραιους.
(x,y,z)= (6k^{3}+1,-6k^{3}+1,-6k^{2}
Ενδιαφέρουσα σημείωση: http://www.mathpages.com/home/kmath071.htm


24)
\displaystyle{\frac{1}{k!}+\frac{1}{l!}+\frac{1}{m!}=\frac{1}{n!}}

25)
\displaystyle{a^{(b^c)}= (b^a)^c , \ a,b,c \in \Bbb{N}^*}

26)
x^x + y^y + z^z = 3xyz, \ x,y,z\in \Bbb{N}
τελευταία επεξεργασία από socrates σε Δευ Νοέμ 28, 2011 2:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#43

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Δευ Νοέμ 28, 2011 2:44 pm

Θανάση οι λύσεις που βρήκες για την εξίσωση μου είναι σωστές ? Νομίζω ότι πρέπει να διορθώσεις κάτι γιατί για a=1 , b=2 δεν ισχύει...
Φιλικά ,
Δημήτρης


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6157
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#44

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Νοέμ 28, 2011 2:56 pm

Αρχιμήδης 6 έγραψε:Θανάση οι λύσεις που βρήκες για την εξίσωση μου είναι σωστές ? Νομίζω ότι πρέπει να διορθώσεις κάτι γιατί για a=1 , b=2 δεν ισχύει...
Φιλικά ,
Δημήτρης
Έχεις δίκιο Δημήτρη. Το διόρθωσα. Θενκς!


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#45

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Δευ Νοέμ 28, 2011 3:06 pm

Για την ιστορία η εξίσωση μου κατασκευάστηκε απο την απλή σκέψη...
Αν a^2-b^2=x , b^2-c^2=y , c^2-a^2=z τότε...
x^4+y^4+z^2=2(xy+yz+zx)^2
( Y.Γ Έίπα να κοιτάξω το βιβλίο του Κύριου Στεργίου και να φτίαξω μια άσκηση και η παραπάνω βρίσκεται στο βιβλίο << ολυπιάδες μαθηματικών Α' λυκείου >> του Μπάμπη Στεργίου στο κεφάλαιο για τις ταυτότητες Άσκηση 2.107 σελ 64 ).


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#46

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Δευ Νοέμ 28, 2011 3:59 pm

socrates έγραψε:18)
(x^{2}+2)(y^{2}+3)(z^{2}+4)=60xyz , \ x,y,z \in \Bbb{N}.
(x^2+2)(y^2+3)(z^2+4)=60xyz
x,y,z>4 τότε
x^2+2>3x
y^2+3>4y
z^2+3>5z
και βλέπουμε ότι η εξίσωση σε αυτην την περίπτωση δεν έχει λύσεις και ότι x,y,z<5 .
Μοναδικές λύσεις οι παρακάτω.
(x,y,z)=(1,1,1),(1,1,4),(2,1,1),(2,1,4) .
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Κυρ Δεκ 04, 2011 9:28 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
spiros filippas
Δημοσιεύσεις: 254
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 16, 2010 4:46 pm

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#47

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από spiros filippas » Δευ Νοέμ 28, 2011 10:54 pm

socrates έγραψε:26)
x^x + y^y + z^z = 3xyz, \ x,y,z\in \Bbb{N}
Μια προφανής λύση είναι η (3,3,3)

Yποθέτουμε ότι ένας είναι ίσος με 3,έστω ο x και οι άλλοι διάφοροι του 3.

y,z>3 έχουμε: 3xyz=9yz=x^x+y^y+z^z=3^3+y^y+z^z>3^3+y^3+z^3\geq 3\times 3yz=9yz απο ΑΜ-ΓΜ , άτοπο.

Αν ένας από τους y,z, είναι μεγαλύτερος του 3 και ο άλλος μικρότερος του 3 εύκολα βλέπουμε ότι η δοθείσα δεν έχει λύση.

Αν δύο από τους x,y,z είναι ίσοι με 3 πάλι εύκολα βλέπουμε ότι πάλι η εξίσωση δεν έχει λύσεις (εκτός από την 3,3,3)

Εστω ότι είναι όλοι διάφοροι του 3

x,y,z>3 έχουμε x^x+y^y+z^z>x^3+y^3+z^3\geq 3xyz αδύνατο.

Αν ένας είναι μικρότερος του 3 ,ας πούμε ο x ,καί οι άλλοι δύο μεγαλύτεροι του θα είναι:

x^x+y^y+z^z>x^x+y^3+z^3\geq x^x+yz(y+z)\geq x^x+8yz>3xyz πάλι άτοπο.

Αν ένας είναι μεγαλύτερος του 3,έστω ο z τότε διακρίνοντας τις περιπτώσεις x=1,y=1 ή x=1,y=2 ή x=2,y=2

πάλι βλέπουμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη.

Τέλος, αν είναι όλοι μικρότεροι του 3 ευκολα βρίσκουμε τις λύσεις (1,1,1) και 1,1,2


Συνοψίζοντας λύσεις είναι oi τριάδες (x,y,z)=(3,3,3) \dot{~\eta}~(1,1,1)~\dot{\eta }~(1,1,2) και τα κυκλικά


Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#48

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Τρί Νοέμ 29, 2011 2:09 am

socrates έγραψε: 25)
\displaystyle{a^{(b^c)}= (b^a)^c , \ a,b,c \in \Bbb{N}^*}
{a^{b^{c}}=b^{ca}
Λήμμα .
Αν a^x=b^y ΄τότε υπάρχουν φυσικοί z,k,l ώστε
a=z^k , b=z^l
Βάζοντας όπου a,b στην αρχική εξίσωση θα καταλήξουμε στην ισότητα...
kz^{lc}=z^{k}lc και διακρίνοντας περιπτώσεις θα έχουμε...
- Αν k>lc ΄τότε (a,b,c)=(4,2,1)
-Αν k<lc τότε (a,b,c)=(2,2,2),(2,4,1)
-Αν k=lc τότε (a,b,c)=(z^{lc},z^l,c)=(b^c,b,c)
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Παρ Δεκ 02, 2011 11:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#49

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Τρί Νοέμ 29, 2011 11:56 pm

socrates έγραψε: 24)
\displaystyle{\frac{1}{k!}+\frac{1}{l!}+\frac{1}{m!}=\frac{1}{n!}}
\displaystyle{\frac{1}{k!}+\frac{1}{l!}+\frac{1}{m!}=\frac{1}{n!}}
Xωρίς βλάβη της γενικότητας ορίζουμε μια διάταξη στο σύνολο των φυσικών των μεταβλητών k,l,m.
Έστω ότι k\le l\le m . Προφανώς θα ισχύει ότι n\le k .
Για ευκολία θέτω n!=x , k!=xy , l!=xyz , m!=xyzw .
Μετασχηματίζοντας την εξίσωση σε μεταβλητές x,y,z,w ΄και κάνοντας τις πράξεις θα καταλήξουμε στην παρακάτω εξίσωση !
1+\displaystyle{\frac{1}{w}}=z(y-1)
Εδώ βλέπουμε ότι αφού οι x,y,z,w \ge 1 πρέπει πέρνουμε σαν λύσεις (y,z,w)=(3,1,1),(2,2,1)
Έτσι πέρνουμε σαν μοναδική λύση τελικά την τετράδα (k,l,m,n)=(3,3,3,2)
Πράγματι ισχύει γιατί
\displaystyle{\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}}
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Παρ Δεκ 02, 2011 11:58 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
dimitris.ligonis
Δημοσιεύσεις: 105
Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 11:55 am

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#50

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dimitris.ligonis » Τετ Νοέμ 30, 2011 6:23 pm

Γιώργος Απόκης έγραψε:23) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση x^3+y^3+z^3=2 έχει άπειρες λύσεις στους ακέραιους.
x^3+y^3+z^3=2\Leftrightarrow
x+y+z\equiv -1  (mod  3)  \Rightarrow x+y+z+1=3k

είναι σωστός ο συλλογισμός μου?
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Σάβ Δεκ 03, 2011 12:00 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


Δημήτρης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6157
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#51

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Δεκ 01, 2011 12:16 am

Οι επόμενες εξισώσεις έχουν άπειρες ακέραιες ρίζες:
27) x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3

28) x^n+y^n=z^{n-1}, \ x,y,z \in \Bbb{N}

29) x^n+y^n=z^{n+1}, \ x,y,z \in \Bbb{N}

30) x^4+y^4+z^4=2002^t, \ x,y,z,t \in \Bbb{N}

31) x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=3

32) x^3+y^3+1=z^3, \ x,y,z \in \Bbb{N}.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#52

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Πέμ Δεκ 01, 2011 5:18 pm

socrates έγραψε:31) x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=3
Οι λύσεις της εξίσωσης x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=3 είναι άπειρες και ισχύει μόνο για οποιουσδήποτε διαδοχικούς ακέραιους x,y,z. Πράγματι ισχύει και η ταυτότητα ...
x^2+(x+1)^2+(x+2)^2-x(x+1)-x(x+2)-(x+1)(x+2)=3 που είναι πολύ όμορφη ταυτότητα.
Edit: H απόδειξη της μοναδικότητας της παραπάνω απειρίας τριάδων x,y,z παραλείπεται λόγω πληρότητας των απαιτήσεων της ανωτέρω άσκησης.
Ερώτηση προς Θανάση: Στις ασκήσεις 28,29 εννοείς για κάθε n ?

έγινε προσθήκη εκφώνησης
Φωτεινή
τελευταία επεξεργασία από Αρχιμήδης 6 σε Πέμ Δεκ 01, 2011 5:52 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6157
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#53

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Δεκ 01, 2011 5:47 pm

Αρχιμήδης 6 έγραψε:Για την Άσκηση 31 .
Οι λύσεις της εξίσωσης x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=3 είναι άπειρες και ισχύει μόνο για οποιουσδήποτε διαδοχικούς ακέραιους x,y,z. Πράγματι ισχύει και η ταυτότητα ...
x^2+(x+1)^2+(x+2)^2-x(x+1)-x(x+2)-(x+1)(x+2)=3 που είναι πολύ όμορφη ταυτότητα.
Edit: H απόδειξη της μοναδικότητας της παραπάνω απειρίας τριάδων x,y,x παραλείπεται λόγω πληρότητας των απαιτήσεων της ανωτέρω άσκησης.
Ερώτηση προς Θανάση: Στις ασκήσεις 28,29 εννοείς για κάθε n ?
Ναι, το n είναι ένας δεδομένος φυσικός αριθμός!


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#54

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Πέμ Δεκ 01, 2011 10:42 pm

socrates έγραψε: 27) x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3
x^3+y^3+z^3=x^2+y^2+z^2
Άπειρες λύσεις π.χ (x,y,z)=(2t^2+1,t(2t^2+1),-t(2t^2+1))

έγινε προσθήκη εκφώνησης
Φωτεινή


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6157
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#55

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Δεκ 01, 2011 10:46 pm

:clap2: :coolspeak:


Θανάσης Κοντογεώργης
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1493
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#56

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Παρ Δεκ 02, 2011 1:38 am

socrates έγραψε:Οι επόμενες εξισώσεις έχουν άπειρες ακέραιες ρίζες:

28) x^n+y^n=z^{n-1}, \ x,y,z \in \Bbb{N}

29) x^n+y^n=z^{n+1}, \ x,y,z \in \Bbb{N}

30) x^4+y^4+z^4=2002^t, \ x,y,z,t \in \Bbb{N}
28)n=1 τότε η εξίσωση γίνεται x+y=1 η οποία έχει άπειρες ακέραιες λύσεις (k,1-k),k\in\mathbb{Z}.

Αν n\geq 2 τότε (2^{n-2})^n+(2^{n-2})^n=(2^{n-1})^{n-1} από όπου προκύπτει ότι (k^{n-1}2^{n-2})^n+(k^{n-1}2^{n-2})^n=(k^n2^{n-1})^{n-1} για κάθε k\in\mathbb{Z}.

29) Από την ισότητα 2^n+2^n=2^{n+1} προκύπτει ότι (2k^{n+1})^n+(2k^{n+1})^n=(2k^n)^{n+1} για κάθε k\in\mathbb{Z}.

30) Αν είχαμε ακέραιους k,m,n ώστε k^4+m^4+n^4=2002 τότε (2002^rk)^4+(2002^rm)^4+(2002^rn)^4=2002^{4r+1} για κάθε r\in\mathbb{N}.

Υπολογίζοντας μερικές τέταρτες δυνάμεις βρίσκουμε 6^4+5^4+3^4=2002.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#57

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Παρ Δεκ 02, 2011 1:53 am

Οπότε μας μένει η εξίσωση 32 .
Edit : Ωραίες οι λύσεις σας Κύριε Μαραγκουδάκη!


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#58

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Παρ Δεκ 02, 2011 2:17 am

x^3+y^3+1=z^3
Το βρήκα....
x^3+(-1)^3+1=x^3
Θα ήθελα να δω όμως και κάτι πιο χρήσιμο απο την δική μου διαπύστωση...
τελευταία επεξεργασία από Αρχιμήδης 6 σε Παρ Δεκ 02, 2011 2:35 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#59

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Παρ Δεκ 02, 2011 2:34 am

Να εξεταστεί αν η παρακάτω εξίσωση έχει άπειρες λύσεις.
2012x^2-2011y^2=1


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6157
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#60

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Δεκ 02, 2011 7:01 pm

Να λυθούν :) :


34) 2^q=1999+p^2, \ p,q πρώτοι

35) x^2=y^5-4, \ x,y \in \Bbb{Z}

36) (x^2+y)(x+y^2)=(x-y)^3, \ x,y\in\mathbb{Z}

37) x^4+x^2=7^zy^2, \ x,y,z \in \Bbb{Z}

38) x^3+7=y^2, \ x,y \in \Bbb{N}

Αρχιμήδης 6 έγραψε:x^3+y^3+1=z^3
Το βρήκα....
x^3+(-1)^3+1=x^3
Θα ήθελα να δω όμως και κάτι πιο χρήσιμο απο την δική μου διαπύστωση...
Οκ, για τους ακέραιους... Αν θέλουμε φυσικούς τότε μια οικογένεια είναι (-1 + 9m^3,9m^4 - 3m,9m^4)
(http://www.mathpages.com/home/kmath071.htm, http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=23&t=248)


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες