Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 521
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2721

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Τρί Ιαν 10, 2017 12:51 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1361 made in china :lol:

Στο ξεκίνημα 65 σκαθάρια είναι τοποθετημένα σε διαφορετικά τετράγωνα ενός 9χ9 τετραγωνικού πίνακα. Σε κάθε κίνηση το κάθε σκαθάρι μετακινείται οριζόντια η΄κάθετα σε παρακείμενο τετράγωνο. Εάν κανένα σκαθάρι δεν κάνει 2 οριζόντιες η΄κάθετες κινήσεις συνεχόμενα, δείχτε ότι μετά από κάποιες κινήσεις θα υπάρχουν τουλάχιστον 2 σκαθάρια στο ίδιο τετράγωνο!

Μετά από δύο κινήσεις τα κίτρινα εχουν γίνει πορτοκαλί και τα πορτοκαλί κίτρινα. Αρα εχουμε το πολυ 32 σκαθάρια σε κίτρινα και πορτοκαλί τετράγωνα.

Μετα απο μια κίνηση τα πράσινα εχουν γίνει πορτοκαλί και κίτρινα δηλαδή το πολυ 32 σκαθάρια.

Συνολικά το πολυ 64 σκαθάρια χωρις καμια σύγκρουση, άτοπο.

ΥΓ. Το σκεπτικό για το χρωματισμό ήταν να περικυκλώσω καθε χρωμα με διαφορετικό ωστε μετα απο δυο κινήσεις να αλλάζει οπωσδήποτε το χρωμα.
Συνημμένα
image.jpg
image.jpg (897.12 KiB) Προβλήθηκε 1573 φορές


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 337
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2722

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Τρί Ιαν 10, 2017 1:55 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Τσιαλας Νικολαος έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1361 made in china :lol:

Στο ξεκίνημα 65 σκαθάρια είναι τοποθετημένα σε διαφορετικά τετράγωνα ενός 9χ9 τετραγωνικού πίνακα. Σε κάθε κίνηση το κάθε σκαθάρι μετακινείται οριζόντια η΄κάθετα σε παρακείμενο τετράγωνο. Εάν κανένα σκαθάρι δεν κάνει 2 οριζόντιες η΄κάθετες κινήσεις συνεχόμενα, δείχτε ότι μετά από κάποιες κινήσεις θα υπάρχουν τουλάχιστον 2 σκαθάρια στο ίδιο τετράγωνο!

Μετά από δύο κινήσεις τα κίτρινα εχουν γίνει πορτοκαλί και τα πορτοκαλί κίτρινα. Αρα εχουμε το πολυ 32 σκαθάρια σε κίτρινα και πορτοκαλί τετράγωνα.

Μετα απο μια κίνηση τα πράσινα εχουν γίνει πορτοκαλί και κίτρινα δηλαδή το πολυ 32 σκαθάρια.

Συνολικά το πολυ 64 σκαθάρια χωρις καμια σύγκρουση, άτοπο.

ΥΓ. Το σκεπτικό για το χρωματισμό ήταν να περικυκλώσω καθε χρωμα με διαφορετικό ωστε μετα απο δυο κινήσεις να αλλάζει οπωσδήποτε το χρωμα.
Πολύ καλός!!! :10sta10:


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4220
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2723

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Ιαν 16, 2017 2:59 pm

ΑΣΚΗΣΗ 1362: Αν για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει:

\displaystyle{2x^5 +97x^3 +81x +55 = 23x^4 +171x^2}, να αποδείξετε ότι \displaystyle{x < 3}


ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 521
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2724

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Τρί Μαρ 14, 2017 9:16 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1362: Αν για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει:

\displaystyle{2x^5 +97x^3 +81x +55 = 23x^4 +171x^2}, να αποδείξετε ότι \displaystyle{x < 3}
Επαναφορά !


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4220
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2725

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Μαρ 17, 2017 10:09 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1362: Αν για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει:

\displaystyle{2x^5 +97x^3 +81x +55 = 23x^4 +171x^2}, να αποδείξετε ότι \displaystyle{x < 3}
Επαναφορά !
Η άσκηση αυτή έχει μείνει άλυτη για πολύ καιρό.

Δίνω την ιδέα της κατασκευής της: Αν μπορέσουμε την δοσμένη εξίσωση να την γράψουμε στην μορφή :

\displaystyle{(x-3)^3 (ax^2 +bx +c) +m =0}, και αν είναι \displaystyle{m > 0} και \displaystyle{ax^2 +bx +c >0} για κάθε \displaystyle{x\geq 3}, τότε αποκλείεται

να είναι \displaystyle{x\geq 3} και το ζητούμενο έπεται.

Τώρα είναι εύκολο να λυθεί.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4220
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2726

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Μαρ 29, 2017 10:46 pm

ΑΣΚΗΣΗ 1363: Να λυθεί στο N η εξίσωση:

\displaystyle{x+\frac{y+z}{1+yz} =\frac{61}{2}}


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 337
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2727

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Τετ Μαρ 29, 2017 11:07 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1363: Να λυθεί στο N η εξίσωση:

\displaystyle{x+\frac{y+z}{1+yz} =\frac{61}{2}}


Μ'αρέσει πολύ!!! Πολύ ωραία άσκηση για τα παιδιά!!! Ακούνε Ορέστης, Νικόλας, jimnt, Χάρης και Διονύσης?


JimNt.
Δημοσιεύσεις: 540
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2728

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τετ Μαρ 29, 2017 11:11 pm

Είναι ιδιαίτερα απλή βάζω μια υπόδειξη:
Παραγοντοποιήστε και έπειτα αποδεικνύοντας ότι για y,z>1 y+z\le yz πάρτε κατάλληλα περιπτώσεις....
τελευταία επεξεργασία από JimNt. σε Τετ Μαρ 29, 2017 11:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2729

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Μαρ 29, 2017 11:12 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1363: Να λυθεί στο N η εξίσωση:

\displaystyle{x+\frac{y+z}{1+yz} =\frac{61}{2}}
Καλησπέρα κύριε Δημήτρη!

Είναι (y-1)(z-1) \geqslant 0 \Leftrightarrow yz+1 \geqslant y+z \Leftrightarrow \dfrac{y+z}{yz+1} \leqslant 1,

άρα x > \dfrac{59}{2}.

Όμως, x < \dfrac{61}{2}, άρα \dfrac{59}{2}<x<\dfrac{61}{2}, οπότε x=30.

Εύκολα \dfrac{y+z}{yz+1}=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow y=2+\dfrac{3}{z-2}.

Αφού y,z \in \mathbb{N}, z-2 \mid 3, οπότε z=3, z=5 .

Τελικά, \boxed{(x,y,z)=(30,5,3), (30,3,5)}.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 337
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2730

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Τετ Μαρ 29, 2017 11:14 pm

Μπράβο και στους 2 σας!!! :clap2: :clap2: :first:


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4220
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2731

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Μαρ 29, 2017 11:23 pm

Ένα μεγάλο ΜΠΡΑΒΟ και από εμένα από τους ταλαντούχους μικρούς μαθητές!!!

Και το ωραίο είναι ότι την θεώρησαν και εύκολη!!!

:10sta10: :10sta10: :10sta10:


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4220
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2732

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Μαρ 30, 2017 11:25 pm

ΑΣΚΗΣΗ 1364: Να αποδείξετε ότι:

\displaystyle{\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+ ... +\sqrt{1+\frac{1}{2016^2}+\frac{1}{2017^2}} < 2017}
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ σε Πέμ Μαρ 30, 2017 11:40 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


JimNt.
Δημοσιεύσεις: 540
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2733

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Πέμ Μαρ 30, 2017 11:33 pm

Η εκφώνηση νομίζω είναι λάθος. Κάθε ρίζα είναι μεγαλύτερη της μονάδας...


It's the questions we can't answer that teach us the most. They teach us how to think. If you give a man an answer, all he gains is a little fact. But give him a question and he'll look for his own answers.
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4220
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2734

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Μαρ 30, 2017 11:42 pm

JimNt. έγραψε:Η εκφώνηση νομίζω είναι λάθος. Κάθε ρίζα είναι μεγαλύτερη της μονάδας...
ΜΠΡΑΒΟ για την παρατήρηση. Διόρθωσα το τυπογραφικό λάθος.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2735

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Μαρ 30, 2017 11:49 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1364: Να αποδείξετε ότι:

\displaystyle{\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+ ... +\sqrt{1+\frac{1}{2016^2}+\frac{1}{2017^2}} < 2017}
Καλησπέρα!

Ο κάθε όρος είναι της μορφής \displasytyle\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}}= \ldots = \dfrac{n^2+n+1}{n(n+1)}=1+\dfrac{1}{(n(n+1)}=1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}.

Με εφαρμογή για n=1, 2, \ldots , 2016 και πρόσθεση παίρνουμε LHS=2016+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2017}<2017 ο.ε.δ.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2736

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Παρ Μαρ 31, 2017 8:50 pm

Άσκηση 1365: Αν x \neq 1, y \neq 1, x \neq y και \dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y} να δείξετε ότι \dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y}=x+y+z
τελευταία επεξεργασία από Κατερινόπουλος Νικόλας σε Πέμ Απρ 13, 2017 4:01 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2737

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Απρ 01, 2017 12:12 am

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1365 Αν x \neq 1, y \neq 1, x \neq y και \dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y} να δείξετε ότι \dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y}=x+y+z
Από την σχέση \dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y} παίρνουμε xy+yz+zx=x+y+z, οπότε

\displaystyle \dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{xy+yz+zx-x(x+y+z)}{1-x}=

\displaystyle \dfrac{x+y+z-x(x+y+z)}{1-x}=\dfrac{(1-x)(x+y+z)}{1-x}=x+y+z ο.ε.δ.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 337
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2738

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Απρ 01, 2017 1:47 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1365 Αν x \neq 1, y \neq 1, x \neq y και \dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y} να δείξετε ότι \dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y}=x+y+z
Από την σχέση \dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y} παίρνουμε xy+yz+zx=x+y+z, οπότε

\displaystyle \dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{xy+yz+zx-x(x+y+z)}{1-x}=

\displaystyle \dfrac{x+y+z-x(x+y+z)}{1-x}=\dfrac{(1-x)(x+y+z)}{1-x}=x+y+z ο.ε.δ.
Πολύ ωραίος Ορέστη!! Ύπάρχει και πιο σύντομη λύση και μάλιστα πολύ ωραία νομίζω!! Για να την κοιτάξουμε λίγο ακόμη!! :D


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2739

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Απρ 01, 2017 10:55 am

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1365 Αν x \neq 1, y \neq 1, x \neq y και \dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y} να δείξετε ότι \dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y}=x+y+z
Από την σχέση \dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y} παίρνουμε xy+yz+zx=x+y+z, οπότε

\displaystyle \dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{xy+yz+zx-x(x+y+z)}{1-x}=

\displaystyle \dfrac{x+y+z-x(x+y+z)}{1-x}=\dfrac{(1-x)(x+y+z)}{1-x}=x+y+z ο.ε.δ.
Πολύ ωραίος Ορέστη!! Ύπάρχει και πιο σύντομη λύση και μάλιστα πολύ ωραία νομίζω!! Για να την κοιτάξουμε λίγο ακόμη!! :D
Καλημέρα κύριε Νίκο.

\displaystyle \dfrac{yz-x^{2}}{1-x}=\dfrac{zx-y^{2}}{1-y}=\dfrac{(yz-x^2)-(zx-y^2)}{(1-x)-(1-y)}=\dfrac{(yz-zx)+(y^2-x^2)}{y-x}=

\displaystyle \dfrac{(x+y+z)(y-x)}{y-x}=x+y+z


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 337
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2740

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Απρ 01, 2017 12:06 pm

Ενα μεγάλο μπράβο Ορέστη!! Νομίζω είναι αρκετά πιο κομψή!! :10sta10:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης