Σελίδα 1 από 6
Εξισώσεις στους ακεραίους
Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 14, 2011 11:32 pm
από mathxl
Ζήλεψα από τον Μπάμπη
.
1)
Να λύσετε στο σύνολο των ακεραίων την εξίσωση
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 14, 2011 11:40 pm
από matha
mathxl έγραψε:1) Να λύσετε στο σύνολο των ακεραίων την εξίσωση
Η εξίσωση γράφεται ως
Άρα πρέπει
αφού
Από εδώ βρίσκουμε για το
τις τιμές
Αν
βρίσκουμε
άρα
Αν
βρίσκουμε
αδύνατη στο
Αν
βρίσκουμε
άρα
Αν
βρίσκουμε
αδύνατη στο
Αν
βρίσκουμε
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 14, 2011 11:43 pm
από pito
Πολύ ωραία ιδέα! ( Κύριε Μάγκο
τα συγχαρητήριά μου προλάβατε να την σκεφτείτε και να την γράψετε μέσα σε 8
λεπτά!)
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 14, 2011 11:43 pm
από mathxl
Θάνο ευχαριστώ, μια ακόμη
2)
πάλι στους ακεραίους. Υπάρχει και άλλη αντιμετώπιση εκτός αυτής του Θάνου.
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 14, 2011 11:45 pm
από sokratis lyras
Για
έχω
και για
αδύνατη.
Παραγοντοποιώντας έχω:
Όμως
και αφού
πρέπει:
άρα
και
ή
άρα
και
.
Ομοίως βρίσκουμε και τις αρνητικές λύσεις.
Φιλικά,
Σωκράτης
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 15, 2011 12:01 am
από matha
mathxl έγραψε:Θάνο ευχαριστώ, μια ακόμη
πάλι στους ακεραίους. Υπάρχει και άλλη αντιμετώπιση εκτός αυτής του Θάνου.
Η εξίσωση γράφεται
Αυτή έχει διακρίνουσα
και πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο, δηλαδή να υπάρχει ακέραιος
ώστε
ή αλλιώς
Γράφοντας το
ως γινόμενο υπό τη μορφή
ή
ή
ή
βρίσκουμε για το
τις τιμές
και τότε τα αντίστοιχα
είναι
και
Όλα τα ζεύγη ικανοποιούν και την αρχική.
Τελικά οι λύσεις είναι οι
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 15, 2011 12:10 am
από mathxl
Ο άλλος τρόπος που έχω υπόψη μου είναι αυτός του Σωκράτη, δηλαδή παραγοντοποίηση με γινόμενο κάποιον ακέραιο με βολικούς διαιρέτες
mathxl έγραψε: πάλι στους ακεραίους
κτλ
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 15, 2011 12:34 am
από mathxl
και μια τρίτη στην παρέα.
3)
Ομοίως να λυθεί η εξίσωση στους ακεραίους
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 15, 2011 12:47 am
από matha
mathxl έγραψε:και μια τρίτη στην παρέα. Ομοίως να λυθεί η εξίσωση στους ακεραίους
Φανερά ο
είναι πολλαπλάσιο του
. Ας είναι λοιπόν
Τότε, η εξίσωση γράφεται
δηλαδή
Από εδώ είναι
ή
Βρίσκουμε
ή
Άρα, τελικά
ή
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 15, 2011 12:52 am
από cretanman
mathxl έγραψε:και μια τρίτη στην παρέα. Ομοίως να λυθεί η εξίσωση στους ακεραίους
Είναι φανερό ότι
άρα
οπότε αντικαθιστώντας, η εξίσωση γράφεται
δηλαδή
(είναι
)
Όμως
άρα πρέπει
δηλαδή
ή
Αν
τότε
και
Αν
τότε
και
Αλέξανδρος
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 16, 2011 1:38 pm
από mathxl
4)
Να λυθει στους ακεραίους και αυτή
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 16, 2011 2:12 pm
από matha
mathxl έγραψε:Να λυθει στους ακεραίους και αυτή
Θέτουμε
με
ακέραιους. Τότε, η εξίσωση γράφεται
Πρέπει να ισχύει
.
Επειδή
είναι
Βρίσκουμε αντίστοιχα
Άρα
Άρα προκύπτουν οι τιμές
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 16, 2011 2:41 pm
από Αρχιμήδης 6
Και εγώ τις ίδιες βρήκα . Απλά να προσθέσω στην λύση του κυρίου Θάνου ότι αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε για κάθε ζεύγος ακεραίων
να υπάρχουν ακέραιοι
ώστε
,
είναι να ισχύει
. Οπότε στην περίπτωση μας δικαιολογείται η ύπαρξη των
γιατί πάντα σύμφωνα με την εξίσωσή μας
. (Aν ο ένας είναι άρτιος και ο άλλος περιττός η εξίσωση δεν έχει λύσεις . )
Για να μην κάνουμε αυτή την διαδικασία θα μπορούσαμε απλά να θέσουμε
,
...
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 16, 2011 3:26 pm
από Αρχιμήδης 6
5)
Να λυθεί η εξίσωση στους φυσικούς :
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 16, 2011 3:52 pm
από matha
Αρχιμήδης 6 έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση στους φυσικούς :
Ας θέσουμε
οπότε
Η εξίσωση γράφεται τότε,
δηλαδή
Το ότι ο
στην παραπάνω σχέση είναι ακέραιος, είναι φανερό, αφού το γινόμενο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιος.
Επομένως βρίσκουμε για το
Είναι εύκολο να δούμε ότι όλα τα ζευγάρια
ικανοποιούν την αρχική.
Υ.Γ. Βασίλη, μήπως θα έπρεπε να αλλάξει ο τίτλος από "Εξίσωση στους ακεραίους" σε "Εξισώσεις στους ακεραίους";
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 16, 2011 4:12 pm
από Αρχιμήδης 6
Σωστά Θάνο. Να σημειωθεί ότι η εξίσωση προτάθηκε για την ουσία των λύσεων που είναι οι τριγωνικοί αριθμοί . Όι τριγωνικοί αριθμοί είναι ης μορφής
και η ιδιότητα των τριγωνικών αριθμών είναι η εξίσωση που προτάθηκε για επίλυση . Για 2 διαδοχικούς τριγωνικούς
ισχύει
.
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 16, 2011 4:27 pm
από socrates
6)
Να λυθεί στους ακεραίους:
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 16, 2011 4:46 pm
από matha
socrates έγραψε:Να λυθεί στους ακεραίους:
Έχουμε να λύσουμε την εξίσωση
Επειδή ο
είναι πρώτος και ισχύει
υπάρχουν οι δυνατότητες
α)
β)
Στην πρώτη περίπτωση έχουμε
και
άρα
άτοπο, αφού ο
δε διαιρείται από το
.
Στη δεύτερη περίπτωση, η 2η σχέση γράφεται
Από εδώ φαίνεται ότι πρέπει δύο από τα τρία τετράγωνα να ισούνται με
και το 3ο με
Ας είναι π.χ.
οπότε
δηλαδή
ή
Για
από την άλλη εξίσωση έχουμε
άρα
οπότε
Αν
η άλλη εξίσωση γράφεται
αδύνατη, αφού το
δε διαιρείται με το
.
Άρα, τελικά οι λύσεις της αρχικής είναι η
και οι μεταθέσεις της.
EDIT* Αφού έγραψα τη λύση παρατηρώ ότι αντί για
έγραφα
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 16, 2011 5:03 pm
από socrates
7)
Άλλη μια (λίγο πιο δύσκολη
):
Re: Εξίσωση στους ακεραίους
Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 16, 2011 5:47 pm
από mathxl
matha έγραψε:
Υ.Γ. Βασίλη, μήπως θα έπρεπε να αλλάξει ο τίτλος από "Εξίσωση στους ακεραίους" σε "Εξισώσεις στους ακεραίους";
Καλή ιδέα θα βάλω και αρίθμηση σε κάθε άσκηση για να μην χάσουμε την μπάλα.