Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
ΑΣΚΗΣΗ 134 :
Βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών τέτοια ώστε
ΑΣΚΗΣΗ 135 :
Αν θετικοί ακέραιοι, , τέτοιοι ώστε ο να διαιρεί τον
να δείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειος κύβος.
Βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών τέτοια ώστε
ΑΣΚΗΣΗ 135 :
Αν θετικοί ακέραιοι, , τέτοιοι ώστε ο να διαιρεί τον
να δείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειος κύβος.
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Δημοσιεύσεις: 252
- Εγγραφή: Σάβ Οκτ 16, 2010 4:46 pm
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
vzf έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 132 :
Oι τιμές των είναι όχι απαραίτητα με αυτή τη σειρά. Ποιά είναι η μέγιστη πιθανή τιμή του
Θα χρησιμοποιήσουμε τη βασική ανισότητα ως εξής:
Επομένως η ζητούμενη τιμή είναι 25 καί λαμβανεται όταν
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Αφού τα α,β,γ.δ παίρνουν διαφορετικές τιμές μεταξύ τους
έχουμε με δοκιμές ότι (α+γ)(β+δ) = (4+1)(2+3) = 25
Χρήστος
έχουμε με δοκιμές ότι (α+γ)(β+δ) = (4+1)(2+3) = 25
Χρήστος
Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Τις παραθέρω εδώ, για να είναι συγκεντρωμένες.ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Έχουμε 10 ασκήσεις από τις 135 συνολικά, που δεν έχουν μέχρι στιγμής απαντηθεί και είναι:
ΑΣΚΗΣΗ 73,85,106,116,126,128,130,132,134 και 135
Προς τους μαθητές μας: Σας παροτρύνω ΙΣΧΥΡΑ να ασχοληθείτε γιατί όλες είναι ωραίες ασκήσεις και όλες είναι (στον ένα ή στον άλλο βαθμό) βατές (αλλά μη τετριμμένες).
Η 73 υποθέτω ότι έμεινε αναπάντητη γιατί είναι ... αρκετά γνωστή
Φερμά_96 έγραψε:άσκηση 73
να εξεταστεί καταπόσο ένας ακέραιος αριθμός, μπορεί να έχει την ρίζα του στους ρητούς αλλά όχι και στους ακέραιους αριθμούς.
(είναι διάσημο πρόβλημα, οπότε μάλλον πολλοί θα το ξέρετε)
Παναγιώτης 1729 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 85:
Οι φυσικοί αριθμοί από το 1 ως το 10 τοποθετούνται με τυχαία σειρά στην περιφέρεια ενός κύκλου. Ν.δ.ο. υπάρχουν σε διπλανές θέσεις τρεις αριθμοί με άθροισμα τουλάχιστον 18.
s.kap έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 106
Αν . Να αποδείξετε ότι:
Α) Αν , τότε
B) Αν , τότε και
Γ) Αν , τότε , και
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 116 :
Στις Δημοτικές εκλογές της 1ης Κυριακής (13 Οκτωβρίου 2002) σε ένα Δήμο συμμετείχαν οι συνδυασμοί Α,Β και Γ. Ονομάζουμε ν τον αριθμό των εγγεγραμμένων στους εκλογικούς καταλόγους ψηφοφόρων.
Συνολικά ψήφισε το 75% του αριθμού ν και όλα τα ψηφοδέλτια ήταν έγκυρα. Ο συνδυασμός Α ψηφίστηκε από το 39% του αριθμού ν ενώ ο συνδυασμός Β από το 27% του ν. Λευκά δεν βρέθηκαν.
(α) Να εξετάσετε αν ο αρχηγός του συνδυασμού Α εξελέγη Δήμαρχος από την 1η Κυριάκή (δηλαδή αν έλαβε ποσοστό μεγαλύτερο του 50% ως προς τον αριθμό των έγκυρων ψηφοδελτίων).
(β) Να βρείτε το ποσοστό των ψήφων του συνδυασμού Γ ως προς τον αριθμό των έγκυρων ψηφοδελτίων.
socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 126
Αν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε να δείξετε ότι
Demetres έγραψε:Άσκηση 128
(α) Πόσοι αναγραμματισμοί υπάρχουν της λέξης ΣΗΜΕΡΑ; (Π.χ. το ΗΜΡΑΕΣ είναι ένας τέτοιος αναγραμματισμός. Δεν είναι απαραίτητο ο αναγραμματισμός να έχει νόημα.)
(β) Πόσοι αναγραμματισμοί υπάρχουν της λέξης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ;
(γ) Σε πόσους από τους αναγραμματισμούς της λέξης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ δεν εμφανίζονται δυο συνεχόμενα όμοια γράμματα. (Π.χ. απαγορεύουμε τον αναγραμματισμό ΜΑΑΘΗΜΑΤΙΚ κ.τ.λ.)
Α.Κυριακόπουλος έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 130 :
Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς και ,για τις οποίους ισχύουν:
socrates έγραψε: Άσκηση 134
Βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών τέτοια ώστε .
socrates έγραψε: Άσκηση 135
Αν θετικοί ακέραιοι, , τέτοιοι ώστε ο να διαιρεί τον
να δείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειος κύβος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Με χρήση της για , με ισότητα αν και μόνον αν (βλέπε παρακάτω) έχουμεΑ.Κυριακόπουλος έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 130 :
Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς και ,για τις οποίους ισχύουν:
άρα . Συνεπώς . Εύκολα διαπιστώνουμε από την πρώτη εξίσωση ότι η μόνη εφικτή είναι η .
Φιλικά,
Μιχάλης
(*) βγαίνει με πολλαπλή χρήση της C-S:
και λοιπά.
Άλλος τρόπος: πολλαπλή χρήση της
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Χωρίς βλάβη μπορούμε να υποθέσουμε (και θα το κάνουμε) ότι σε όλους τους ρητούς που εμφανίζονται, το κλάσμα που τους παριστάνει είναι απλό (χωρίς κοινούς παράγοντες στον αριθμητή και παρονομαστή).s.kap έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 106
Αν . Να αποδείξετε ότι:
Α) Αν , τότε (θέλει )
B) Αν , τότε και
Γ) Αν , τότε , και
Πρώτα δείχνουμε το Λήμμα: Αν απλό , αν πρώτοι προς αλλήλους φυσικοί και αν , τότε υπάρχει ρητός με .
Αφήνω την απόδειξη γιατί είναι παραλλαγή της γνωστής για την περίπτωση . (Η μοναδικότητα της ανάλυσης σε πρώτους παράγοντες καθιστά εύκολη την απόδειξη).
Έτσι "αποδείχθηκε" το Α).
Β) Υψώνουμε στην τρίτη δύναμη, οπότε , και άρα . Από το Λήμμα είναι . Από την υπόθεση έπεται τώρα ότι και .
Γ) Υψώνουμε στην 15η δύναμη, οπότε , και άρα . Από το Λήμμα είναι . Επίσης, η υπόθεση τώρα δίνει , που εξετάστηκε στο B).
Ωραία άσκηση.
Φιλικά,
Μιχάλης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Πού είναι οι μαθητές μας;
Αξίζει να προσθέσουμε ότι δεν μπορεί να βελτιωθεί το αποτέλεσμα σε 19, όπως δείχνει η παρακάτω διευθέτηση, όπου όλα τα αθροίσματα τριων διαδοχικών είναι το πολύ 18:
Ξεχνάμε τον 1. Οι υπόλοιποι εννιά έχουν συνολικό άθροισμα . Τους χωρίζουμε σε τρεις διαδοχικές τριάδες, κυκλικά, αρχίζοντας από τον διπλανό του 1. Κάποια από τις τρεις αυτές τριάδες θα έχει άθροισμα γιατί αλλιώς το συνολικό τους άθροισμα θα ήταν . Άτοπο.Παναγιώτης 1729 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 85:
Οι φυσικοί αριθμοί από το 1 ως το 10 τοποθετούνται με τυχαία σειρά στην περιφέρεια ενός κύκλου. Ν.δ.ο. υπάρχουν σε διπλανές θέσεις τρεις αριθμοί με άθροισμα τουλάχιστον 18.
Αξίζει να προσθέσουμε ότι δεν μπορεί να βελτιωθεί το αποτέλεσμα σε 19, όπως δείχνει η παρακάτω διευθέτηση, όπου όλα τα αθροίσματα τριων διαδοχικών είναι το πολύ 18:
- Συνημμένα
-
- dekagono.JPG (14.75 KiB) Προβλήθηκε 1653 φορές
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1513
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
ΕίναιΑ.Κυριακόπουλος έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 130 :
Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς και ,για τις οποίους ισχύουν:
Πολλαπλασιάζουμε τη 2η με 2, την 3η με 4 και προσθέτουμε κατά μέλη. Προκύπτει
.
Επαναλαμβάνουμε τα ίδια και για τους . Προσθέτοντας προκύπτει
.
Από υπόθεση το 2ο μέλος ισούται με . Άρα και το 1ο μέλος ισούται με 0.
Το 1ο μέλος είναι άθροισμα τετραγώνων, άρα όλα αυτά τα τετράγωνα είναι 0.
Επομένως .
Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Οι πιο δύσκολες ασκήσεις από αυτές που μας είχαν απομείνει, λύθηκαν από τον Μιχάλη και τον Παύλο. (Μην απογοητεύονται οι μικροί που δεν μπόρεσαν να τις λύσουν. Αρκετές από αυτές δεν τις κατάφερα και εγώ . Όμως βλέποντας την λύση τους, καταλαβαίνουμε το τι χάναμε τόσα χρόνια!!)
Ας δούμε και δύο ακόμα θέματα πιο "χαλαρά" που το ένα έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Γ Γυμνασίου:
ΑΣΚΗΣΗ 136 :
Αν α,β θετικοί ακέραιοι και αν , να αποδείξετε ότι:
30<α+β<40
ΑΣΚΗΣΗ 137 :
Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθαινε 9 χρόνια αργότερα, θα βασίλευε το μισό της ζωής του. Αν όμως πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, θα βασίλευε το 1/8 της ζωής του.
Πόσα χρόνια έζησε;
Εκτός τις δύο αυτές ασκήσεις, άλυτες έχουν ακόμα απομείνει οι ασκήσεις: 73,116,126,128,134 και 135
Ας δούμε και δύο ακόμα θέματα πιο "χαλαρά" που το ένα έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Γ Γυμνασίου:
ΑΣΚΗΣΗ 136 :
Αν α,β θετικοί ακέραιοι και αν , να αποδείξετε ότι:
30<α+β<40
ΑΣΚΗΣΗ 137 :
Αν ο Μέγας Αλέξανδρος πέθαινε 9 χρόνια αργότερα, θα βασίλευε το μισό της ζωής του. Αν όμως πέθαινε 9 χρόνια νωρίτερα, θα βασίλευε το 1/8 της ζωής του.
Πόσα χρόνια έζησε;
Εκτός τις δύο αυτές ασκήσεις, άλυτες έχουν ακόμα απομείνει οι ασκήσεις: 73,116,126,128,134 και 135
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Έχει μείνει και αυτή. Γράφω την λύση. Έχουμε . Αν τώρα ο ένας από τους δυο παράγοντες διαιρείται με το 2, τότε ο άλλος δεν πρέπει να διαιρείται με το 2. Δηλαδή αυτός που διαιρείται με το 2 πρέπει να διαιρείται και με το . Ομοίως και για τους άλλους παράγοντες. Άρα αρκεί να βρούμε με πόσους τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε τα 2,3,5,7 σε δυο μη κενές ομάδες. Π.χ. αν η μια ομάδα περιέχει το 2 και η άλλη τα 3,5,7 οι παράγοντες θα είναι ο και ο . Επειδή οι αριθμοί είναι μικροί μπορούμε τον διαχωρισμό να το κάνουμε με το χέρι. ΒρίσκουμεS.E.Louridas έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 127
Πόσες είναι οι παραγοντοποιήσεις του 441.000 σε δύο παράγοντες μεγαλύτερους της μονάδας που οι παράγοντες αυτοί να είναι πρώτοι μεταξύ τους;
(*) Δύο θετικοί ακέραιοι m, n >1 είναι πρώτοι μεταξύ τους, όταν ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους είναι 1, συμβολίζουμε (m,n)=1.
S.E.Louridas
2|3,5,7
2,3|5,7
2,5|3,7
2,7|3,5
2,3,5|7
2,3,7|5
2,5,7|3
συνολικά δηλαδή 7 διαχωρισμούς.
Αλλιώς μπορούμε να το κάνουμε ως εξής. Αποφασίζουμε αν το 2 θα μπει στην πρώτη ή στην δεύτερη ομάδα. Έχουμε συνολικά 2 τρόπους να αποφασίσουμε. Μετά αποφασίζουμε αν το 3 θα μπει στην πρώτη ή στην δεύτερη ομάδα με άλλους δυο τρόπους κ.τ.λ. Συνολικά έχουμε τρόπους. Όμως δεν βρήκαμε ακριβώς αυτό που ζητάμε. Για παράδειγμα μετρήσαμε δυο τρόπους με τους οποίους είτε η πρώτη είτε η δεύτερη ομάδα δεν θα έχουν κανένα αριθμό. Αυτό απαγορεύεται και πρέπει να τους αφαιρέσουμε. Άρα συνολικά μέχρι τώρα τρόποι. Πάλι όμως δεν έχουμε την σωστή απάντηση. Αν π.χ. βάλουμε τον 2 στην πρώτη ομάδα και τους 3,5,7 στην δεύτερη ή το αντίστροφο ο διαχωρισμός είναι ο ίδιος. Μετρήσαμε λοιπόν κάθε διαχωρισμό δυο φορές. Άρα το σωστό είναι το οποίο συμφωνεί με την προηγούμενη απάντηση.
Εννοείται ότι η δεύτερη μέθοδος γενικεύεται την στιγμή που η πρώτη όχι. Π.χ. αν ο Σωτήρης ήταν πιο κακός και μας ζητούσε
«Πόσες είναι οι παραγοντοποιήσεις του σε δύο παράγοντες μεγαλύτερους της μονάδας που οι παράγοντες αυτοί να είναι πρώτοι μεταξύ τους;»
Τότε με το ίδιο σκεπτικό θα έπρεπε αρχικά να βρούμε πόσοι πρώτοι υπάρχουν από το 1 ως το 100 (η απάντηση είναι 25) και μετά θα έπρεπε να βρούμε με πόσους τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε αυτούς τους 25 αριθμούς σε δυο ομάδες. Ακολουθώντας το σκεπτικό της δεύτερης μεθόδου βρίσκουμε τρόποι. Ο αριθμός αυτός είναι τεράστιος. και η πρώτη μέθοδο της καταγραφής όλων των περιπτώσεων θα αποτύγχανε οικτρά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Πολύ ωραία.konstantinos21 έγραψε:Ισοδύναμα έχουμε ότι:vzf έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 133 :
Αποδείξτε ότι αν τότε
Θα γράψω άλλη μία λύση γιατί χρησιμοποιεί μία τεχνική που είναι πάντα χρήσιμη. Έχει το πλεονέκτημα ότι βγάζει "από μόνη της την ανισότητα χωρίς να σκεφτούμε".
Αφού , μπορούμε να θέσουμε όπου . Είναι τότε
Αριστερό μέλος
Δεξί μέλος
Είναι τώρα προφανές ότι το αριστερό μέλος είνα από το δεξί (αφού η διαφορά τους ).
Το πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ότι επειδή τα είναι έλευθερα (δεν γνωρίζει το ένα το άλλο) το τελικό αποδεικτέο είναι πάντα "προφανές".
Φιλικά,
Μιχάλης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1513
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Μετά τις πράξεις η εξίσωση γίνεταιsocrates έγραψε:Άσκηση 134
Βρείτε όλα τα ζεύγη φυσικών αριθμών τέτοια ώστε
. Συμπληρώνουμε το τετράγωνο στο 1ο μέλος:
Θέτουμε
Έχουμε λύση όταν για φυσικό το είναι τέλειο τετράγωνο.
Είναι
Ακόμα
Παρατηρούμε ότι για κάθε φυσικό.
Ακόμα ισχύει ότι
Άρα για κάθε φυσικό ισχύει
Αν το είναι τέλειο τετράγωνο και τότε
Η τελευταία όμως δεν έχει ακέραιες λύσεις.
Μένει να εξετάσουμε τι γίνεται για Βρίσκουμε ότι τα μόνα τέλεια τετράγωνα είναι τα
Για
Για (απορρίπτεται)
Για
Για ή .
Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1513
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
- Τοποθεσία: Πειραιάς
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Έστω Τότε υπάρχουν θετικοί ακέραιοι με καιsocrates έγραψε:Άσκηση 135
Αν θετικοί ακέραιοι, , τέτοιοι ώστε ο να διαιρεί τον
να δείξετε ότι ο αριθμός είναι τέλειος κύβος.
Άρα οπότε
Επομένως και εφόσον θα είναι
Ομοίως και εφόσον θα είναι
Επομένως Άρα υπάρχει θετικός ακέραιος ώστε
Άρα οπότε
Επομένως οπότε
Έτσι
Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
-
- Δημοσιεύσεις: 47
- Εγγραφή: Παρ Σεπ 17, 2010 7:53 pm
- Τοποθεσία: Βούλα,Αθήνα
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
για , =30 ικανοποιείται η εξίσωση οπότε οι ,που είναι λύσεις της διοφαντικής εξίσωσης έχουν τη μορφή όπου ο είναι ακέραιος.ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 136 :
Αν α,β θετικοί ακέραιοι και αν , να αποδείξετε ότι:
30<α+β<40
Αφού οι είναι θετικοί πρέπει να ισχύουν και . οπότε πρέπει τελικά .
Άρα η ζητούμενη ανισότητα γράφεται , που ισχύει
Aν έχεις τύχη διάβαινε και ριζικό περπάτα
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
ΑΣΚΗΣΗ 138 :
Aποδείξτε ότι
ΑΣΚΗΣΗ 139 :
Αποδείξτε ότι
ΑΣΚΗΣΗ 140 :
Αν ισχύει ότι (*) να αποδείξετε ότι .
ΑΣΚΗΣΗ 141 :
Να αποδείξετε το (*) με ή και χωρίς τη χρήση του διωνύμου του Newton
Τα και συμβολίζουν τον αριθμό των τρόπων που μπορούν να επιλεγούν αντικείμενα από , χωρίς να έχει σημασία η σειρά που επιλέγονται.
Ένας τύπος για το είναι .
Το λέγεται παραγοντικό και είναι ο μη αρνητικός αριθμός ,όπου ακέραιος και
Aποδείξτε ότι
ΑΣΚΗΣΗ 139 :
Αποδείξτε ότι
ΑΣΚΗΣΗ 140 :
Αν ισχύει ότι (*) να αποδείξετε ότι .
ΑΣΚΗΣΗ 141 :
Να αποδείξετε το (*) με ή και χωρίς τη χρήση του διωνύμου του Newton
Τα και συμβολίζουν τον αριθμό των τρόπων που μπορούν να επιλεγούν αντικείμενα από , χωρίς να έχει σημασία η σειρά που επιλέγονται.
Ένας τύπος για το είναι .
Το λέγεται παραγοντικό και είναι ο μη αρνητικός αριθμός ,όπου ακέραιος και
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Ο τύπος (*) δίνει την 141 αν στη θέση του πάρουμε . H απευθείας απόδεξη και των δύο, άλλωστε, είναι ολόιδια. Υπάρχει σε όλα τα βιβλία που έχουν το ανάπτυγμα του Newton. Η συνήθης απόδειξη είναι με επαγωγή.vzf έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 140 :
Αν ισχύει ότι (*) να αποδείξετε ότι .
ΑΣΚΗΣΗ 141 :
Να αποδείξετε το (*) με ή και χωρίς τη χρήση του διωνύμου του Newton
Για την 140. Υπάρχει ένα τρόπος με χρήση του και σύγκριση του συντελεστή του στις δύο παραστάσεις. Δεν θα το κάνω για να το χαρούν άλλοι. Είναι άλλωστε γνωστό. Θα δώσω όμως μία διαφορετική απόδειξη.
Μετράμε με δύο τρόπους το πλήθος των επιτροπών ατόμων που μπορούμε να κάνουμε από αγόρια και κορίτσια. Προφανώς είναι .
Ο άλλος τρόπος μέτρησης είναι: Η κάθε επιτροπή έχει αγόρια και κορίτσια . Για κάθε τέτοιο , αυτό γίνεται με τρόπους. Σύνολο , και λοιπά.
Φιλικά,
Μιχάλης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Απλή με επαγωγή: Για το επαγωγικό βήμα προστίθενται στο αριστερό μέλος οι όροι . Εύκολα ελέγχουμε αυτό που προκύπτει δίνει το δεξί μέλος του βήματος (διαφέρει από την επαγωγική υπόθεση κατά ).vzf έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 138 :
Aποδείξτε ότι
Μ.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Ωραιότατα. Μπράβο.themiskant έγραψε:στην άσκηση 136: για , =30 ικανοποιείται η εξίσωση οπότε οι ,που είναι λύσεις της διοφαντικής εξίσωσης έχουν τη μορφή όπου ο είναι ακέραιος. Αφού οι είναι θετικοί πρέπει να ισχύουν και . οπότε πρέπει τελικά .ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 136: Αν α,β θετικοί ακέραιοι και αν , να αποδείξετε ότι:
30<α+β<40
Άρα η ζητούμενη ανισότητα γράφεται , που ισχύει
Αλλιώς: , άρα .
, άρα .
M.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
(α) Αν οι εγγεγραμμένοι στους εκλογικούς καταλόγους ήταν 100, τότε θα ψήφιζαν οι 75 και ο συνδυασμος Α θα έπαιρνε 39 στους 75 που ψήφισαν. Δηλαδή ο συνδυασμός Α πήρε 39/75 του συνόλου των έγκυρων ψηφοδελτίων, δηλαδή ποσοστό 52%. Άρα εξελέγη από την πρώτη Κυριακή.ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 116 :
Στις Δημοτικές εκλογές της 1ης Κυρικής (13 Οκτωβρίου 2002) σε ένα Δήμο συμμετείχαν οι συνδυασμοί Α,Β και Γ. Ονομάζουμε ν τον αριθμό των εγγεγραμμένων στους εκλογικούς καταλόγους ψηφοφόρων.
Συνολικά ψήφισε το 75% του αριθμού ν και όλα τα ψηφοδέλτια ήταν έγκυρα. Ο συνδυασμός Α ψηφίστηκε από το 39% του αριθμού ν ενώ ο συνδυασμός Β από το 27% του ν. Λευκά δεν βρέθηκαν.
(α) Να εξετάσετε αν ο αρχηγός του συνδυασμού Α εξελέγη Δήμαρχος από την 1η Κυριάκή (δηλαδή αν έλαβε ποσοστό μεγαλύτερο του 50% ως προς τον αριθμό των έγκυρων ψηφοδελτίων).
(β) Να βρείτε το ποσοστό των ψήφων του συνδυασμού Γ ως προς τον αριθμό των έγκυρων ψηφοδελτίων.
(β) Ο συνδυασμός Γ πήρε 100%-39%-27%=34% του ν. Δηλαδή πήρε το 34/75 του συνόλου των έγκυρων ψηφοδελτίων και άρα ποσοστό 45,3%.
Υπάρχει απροσεξία, (έχει διορθωθεί παρακάτω): Αντί , πρέπει να γραφεί:
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ σε Σάβ Μαρ 23, 2013 10:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί
Λύση από Νίκο Ζανταρίδη(nikoszan)vzf έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 138 :
Aποδείξτε ότι
Έχουμε:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες