Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2741

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Δευ Μάιος 15, 2017 6:08 pm

Άσκηση 1366

Ας υποθέσουμε ότι για τη χρήση 5 ελαστικών ενός καινούριου αυτοκινήτου (4 στους τροχούς και 1 για ρεζέρβα)

πρέπει κανείς να τα χρησιμοποιεί ομοιόμορφα για κάθε 30000km που διανύει συνολικά το αυτοκίνητο. Για πόσα km πρέπει να

χρησιμοποιηθεί συνολικά το κάθε λάστιχο; Πώς μπορεί να το πετύχει αυτό ο οδηγός;

Αφιερωμένη στον Ορέστη!


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1390
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2742

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Μάιος 27, 2017 1:53 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Άσκηση 1366

Ας υποθέσουμε ότι για τη χρήση 5 ελαστικών ενός καινούριου αυτοκινήτου (4 στους τροχούς και 1 για ρεζέρβα)

πρέπει κανείς να τα χρησιμοποιεί ομοιόμορφα για κάθε 30000km που διανύει συνολικά το αυτοκίνητο. Για πόσα km πρέπει να

χρησιμοποιηθεί συνολικά το κάθε λάστιχο; Πώς μπορεί να το πετύχει αυτό ο οδηγός;

Αφιερωμένη στον Ορέστη!
Lastixa.png
Lastixa.png (7.61 KiB) Προβλήθηκε 1544 φορές


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2743

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Σάβ Μάιος 27, 2017 1:59 pm

Μπράβο Ορέστη!!!


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2744

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Σάβ Μάιος 27, 2017 3:21 pm

Άσκηση 1367

Να συγκρίνετε τους αριθμούς A,B:

A=( -1)^{2}\cdot (-2)^{3}\cdot(-3)^{4}\cdot ... \cdot (-2015)^{2016}

και

B=(-1)^{-1}\cdot(-3)^{-3}\cdot(-5)^{-5}\cdot\!...\cdot(-2015)^{-2015}


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8049
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2745

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Αύγ 16, 2017 2:42 pm

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Άσκηση 1367

Να συγκρίνετε τους αριθμούς A,B:

A=( -1)^{2}\cdot (-2)^{3}\cdot(-3)^{4}\cdot ... \cdot (-2015)^{2016}

και

B=(-1)^{-1}\cdot(-3)^{-3}\cdot(-5)^{-5}\cdot\!...\cdot(-2015)^{-2015}
Για το A έχουμε (2015-1)/2 = 1007 περιττές δυνάμεις. Οπότε A < 0. Για το B έχουμε 1008 περιττές δυνάμεις. Άρα B > 0 > A.


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2746

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τετ Αύγ 16, 2017 2:45 pm

Demetres έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:Άσκηση 1367

Να συγκρίνετε τους αριθμούς A,B:

A=( -1)^{2}\cdot (-2)^{3}\cdot(-3)^{4}\cdot ... \cdot (-2015)^{2016}

και

B=(-1)^{-1}\cdot(-3)^{-3}\cdot(-5)^{-5}\cdot\!...\cdot(-2015)^{-2015}
Για το A έχουμε (2015-1)/2 = 1007 περιττές δυνάμεις. Οπότε A < 0. Για το B έχουμε 1008 περιττές δυνάμεις. Άρα B > 0 > A.
Αυτή τη λύση είχα !


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4208
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2747

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Σεπ 30, 2017 9:45 pm

ΑΣΚΗΣΗ 1368: Να εξετάσετε αν υπάρχει φυσικός αριθμός n , ώστε ο αριθμός:

\displaystyle{A = 3n^2 + 5n +5} να διαιρείται με το 49.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10945
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2748

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Οκτ 02, 2017 11:57 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Σάβ Σεπ 30, 2017 9:45 pm
ΑΣΚΗΣΗ 1368: Να εξετάσετε αν υπάρχει φυσικός αριθμός n , ώστε ο αριθμός:

\displaystyle{A = 3n^2 + 5n +5} να διαιρείται με το 49.
Για να κλείνει.

Γράφω λύση ουσιαστικά με modulo αλλά χρησιμοποιώ πιο απλή γλώσσα για διευκόλυνση νεαρότερων μαθητών.

Αν ο αριθμός διαιρείται με το 49 τότε θα διαιρείται και με το 7. Γράφοντας διαδοχικά n=7N, \, n=7N+1, \, ... \, 7N+6 , θα διαπιστώνουμε ότι ο 3n^2 + 5n +5 είναι αντίστοιχα της μορφής 7M+5, \, 7M+6, \, 7M+6,  \,7M+5,  \,7M+5,  \,7M,  \, 7M+5 (άμεσο με πράξεις). To μόνο πολλαπλάσιο του 7 προέρχεται από τον n=7N+5, οπότε επικεντρωνόμαστε σε αυτόν.

Για n=7N+5 έχουμε

3n^2 + 5n +5= 3(7N+5)^2 + 5(7N+5) +5= ... = 49(3N^2+35N+2)+7

που βέβαια δεν είναι πολλαπλάσιο του 49.

Με άλλα λόγια κανείς αριθμός της μορφής 3n^2 + 5n +5 δεν είναι πολλαπλάσιο του 49.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4208
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2749

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Νοέμ 19, 2017 5:13 pm

ΑΣΚΗΣΗ 1369 Να λυθεί το σύστημα:

\displaystyle{(x-1)(y^2 +6) = y(x^2 +1)}

\displaystyle{(y-1)(x^2 +6) = x(y^2 +1)}

(Η άσκηση είναι από παλιό μαθηματικό διαγωνισμό ξένου Κράτους)


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2750

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Παρ Ιαν 05, 2018 5:14 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Κυρ Νοέμ 19, 2017 5:13 pm
ΑΣΚΗΣΗ 1369 Να λυθεί το σύστημα:

\displaystyle{(x-1)(y^2 +6) = y(x^2 +1)}

\displaystyle{(y-1)(x^2 +6) = x(y^2 +1)}

(Η άσκηση είναι από παλιό μαθηματικό διαγωνισμό ξένου Κράτους)
Ευκολάκι!

\left.\begin{matrix} (x-1)(y^{2}+6)=y(x^{2}+1) & \\ (y-1)(x^{2}+6)=x(y^{2}+1) & \end{matrix}\right\}\begin{matrix} xy^{2}+6x-y^{2}-6=x^{2}y+y(1) & \\ x^{2}y+6y-x^{2}-6=xy^{2}+x(2) & \end{matrix}

(1)+(2)\Rightarrow 6x-y^{2}-6+6y-x^{2}-6=x+y \Rightarrow

x^{2}+y^{2}-5x-5y+12=0(3)

(1)-(2)\Rightarrow xy^{2}-x^{2}y+6x-6y-y^{2}+x^{2}=x^{2}y-xy^{2}-x+y \Rightarrow

xy(y-x)-6(y-x)-(y-x)(x+y)=-xy(y-x)+(y-x) \Rightarrow

(y-x)(2xy-x-y-7)=0 \Rightarrow

\boxed{x=y}\; \acute{\eta}\; \boxed{2xy-x-y-7=0}

\bullet \; \boxed{x=y}\Rightarrow x^{2}-5x+6=0 \Rightarrow (x-2)(x-3)=0

\boxed{(x,y)=(2,2),(3,3)}

\bullet \; \boxed{2xy-x-y-7=0}\Leftrightarrow 2xy=x+y+7:(x+y)-6(x+y)+5=0\Rightarrow

(3)\Rightarrow (x+y)^{2}-2xy-5x-5y+12=0\Rightarrow

(x+y)^{2}-x-y-7-5x-5y+12=0\Rightarrow

(x+y)^{2}-6x-6y+5=0\Rightarrow

(x+y)^{2}-6(x+y)+5=0\Rightarrow

\boxed{x=5-y}\; \acute{\eta }\; \boxed{x=1-y}

Κουράστηκα να πληκτρολογώ! :rotfl:

Απ' την πρώτη αντικαθιστούμε στην τέταρτη σχέση και βρίσκουμε: \boxed{(x,y)=(3,2),(2,3)}

Η δεύτερη είναι αδύνατη γιατί Δ<0.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4208
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2751

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Ιαν 07, 2018 5:19 pm

ΑΣΚΗΣΗ 1370 Να εξετάσετε αν υπάρχει φυσικός αριθμός n, ώστε ο αριθμός:

\displaystyle{\sqrt{2018^n +(-1)^{n+1}.2017+3}}, να είναι ρητός.


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2752

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Ιαν 07, 2018 9:49 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Κυρ Ιαν 07, 2018 5:19 pm
ΑΣΚΗΣΗ 1370 Να εξετάσετε αν υπάρχει φυσικός αριθμός n, ώστε ο αριθμός:

\displaystyle{\sqrt{2018^n +(-1)^{n+1}\cdot 2017+3}}, να είναι ρητός.
Έκανα ένα λάθος αντιγραφής θα τη διορθώσω


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1390
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2753

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Ιαν 14, 2018 2:21 pm

ΑΣΚΗΣΗ 1371

Πόσοι διαιρέτες του αριθμού 30^{2003} δεν είναι διαιρέτες του 20^{2000} ;


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1390
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2754

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Ιαν 14, 2018 2:24 pm

ΑΣΚΗΣΗ 1372

Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο \vartriangle ABC, του οποίου η βάση είναι a, οι δύο ίσες πλευρές b, και το ύψος \upsilon από την κορυφή A.

Αν \dfrac{a}{2}+\upsilon \geqslant b\sqrt{2}, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1390
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2755

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Ιαν 14, 2018 2:38 pm

ΑΣΚΗΣΗ 1373

Αν οι a,b,c \in \mathbb{R} ικανοποιούν την

\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=1,

να δείξετε ότι

\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=0.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10386
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2756

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 14, 2018 7:37 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Ιαν 14, 2018 2:24 pm
ΑΣΚΗΣΗ 1372

Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο \vartriangle ABC, του οποίου η βάση είναι a, οι δύο ίσες πλευρές b, και το ύψος \upsilon από την κορυφή A.

Αν \dfrac{a}{2}+\upsilon \geqslant b\sqrt{2}, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου.
1372.png
1372.png (8.01 KiB) Προβλήθηκε 573 φορές
Τετραγωνίζοντας τη δοθείσα , παίρνουμε : \dfrac{a^2}{4}+v^2+av\geq 2b^2\Leftrightarrow av\geq b^2 (*)

Ονομάζω h το ύψος προς την AC . Φυσικά είναι : av=bh (=2E) . Έτσι

η ( * ) γίνεται : h\geq b . Αλλά ( βλέπε τρίγωνο ABE ) είναι : h\leq b , τελικά h=b ,

με αποτέλεσμα η \hat{A} να είναι ορθή και οι άλλες 45-άρες


papamixalis
Δημοσιεύσεις: 190
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 13, 2015 3:38 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2757

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από papamixalis » Κυρ Ιαν 14, 2018 11:07 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Ιαν 14, 2018 2:38 pm
ΑΣΚΗΣΗ 1373

Αν οι a,b,c \in \mathbb{R} ικανοποιούν την

\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=1,

να δείξετε ότι

\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=0.
Ορέστη καλησπέρα
Στην πρώτη σχέση πολ/ζοντας με a προκύπτει
\dfrac{a^2}{b+c}=a-\dfrac{ab}{c+a}-\dfrac{ca}{a+b}   (1)
Έπειτα με b
\dfrac{b^2}{c+a}=b-\dfrac{ab}{b+c}-\dfrac{cb}{a+b}   (2)
και τέλος με c
\dfrac{c^2}{a+b}=c-\dfrac{ac}{b+c}-\dfrac{bc}{c+a}   (3)

Προσθέτοντας τις (1),(2),(3) προκύπτει το ζητούμενο. Για να μην γράψω όλες τις πράξεις παρατηρώ ότι
-\dfrac{ab}{c+a} - \dfrac{bc}{c+a}=-b
Ομοίως και για τα υπόλοιπα.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4208
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2758

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Ιαν 15, 2018 1:19 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Ιαν 14, 2018 2:21 pm
ΑΣΚΗΣΗ 1371

Πόσοι διαιρέτες του αριθμού 30^{2003} δεν είναι διαιρέτες του 20^{2000} ;
Γεια σου Ορέστη.

\displaystyle{30^{2003}=2^{2003}.3^{2002}.5^{2003}} και \displaystyle{20^{2000}=2^{4000}.5^{2000}}

Οι διαιρέτες του \displaystyle{30^{2003}} που δεν είναι διαιρέτες του \displaystyle{20^{2000}}, θα πρέπει να έχουν μία από τις πιο κάτω μορφές:

\displaystyle{3^{x}} , με \displaystyle{1\leq x\leq 2003}

\displaystyle{2^{x}.3^{y}}, με \displaystyle{1\leq x,y\leq 2003}

\displaystyle{3^{x}.5^{y}}, με \displaystyle{1\leq x,y\leq 2003}

\displaystyle{2^{x}.3^{y}.5^{z}} , με \displaystyle{1\leq x,y,z\leq 2003}

\displaystyle{2^{x}.5^{y}} , με \displaystyle{1\leq x\leq 2003 , 2001\leq y\leq 2003}

Συνεπώς το ζητούμενο πλήθος είναι \displaystyle{2003 +2003.2003 + 2003.2003 +2003.2003.2003 +2003.3 }

δηλαδή \displaystyle{2.2003^2 +2003^3 +2003.4}


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4208
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2759

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Ιαν 15, 2018 1:37 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Δευ Ιαν 15, 2018 1:19 pm
Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Ιαν 14, 2018 2:21 pm
ΑΣΚΗΣΗ 1371

Πόσοι διαιρέτες του αριθμού 30^{2003} δεν είναι διαιρέτες του 20^{2000} ;
Γεια σου Ορέστη.

\displaystyle{30^{2003}=2^{2003}.3^{2002}.5^{2003}} και \displaystyle{20^{2000}=2^{4000}.5^{2000}}

Οι διαιρέτες του \displaystyle{30^{2003}} που δεν είναι διαιρέτες του \displaystyle{20^{2000}}, θα πρέπει να έχουν μία από τις πιο κάτω μορφές:

\displaystyle{3^{x}} , με \displaystyle{1\leq x\leq 2003}

\displaystyle{2^{x}.3^{y}}, με \displaystyle{1\leq x,y\leq 2003}

\displaystyle{3^{x}.5^{y}}, με \displaystyle{1\leq x,y\leq 2003}

\displaystyle{2^{x}.3^{y}.5^{z}} , με \displaystyle{1\leq x,y,z\leq 2003}

\displaystyle{2^{x}.5^{y}} , με \displaystyle{0\leq x\leq 2003 , 2001\leq y\leq 2003}

Συνεπώς το ζητούμενο πλήθος είναι \displaystyle{2003 +2003.2003 + 2003.2003 +2003.2003.2003 +2004.3 }
ΣΗΜ: Διόρθωσα στην τελευταία ομάδα διαιρετών , αντί \displaystyle{1\leq x\leq2003}, θέλει \displaystyle{0\leq x\leq 2003}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4261
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2760

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Ιαν 15, 2018 1:48 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Ιαν 14, 2018 2:24 pm
ΑΣΚΗΣΗ 1372

Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο \vartriangle ABC, του οποίου η βάση είναι a, οι δύο ίσες πλευρές b, και το ύψος \upsilon από την κορυφή A.

Αν \dfrac{a}{2}+\upsilon \geqslant b\sqrt{2}, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου.
Ας δούμε και μια διαφορετική λύση με Τριγωνομετρία. Χρησιμοποιώ το σχήμα του Θανάση.
1372.png
1372.png (8.01 KiB) Προβλήθηκε 514 φορές

Έστω  \displaystyle \widehat {DAC} = \omega , με  \displaystyle 0 < \omega  < \frac{\pi }{2} .

 \displaystyle \frac{a}{2} + u \ge b\sqrt 2  \Leftrightarrow \frac{a}{{2b}} + \frac{u}{b} \ge \sqrt 2  \Leftrightarrow \eta \mu \omega  + \sigma \upsilon \nu \omega  \ge \sqrt 2

 \displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2}\eta \mu \omega  + \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sigma \upsilon \nu \omega  \ge 1 \Leftrightarrow \eta \mu \left( {\frac{\pi }{4} + \omega } \right) \ge 1 ,

που αληθεύει μόνο όταν  \displaystyle \omega  = \frac{\pi }{4} \Rightarrow \widehat {\rm A} = 90^\circ ,\;\;\widehat {\rm B} = \widehat C = 45^\circ .

edit: Χρησιμοποιώ Τριγωνομετρία Β΄ Λυκείου (νόμιμη...), αλλά αφού αφορά διαγωνισμούς, νομίζω, έχει αξία και αυτή η προσέγγιση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης