Εξισώσεις στους ακεραίους

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Τετ Νοέμ 16, 2011 6:39 pm

x^3+x^2+x=y^2+y
x^3=(y-x)(y+x+1)
y-x=da^3
y+x+1=d^2b^3 ή
x-y=d^2a^3 & x+y+1=db^3
Εύκολα βρίσκουμε d=1 και μένει να λυθεί η εξίσωση 2ab+1=b^3-a^3 άρα b-a+2 διαιρεί το 36 κ.τ.λ
Μοναδικές λύσεις (x,y)=(0,0),(0,-1)


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Νοέμ 16, 2011 10:16 pm

8)
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη (x, y) θετικών ακέραιων αριθμών για τα οποία ισχύει: (xy - 7)^2 = x^2 + y^2.
τελευταία επεξεργασία από socrates σε Παρ Νοέμ 18, 2011 4:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Τετ Νοέμ 16, 2011 10:41 pm

socrates έγραψε:8)
Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη (x, y) θετικών ακέραιων αριθμών για τα οποία ισχύει: (xy - 7)^2 = x^2 + y^2.
(xy-7)^2=x^2+y^2
Κλασική περίπτωση θεωρώντας τριώνυμο ως προς x θα καταλήξουμε στην 4y^4-4y^2+196=w^2 , (w-2y^2+1)(w+2y^2-1)=195 και η εξίσωση έχει λύσεις για y=3, y=-3, y=0, y=1, y=-1, y=4, y=-4, y=7, y=-7 και βρίσκουμε απο την αρχική εξίσωση τις λύσεις που προκύπτουν πολύ εύκολα....
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τρί Νοέμ 29, 2011 9:13 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Νοέμ 17, 2011 3:54 pm

Άλλη μια....

9)
9^{x}-3^{x}=y^{4}+2y^{3}+y^{2}+2y , \ x,y \in \Bbb{N}.
τελευταία επεξεργασία από socrates σε Παρ Νοέμ 18, 2011 4:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Παρ Νοέμ 18, 2011 1:43 pm

socrates έγραψε:9)
9^{x}-3^{x}=y^{4}+2y^{3}+y^{2}+2y , \ x,y \in \Bbb{N}.
9^x-3^x=y^4+2y^3+y^2+2y
3^x(3^x-1)=y(y+1)(y^2+1)
Για x=0 έχουμε y=0 ή y=-1 Oι αριθμοί y , y+1 , y^2+1 είναι ανα 2 πρώτοι και δεδομένου ότι ο y^2+1 δεν είναι ποτέ πολλαπλάσιο του 3 θα πρέπει 3^x=y ή 3^x=y+1 και βλέπουμε ότι δεν έχει άλλες λύσεις.
Μοναδικές λύσεις οι (x,y)=(0,0),(0,-1) .
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τρί Νοέμ 29, 2011 9:14 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Νοέμ 18, 2011 2:22 pm

Αρχιμήδης 6 έγραψε:9^x-3^x=y^4+2y^3+y^2+2y
3^x(3^x-1)=y(y+1)(y^2+1)
Για x=0 έχουμε y=0 ή y=-1 Oι αριθμοί y , y+1 , y^2+1 είναι ανα 2 πρώτοι και δεδομένου ότι ο y^2+1 δεν είναι ποτέ πολλαπλάσιο του 3 θα πρέπει 3^x=y ή 3^x=y+1 και βλέπουμε ότι δεν έχει άλλες λύσεις.
Μοναδικές λύσεις οι (x,y)=(0,0),(0,-1) .
Δημήτρη, αυτό δεν είναι σωστό. Μάλλον θέλεις να πεις 3^xk=y ή 3^xk=y+1....


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Παρ Νοέμ 18, 2011 2:33 pm

Θανάση είναι σωστό γιατί ο 3^x είναι δύναμη πρώτου. Αν σκεφτείς πιο απλά ...η ποσότητα 3^x είναι <<κρυμμένη>> στην ποσότητα y(y+1)(y^2+1) και αφού ο y^2+1 δεν είναι πολλαπλάσιο του 3 τότε θα είναι κρυμμένη στην y(y+1). Αν η ποσότητα διασπαστεί και καταμεριστεί στους y , y+1 τότε οι y , y+1 θα έχουν κοινό διαιρέτη τον 3 που είναι άτοπο. Άρα η δύναμη 3^x θα βρίσκεται ακριβώς σε έναν από τους y ή y+1 όπως είπα. Άρα y=k3^x ή y+1=k3^x .Θανάση έχεις δίκιο! Το κατάλαβα λίγο αργά.
Η λύση της εξίσωσης μου είναι λάθος!


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Παρ Νοέμ 18, 2011 3:14 pm

y(y+1)(y^2+1)=3^x(3^x-1). Bάζοντας λοιπόν όπου y=m3^x βλέπουμε ότι το αριστερό μέλος είναι μεγαλύτερο απο το δεξί με λύσεις μόνο για m=0 άρα (x,y)=(0,0) .
Aν πάλι y+1=m3^x με τον ίδιο τρόπο έχει λύσεις για m=0 άρα (x,y)=(0,-1).


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Νοέμ 18, 2011 4:08 pm

Ωραία Δημήτρη!
Για το Δημήτρη που τη ζήτησε :) :

10)
(m-n)^{2}(n^{2}-m)=4m^{2}n , \ m,n \in \Bbb{Z}.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Παρ Νοέμ 18, 2011 4:47 pm

Ευχαριστώ Θανάση !
socrates έγραψε:Ωραία Δημήτρη!

10)
(m-n)^{2}(n^{2}-m)=4m^{2}n , \ m,n \in \Bbb{Z}.
Λοιπόν (m-n)^2(n^2-m)=4m^2n
Έστω d=(m,n) και da=m , db=n με (a,b)=1 τελικά η εξίσωση θα γίνει...
(a-b)^2(db^2-a)=4a^2b Όμως (a-b,a^2b)=1 και λύνουμε τις εξισώσεις ξεχωριστά ...(a-b)^2=1 (1) (a-b)^2=2 (2) (a-b)^2=4 (3) Λόγο χρόνου την έγραψα σύντομα...Καλή συνέχεια.
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τρί Νοέμ 29, 2011 9:15 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Νοέμ 18, 2011 7:49 pm

11)
6(a^2- ab + b^2)= 31(a + b), \ (a,b)\in \Bbb{Z}^2.


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Νοέμ 21, 2011 11:11 pm

Βάζω μερικές ακόμα για όσους θέλουν να ασχοληθούν: :mrgreen:

12)
2(a + b)^2 + 3(a + b) + ab + 4 = 0, \ a,b \in \Bbb{Z}

13)
n! + 3 \cdot 2^n = 6^{n-2}, n \in \Bbb{N}

14)
n^2+ 9n + 8=m(m+1)(m+2)(m+3), \ m,n \in \Bbb{Z}

15)
9^x+ 4^x+ 2^x= 8^x+ 6^x+ 1, x\in \Bbb{Z}

16)
Δίνεται η εξίσωση 9x^2+ 6xy - 6y^2= x - y, \ x,y\in \Bbb{Z}^*. Να δείξετε ότι ο αριθμός x-y είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου και x-y\geq 9.
Βρείτε μια λύση της εξίσωσης.


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Δευ Νοέμ 21, 2011 11:55 pm

socrates έγραψε:
13)
n! + 3 \cdot 2^n = 6^{n-2}, n \in \Bbb{N}
n!+3*2^n=6^{n-2}
Aρκεί να δεις ότι Αν n>5 o 9 διαιρεί τον n! και τον 6^{n-2} αλλά όχι και τον 3*2^n . Άρα n<6 . Μοναδική λύση n=5 .
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τρί Νοέμ 29, 2011 9:17 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3970
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τρί Νοέμ 22, 2011 12:22 am

socrates έγραψε: 14)
n^2+ 9n + 8=m(m+1)(m+2)(m+3), \ m,n \in \Bbb{Z}
Η εξίσωση γράφεται n^2+9n+9=(m^2+3m+1)^2

Όμως για n>7 ισχύει (n+4)^2<n^2+9n+9<(n+5)^2, άρα το n^2+9n+9 δε μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο για n>7.

Επίσης για n < -16 έχουμε (n+5)^2<n^2+9n+9<(n+4)^2, άρα το n^2+9n+9 δε μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο για n<-16.
Για -7\leq n \leq -2 είναι n^2+9n+9<0 οπότε δε μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.
Εξετάζοντας με το χέρι τις τιμές που μένουν βρίσκουμε τελικά n=-16,-9,-8,0,-1,7 και με αντικατάσταση βρίσκουμε τις τιμές του m. Συγκεκριμένα έχουμε τις λύσεις (m,n)=(-5,-16),(2,-16),(-3,-8),(0,-8),(-1,-8),(-2,-8),(-3,-1),(0,-1),(-1,-1),(-2,-1),(-5,7),(2,7)


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Τρί Νοέμ 22, 2011 12:38 am

socrates έγραψε:16)
Δίνεται η εξίσωση 9x^2+ 6xy - 6y^2= x - y, \ x,y\in \Bbb{Z}^*. Να δείξετε ότι ο αριθμός x-y είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου και x-y\geq 9.
Βρείτε μια λύση της εξίσωσης.
9x^2+6xy-6y^2=x-y
Έστω ότι x+y=a , x-y=b
Μετά από αντικατάσταση των ισοτήτων στην αρχική εξίσωση και λίγες πράξεις θα πάρουμε ένα τριώνυμο ως προς a της μορφής ....
9a^2+30ba-3b^2-4b=0
H διακρίνουσα είναι ίση με 1008b^2+144b και για να έχουμε ακέραιες λύσεις πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο άρα έστω ότι 1008b^2+144b=t^2
16*9(7b^2+b)=t^2 ( Έστω t=12k ) .
7b^2+b=k^2
b(7b+1)=k^2 και αφού (b,7b+1)=1 τότε υπάρχουν ακέραιοι c,d με (c,d)=1 ώστε
b=c^2 και 7b+1=d^2 άρα x-y=c^2 και προφανός το σύστημα έχει μικρότερη θετική λύση την c=3 άρα x-y>8 .
Φιλικά , Δημήτρης .
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Τρί Νοέμ 29, 2011 9:18 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3970
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τρί Νοέμ 22, 2011 12:55 am

socrates έγραψε: 15)
9^x+ 4^x+ 2^x= 8^x+ 6^x+ 1, x\in \Bbb{Z}
Δε βρίσκω κάτι καλύτερο αυτή τη στιγμή από την παρακάτω λύση.

Θα δείξουμε με επαγωγή ότι ισχύει η πρόταση P(n): 9^n+4^n+2^n-8^n-6^n-1 >0, για κάθε n\geq 3.

Η P(3) είναι αληθής.
Έστω λοιπόν n\geq 4 και ας υποθέσουμε ότι η P(n) είναι αληθής δηλαδή 9^n+4^n+2^n-8^n-6^n-1 >0 \Leftrightarrow 9^n > 8^n+6^n+1-2^n-4^n \ \ (1).

Τότε \begin{aligned}9^{n+1}+2^{n+1}+4^{n+1}-8^{n+1}-6^{n+1}-1 &\stackrel{(1)}{>} 9\left(8^n+6^n+1-2^n-4^n\right)+2\cdot 2^n+4\cdot 4^n-8\cdot 8^n -6\cdot 6^n-1 \\ &= \left(8^n-7\cdot 2^n\right) + \left(3\cdot 6^n -5\cdot 4^n\right) +8 >0 \end{aligned}

διότι αφενός ισχύει ότι 8^n-7\cdot 2^n=2^n(4^n-7)>0 για n\geq 2 και αφετέρου είναι εύκολο να δείξουμε με επαγωγή ότι 3\cdot 6^n -5\cdot 4^n>0 για n\geq 2. Άρα η P(n+1) είναι αληθής και η επαγωγή ολοκληρώθηκε.

Άρα τελικά οι μόνες ακέραιες τιμές που πρέπει να εξετάσουμε είναι οι θετικές και μικρότερες του 3. Πράγματι οι n=1, n=2 είναι λύσεις άρα και μοναδικές.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#37

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Νοέμ 23, 2011 12:47 am

17)
\displaystyle{ (a+b+3)^{2}+2ab = 3ab(a+2)(b+2) }
socrates έγραψε:11)
6(a^2- ab + b^2)= 31(a + b), \ (a,b)\in \Bbb{Z}^2.
Μια λύση στην 11:

Από την ανισότητα a^2+b^2-ab\geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 είναι 0\leq a+b\leq 20.
Όμως 6|a+b οπότε a+b=0,6,12,18...


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#38

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Τετ Νοέμ 23, 2011 1:23 am

Λύση των 11,12 .
Και οι δυο εξισώσεις είνα της μορφής :
k(a^2+b^2)+lab+m(a+b)+n=0 όπου k,l,m,n ακέραιοι και ισχύει ότι |2k|>|l| (*)
Αν θέσουμε όπου a+b=x & a-b=y θα φτάσουμε στην παρακάτω εξίσωση :
(2k+l)x^2+4mx+(2k-l)y^2+4n=0
Aν το δούμε σαν τριώνυμο ως προς x θα πρέπει η διακρίνουσα D να είναι τέλειο τετράγωνο ώστε να έχει ακέραιες λύσεις και έστω ότι αυτή είναι ίση με z^2.
D=16m^2-4(4k^2-l^2)y^2-16n(2k+l)=z^2 Άρα 4(4k^2-l^2)y^2+z^2=16m^2-16n(2k+l) (**)
και η εύρεση των y,z για δεδομένους m,n,k,l είναι πλέον πολύ εύκολη δεδομένου ότι το αριστερό μέλος της εξίσωσης (**) λόγω της (*) είναι θετικό .Είναι εμφανές ότι για να έχει λύσεις η αρχική εξίσωση λόγω της (**) θα πρέπει m^2>n(2k+l) και πάντα η αρχική εξίσωση τελικά βλέπουμε ότι θα έχει πεπερασμένες λύσεις (a,b) .


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6063
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#39

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Δευ Νοέμ 28, 2011 1:50 am

18)
(x^{2}+2)(y^{2}+3)(z^{2}+4)=60xyz , \ x,y,z \in \Bbb{N}.

19)
\displaystyle{ n^{8}-p^{5}= n^{2}+p^{2}, \ n,p \in \Bbb{N}, } p πρώτος.

20)
2p^{q}-q^{p}= 7 , \ p,q (θετικοί) πρώτοι


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
Αρχιμήδης 6
Δημοσιεύσεις: 1203
Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ

Re: Εξισώσεις στους ακεραίους

#40

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Αρχιμήδης 6 » Δευ Νοέμ 28, 2011 11:46 am

21 )
x^4+y^4+z^4=2w^2
Για τους μη μηδενικούς και διαφορετικούς ανα 2 ακέραιους x,y,z,w να εξεταστεί αν η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις στους ακεραίους .


Ξεπέρασε τον εαυτό σου.
Κανένα πρόβλημα δεν μπορεί να σε νικήσει.Εμείς το εντοπίζουμε εμείς το λύνουμε!
Φιλοσοφία είναι η λύτρωση του ανθρώπου από τις αποτυχίες του.
Κανακάρης Δημήτριος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης