Ανισότητα με ακεραίους
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Ανισότητα με ακεραίους
Αν μη μηδενικοί ακέραιοι, διαφορετικοί ανά δύο και τέτοιοι ώστε
να δείξετε ότι
να δείξετε ότι
Θανάσης Κοντογεώργης
Re: Ανισότητα με ακεραίους
Ωραία άσκηση Sokrates, αλλά τι εννοείς όταν λες a,b,c διαφορετικοί μεταξύ τους ανά δύο; ότι
και ;
και ;
Carpe Diem
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με ακεραίους
Εννοώ ότιkostas232 έγραψε:Ωραία άσκηση Sokrates, αλλά τι εννοείς όταν λες a,b,c διαφορετικοί μεταξύ τους ανά δύο; ότι
και ;
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με ακεραίους
Αν θυμάμαι σωστά, η άσκηση είναι από διαγωνισμό στην Πολωνία...
Θανάσης Κοντογεώργης
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με ακεραίους
Νομίζω ότι μπορούμε να βρούμε και όλες τις τριάδες ακεραίων ώστε .
Καταρχήν, έστω WLOG . Έχω ότι , άρα είτε , είτε δύο από τους είναι αρνητικοί και ο ένας θετικός.
Περίπτωση 1: Είναι . Γράφω τη δοσμένη ως .
Αν κάποιος από τους είναι , τότε θα είχαμε εύκολα άτοπο (αν π.χ. ).
Άρα, .
Αν , τότε , και , άρα , άτοπο.
Αν πάλι , τότε έχω , οπότε, αφού , είναι , που δίνει .
Περίπτωση 2: Είναι και (αν τότε και , άτοπο, ενώ αν τότε άτοπο. Άρα αναγκαστικά ).
Έστω με και .
Η , δίνει .
Όμως, είναι , καθώς , και .
Άρα, έχω παντού ισότητα, οπότε , δηλαδή .
Οι δύο τριάδες που βρήκα, δηλαδή οι και (προφανώς και οι αναδιατάξεις αυτών), ικανοποιούν την προς απόδειξη ανισότητα.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Ανισότητα με ακεραίους
Σωστά Ορέστη! Με μερικές ακόμα τετριμμένες περιπτώσεις βρίσκουμε όλες τις ακέραιες λύσεις τη εξίσωσης
Θανάσης Κοντογεώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες