Εξισώσεις στους ακεραίους
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
22) Να λυθεί στους φυσικούς η εξίσωση
23) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις στους ακέραιους.
23) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις στους ακέραιους.
Γιώργος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Αρχιμήδης 6 έγραψε:- 21 )
Για τους μη μηδενικούς και διαφορετικούς ανα 2 ακέραιους να εξεταστεί αν η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις στους ακεραίους .
Είναι η 10.Γιώργος Απόκης έγραψε:22) Να λυθεί στους φυσικούς η εξίσωση
Γιώργος Απόκης έγραψε:23) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις στους ακέραιους.
Ενδιαφέρουσα σημείωση: http://www.mathpages.com/home/kmath071.htm
24)
25)
26)
τελευταία επεξεργασία από socrates σε Δευ Νοέμ 28, 2011 2:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Θανάσης Κοντογεώργης
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Θανάση οι λύσεις που βρήκες για την εξίσωση μου είναι σωστές ? Νομίζω ότι πρέπει να διορθώσεις κάτι γιατί για , δεν ισχύει...
Φιλικά ,
Δημήτρης
Φιλικά ,
Δημήτρης
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Έχεις δίκιο Δημήτρη. Το διόρθωσα. Θενκς!Αρχιμήδης 6 έγραψε:Θανάση οι λύσεις που βρήκες για την εξίσωση μου είναι σωστές ? Νομίζω ότι πρέπει να διορθώσεις κάτι γιατί για , δεν ισχύει...
Φιλικά ,
Δημήτρης
Θανάσης Κοντογεώργης
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Για την ιστορία η εξίσωση μου κατασκευάστηκε απο την απλή σκέψη...
Αν , , τότε...
( Y.Γ Έίπα να κοιτάξω το βιβλίο του Κύριου Στεργίου και να φτίαξω μια άσκηση και η παραπάνω βρίσκεται στο βιβλίο << ολυπιάδες μαθηματικών Α' λυκείου >> του Μπάμπη Στεργίου στο κεφάλαιο για τις ταυτότητες Άσκηση 2.107 σελ 64 ).
Αν , , τότε...
( Y.Γ Έίπα να κοιτάξω το βιβλίο του Κύριου Στεργίου και να φτίαξω μια άσκηση και η παραπάνω βρίσκεται στο βιβλίο << ολυπιάδες μαθηματικών Α' λυκείου >> του Μπάμπη Στεργίου στο κεφάλαιο για τις ταυτότητες Άσκηση 2.107 σελ 64 ).
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
socrates έγραψε:18)
Aν τότε
και βλέπουμε ότι η εξίσωση σε αυτην την περίπτωση δεν έχει λύσεις και ότι .
Μοναδικές λύσεις οι παρακάτω.
.
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Κυρ Δεκ 04, 2011 9:28 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
-
- Δημοσιεύσεις: 252
- Εγγραφή: Σάβ Οκτ 16, 2010 4:46 pm
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Μια προφανής λύση είναι ηsocrates έγραψε:26)
Yποθέτουμε ότι ένας είναι ίσος με ,έστω ο και οι άλλοι διάφοροι του .
Aν έχουμε: απο ΑΜ-ΓΜ , άτοπο.
Αν ένας από τους είναι μεγαλύτερος του και ο άλλος μικρότερος του εύκολα βλέπουμε ότι η δοθείσα δεν έχει λύση.
Αν δύο από τους είναι ίσοι με πάλι εύκολα βλέπουμε ότι πάλι η εξίσωση δεν έχει λύσεις (εκτός από την 3,3,3)
Εστω ότι είναι όλοι διάφοροι του
Aν έχουμε αδύνατο.
Αν ένας είναι μικρότερος του ,ας πούμε ο ,καί οι άλλοι δύο μεγαλύτεροι του θα είναι:
πάλι άτοπο.
Αν ένας είναι μεγαλύτερος του ,έστω ο τότε διακρίνοντας τις περιπτώσεις ή ή
πάλι βλέπουμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη.
Τέλος, αν είναι όλοι μικρότεροι του ευκολα βρίσκουμε τις λύσεις και
Συνοψίζοντας λύσεις είναι oi τριάδες και τα κυκλικά
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
socrates έγραψε: 25)
Λήμμα .
Αν ΄τότε υπάρχουν φυσικοί ώστε
,
Βάζοντας όπου στην αρχική εξίσωση θα καταλήξουμε στην ισότητα...
και διακρίνοντας περιπτώσεις θα έχουμε...
- Αν ΄τότε
-Αν τότε
-Αν τότε
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Παρ Δεκ 02, 2011 11:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
socrates έγραψε: 24)
Xωρίς βλάβη της γενικότητας ορίζουμε μια διάταξη στο σύνολο των φυσικών των μεταβλητών .
Έστω ότι . Προφανώς θα ισχύει ότι .
Για ευκολία θέτω , , , .
Μετασχηματίζοντας την εξίσωση σε μεταβλητές ΄και κάνοντας τις πράξεις θα καταλήξουμε στην παρακάτω εξίσωση !
Εδώ βλέπουμε ότι αφού οι πρέπει πέρνουμε σαν λύσεις
Έτσι πέρνουμε σαν μοναδική λύση τελικά την τετράδα
Πράγματι ισχύει γιατί
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Παρ Δεκ 02, 2011 11:58 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
-
- Δημοσιεύσεις: 103
- Εγγραφή: Πέμ Μάιος 12, 2011 11:55 am
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Γιώργος Απόκης έγραψε:23) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις στους ακέραιους.
είναι σωστός ο συλλογισμός μου?
τελευταία επεξεργασία από Φωτεινή σε Σάβ Δεκ 03, 2011 12:00 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης
Λόγος: προσθήκη εκφώνησης
Δημήτρης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Οι επόμενες εξισώσεις έχουν άπειρες ακέραιες ρίζες:
27)
28)
29)
30)
31)
32)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
Θανάσης Κοντογεώργης
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Οι λύσεις της εξίσωσης είναι άπειρες και ισχύει μόνο για οποιουσδήποτε διαδοχικούς ακέραιους . Πράγματι ισχύει και η ταυτότητα ...socrates έγραψε:31)
που είναι πολύ όμορφη ταυτότητα.
Edit: H απόδειξη της μοναδικότητας της παραπάνω απειρίας τριάδων παραλείπεται λόγω πληρότητας των απαιτήσεων της ανωτέρω άσκησης.
Ερώτηση προς Θανάση: Στις ασκήσεις εννοείς για κάθε ?
έγινε προσθήκη εκφώνησης
Φωτεινή
τελευταία επεξεργασία από Αρχιμήδης 6 σε Πέμ Δεκ 01, 2011 5:52 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Ναι, το είναι ένας δεδομένος φυσικός αριθμός!Αρχιμήδης 6 έγραψε:Για την Άσκηση .
Οι λύσεις της εξίσωσης είναι άπειρες και ισχύει μόνο για οποιουσδήποτε διαδοχικούς ακέραιους . Πράγματι ισχύει και η ταυτότητα ...
που είναι πολύ όμορφη ταυτότητα.
Edit: H απόδειξη της μοναδικότητας της παραπάνω απειρίας τριάδων παραλείπεται λόγω πληρότητας των απαιτήσεων της ανωτέρω άσκησης.
Ερώτηση προς Θανάση: Στις ασκήσεις εννοείς για κάθε ?
Θανάσης Κοντογεώργης
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
socrates έγραψε: 27)
Άπειρες λύσεις π.χ
έγινε προσθήκη εκφώνησης
Φωτεινή
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1513
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς
- Επικοινωνία:
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
28) Aν τότε η εξίσωση γίνεται η οποία έχει άπειρες ακέραιες λύσειςsocrates έγραψε:Οι επόμενες εξισώσεις έχουν άπειρες ακέραιες ρίζες:
28)
29)
30)
Αν τότε από όπου προκύπτει ότι για κάθε
29) Από την ισότητα προκύπτει ότι για κάθε
30) Αν είχαμε ακέραιους ώστε τότε για κάθε
Υπολογίζοντας μερικές τέταρτες δυνάμεις βρίσκουμε
Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Οπότε μας μένει η εξίσωση .
Edit : Ωραίες οι λύσεις σας Κύριε Μαραγκουδάκη!
Edit : Ωραίες οι λύσεις σας Κύριε Μαραγκουδάκη!
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Το βρήκα....
Θα ήθελα να δω όμως και κάτι πιο χρήσιμο απο την δική μου διαπύστωση...
τελευταία επεξεργασία από Αρχιμήδης 6 σε Παρ Δεκ 02, 2011 2:35 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Να εξεταστεί αν η παρακάτω εξίσωση έχει άπειρες λύσεις.
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Εξισώσεις στους ακεραίους
Να λυθούν :
34) πρώτοι
35)
36)
37)
38)
(http://www.mathpages.com/home/kmath071.htm, http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=23&t=248)
34) πρώτοι
35)
36)
37)
38)
Οκ, για τους ακέραιους... Αν θέλουμε φυσικούς τότε μια οικογένεια είναιΑρχιμήδης 6 έγραψε:
Το βρήκα....
Θα ήθελα να δω όμως και κάτι πιο χρήσιμο απο την δική μου διαπύστωση...
(http://www.mathpages.com/home/kmath071.htm, http://forum.gil.ro/viewtopic.php?f=23&t=248)
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 5 επισκέπτες