Σύστημα

#1

Να λυθεί το σύστημα:

$\begin{cases}|x_{1}-x_{2}|=\alpha x_{3}\\ |x_{2}-x_{3}|=\alpha x_{4}\\ \ \ \ \ \ ...\\ |x_{2007}-x_{1}|=\alpha x_{2}\\ \end{cases}$

αν
$\text{i)}\ \alpha >1$
$\text{ii)}\ \alpha =1.$

#2

Επαναφορά!

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 09, 2011 2:35 am
Να λυθεί το σύστημα:

$\begin{cases}|x_{1}-x_{2}|=\alpha x_{3}\\ |x_{2}-x_{3}|=\alpha x_{4}\\ \ \ \ \ \ ...\\ |x_{2007}-x_{1}|=\alpha x_{2}\\ \end{cases}$

αν
$\text{i)}\ \alpha >1$
$\text{ii)}\ \alpha =1.$

i)Έστω $\rm (r_1,r_2,...,r_{2007})$ μία λύση του συστήματος.Από τις συνθήκες έπεται ότι $\rm r_j\geq 0,j=1,2,..,2007$ .
Έστω $\rm r_i=max\left \{ r_1,r_2....r_{2007} \right \}$ .Τότε $\rm \left | r_{i-1}-r_{i-2} \right |=ar_i>r_i\Rightarrow r_{i-1}=r_i+r_{i-2}>r_i\,\,\acute{\eta }\,\,r_{i-2}=r_{i-1}+r_i>r_i$ άτοπο,από τον τρόπο επιλογής του $\rm r_i$ .Άρα δεν έχουμε λύση σε αυτή την περίπτωση.
ii)Χρησιμοποιώ ξανά τους ίδιους συμβολισμούς, και θέτω $\rm r_i=k$ .
Είναι $\rm k=\left | x_{i-1}-x_{i-2} \right |$ οπότε $\rm x_{i-1}=0,x_{i-2}=k$ ή $\rm (x_{i-1}=k,x_{i-2}=0$ .
Αν $\rm x_{i-1}=0,x_{i-2}=k$ τότε $\rm 0=\left | k-x_{i-3} \right |\Leftrightarrow x_{i-3}=k$ και ακολουθώντας το ίδιο σκεπτικό οι τιμές ξεκινώντας από το $\rm r_i$ και κατεβαίνοντας είναι $\rm k,0,k,k,0,k,k,0.....$ και επειδή $3 \mid 2007$ μία τέτοια λύση είναι δυνατή.
Και η άλλη περίπτωση οδηγεί στο ίδιο μοτίβο λύσεων,απλά ''μετατοπισμένο''.

Έτσι λοιπόν οι λύσεις του συστήματος είναι $\rm r_j=\left\{\begin{matrix} & \rm 0,\,\,if \,\,i-j\equiv 2\pmod3 & \\ & \rm k,otherwise & \end{matrix}\right.$ με $\rm r_i=k \in [0,+\infty)$ .

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση