Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4208
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#161

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Ιουν 11, 2011 7:22 pm

Ας δώσω και εγώ μια υπόδειξη (άλλο τρόπο) για την άσκηση 70

Έχουμε ισοδύναμα:

27\left(\frac{3x+4}{3} \right)\left(\frac{3x+2}{3} \right)\left(\frac{3x-1}{3} \right)(1-x)=4(3x^{2}+x)\Leftrightarrow  
 
(3x+4)(1-x)(3x+2)(3x-1)=4(3x^{2}+x)\Leftrightarrow  
 
-[(3x^{2}+x)-4][3(3x^{2}+x)-2]=4(3x^{2}+x)

Τώρα θα ακολουθήσουμε μια συνήθη πρακτική σε τέτοιες ασκήσεις:

Θέτουμε 3x^{2}+x=y και η συνέχεια είναι απλή.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4208
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#162

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Ιουν 12, 2011 3:11 pm

Από τα επόμενα δύο θέματα, το ένα έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Α Λυκείου (άνετο θέμα και για Γυμνάσιο) και το άλλο στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ (μικρών):


ΑΣΚΗΣΗ 69 (Είχε παραλειφθεί το νούμερο 69 στις προηγούμενες ασκήσεις):
Έστω ότι για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c ισχύει ότι:

\displaystyle{ ab(\frac{a+b}{2}-c)+bc(\frac{b+c}{2}-a)+ca(\frac{c+a}{2}-b)=0}

Να αποδειχθεί ότι a=b=c



ΑΣΚΗΣΗ 78: Στην προηγούμενη μαθηματική Ολυμπιάδα, για ένα από τα προβλήματα που τέθηκαν, στο οποίο η μέγιστη βαθμολογία ήταν 5, είχαμε τα παρακάτω αποτελέσματα:
Ο μέσος όρος των βαθμών των αγοριών ήταν 4 , ομέσος όρος των βαθμών των κοριτσών ήταν 3,25 και ο μέσος όρος των βαθμών του συνόλου των μαθητών ήταν 3,6.
Να βρείτε πόσα σγόρια και πόσα κορίτσια πήραν μέρος, αν ο αριθμός του συνόλου των μαθητώνήταν μεταξύ 30 και 50


spiros filippas
Δημοσιεύσεις: 254
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 16, 2010 4:46 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#163

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από spiros filippas » Κυρ Ιουν 12, 2011 4:01 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 69
Έστω ότι για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c ισχύει ότι:
\displaystyle{ ab(\frac{a+b}{2}-c)+bc(\frac{b+c}{2}-a)+ca(\frac{c+a}{2}-b)=0}
Να αποδειχθεί ότι a=b=c
Έχουμε: ...\Leftrightarrow \sum{\frac{ab(a+b)}{2}}=3abc\Leftrightarrow \sum{\frac{a^2b+ab^2}{2}}=3abc

Ομως από ΑM-GM παίρνουμε:
a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\geq 6\sqrt[6]{(abc)^6}=6abc\Leftrightarrow

\frac{a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2}{2}\geq 3abc

Επειδή όμως στην τελευταία θέλουμε ισότητα αναγκαστικά είναι: a=b=c


spiros filippas
Δημοσιεύσεις: 254
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 16, 2010 4:46 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#164

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από spiros filippas » Κυρ Ιουν 12, 2011 4:08 pm

Εχω ξανασυναντήσει την άσκηση 78 με την ίδια ακριβώς διατύπωση καί εχω την αίσθηση οτί είναι λίγο ασαφής καθώς δεν αναφέρει
αν συμπεριλαμβάνονται το 30 καί το 50.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10951
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#165

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιουν 12, 2011 4:19 pm

spiros filippas έγραψε:Εχω ξανασυναντήσει την άσκηση 78 με την ίδια ακριβώς διατύπωση καί εχω την αίσθηση οτί είναι λίγο ασαφής καθώς δεν αναφέρει
αν συμπεριλαμβάνονται το 30 καί το 50.
Την λέξη "μεταξύ" την αντιλαμβάνομαι ως "γνήσια μεταξύ" (*). Αν είναι έτσι, βρίσκω λύση την
21 αγόρια, 24 κορίτσια.
Αν πάλι το "μεταξύ" περιλαμβάνει και τα άκρα, τότε πράγματι έχουμε και δεύτερη λύση την 14 αγόρια, 16 κορίτσια.
Διαλέγετε και παίρνετε!

Φιλικά,

Μιχάλης

(*) Π.χ. η φράση "μεταξύ σφύρας και άκμονος" εννοεί "το μεσοδιάστημα". Δεν συμπεριλαμβάνει ούτε την σφύρα, ούτε τον άκμονα.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4208
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#166

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Ιουν 12, 2011 4:21 pm

spiros filippas έγραψε:Εχω ξανασυναντήσει την άσκηση 78 με την ίδια ακριβώς διατύπωση καί εχω την αίσθηση οτί είναι λίγο ασαφής καθώς δεν αναφέρει
αν συμπεριλαμβάνονται το 30 καί το 50.
Αν δεν έκανα κάπου λάθος, νομίζω ότι δεν χρειάζεται να μας πει αν συμπεριλαμβάνονται το 30 και το 50

(Ο συνολικός αριθμός μαθητών μου βγαίνει 45, όπου τα αγόρια είναι 21 και τα κορίτσια 24)


spiros filippas
Δημοσιεύσεις: 254
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 16, 2010 4:46 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#167

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από spiros filippas » Κυρ Ιουν 12, 2011 4:23 pm

Μα και εγω στην αρχή νόμιζα οτι δεν χρειάζεται διευκρίνιση αλλά η μία λύση σε πάει ακριβώς 30.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4208
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#168

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Ιουν 12, 2011 4:24 pm

Μόλις είδα την δημοσίευση του Μιχάλη. Το πήρα φαίνεται στα γρήγορα και δεν είδα αυτή την εκδοχή.
Μας κάλυψε ο Μιχάλης. Το θέμα θεωρείται λυμένο.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4208
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#169

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Ιουν 12, 2011 5:08 pm

Από τις επόμενες δύο ασκήσεις η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Β Γυμνασίου και η άλλη για την Α Λυκείου

ΑΣΚΗΣΗ 79: Δίνονται οι αριθμοί A=2^{41},B=8^{13},C=4^{21},D=32^{8}

(α) Να βρείτε ποιος είναι ο μεγαλύτερος

(β) Να εκφράσετε το άθροισμα A+B+C+Dως γινόμενο πρώτων παραγόντων

ΑΣΚΗΣΗ 80: Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί n για τους οποίους ο αριθμός 2n+1 διαιρεί τον αριθμό n^{2}+n-2


qwerty
Δημοσιεύσεις: 169
Εγγραφή: Δευ Αύγ 17, 2009 11:05 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#170

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από qwerty » Κυρ Ιουν 12, 2011 5:23 pm

'Ασκηση 81 Θαλής 1996
Να δείξετε οτι δεν υπάρχει φυσικός αριθμός n με την ιδιότητα:

3n^5+3n^3=30.000.001


Άβαταρ μέλους
nkatsipis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 754
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
Τοποθεσία: Σαντορίνη
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#171

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nkatsipis » Κυρ Ιουν 12, 2011 5:40 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 80: Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί n για τους οποίους ο αριθμός 2n+1 διαιρεί τον αριθμό n^{2}+n-2
Επειδή 2n+1 περιττός έχουμε

\dfrac{n^2+n-2}{2n+1}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\dfrac{4(n^2+n-2)}{2n+1}\in\mathbb{Z} 
 
\Leftrightarrow\dfrac{4n^2+4n-8}{2n+1}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\dfrac{(2n+1)^2-9}{2n+1}\in\mathbb{Z} 
 
\Leftrightarrow2n+1-\dfrac{9}{2n+1}\in\mathbb{Z} 
 
\Leftrightarrow2n+1|9\Leftrightarrow n=-5,-2,-1,0,1,4.


Φιλικά,

Νίκος Κατσίπης
τελευταία επεξεργασία από nkatsipis σε Δευ Ιουν 13, 2011 10:01 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5789
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#172

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Ιουν 12, 2011 7:10 pm

Άσκηση 82
Τοποθετούμε τους αριθμούς 1,2,...,49 στα κελιά μιας 7\times 7 σκακιέρας, έναν σε κάθε κελί.
Υπολογίζουμε το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής και κάθε στήλης.
Κάποια από αυτά τα 14 αθροίσματα είναι άρτιοι αριθμοί και κάποια περιττοί.
Έστω A το άθροισμα των περιττών αθροισμάτων και B το άθροισμα των άρτιων.
Είναι δυνατόν να τοποθετηθούν οι αριθμοί στην σκακιέρα με τέτοιο τρόπο ώστε να ισχύει A=B;


Άσκηση 83
Αν a,b,c θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε (a+1)^b=(a+25)^c, να δείξετε ότι ο αριθμός b+c είναι πολλαπλάσιο του 4.


Άσκηση 84
Θεωρούμε την διαδικασία: ξεκινώντας από μια τριάδα (a,b,c)\ne (0,0,0) παίρνουμε (την αντικαθιστούμε) την τριάδα (a+b,b+c,c+a).
Δείξτε ότι αν με, επανειλημμένη, εφαρμογή της διαδικασίας προκύψει η αρχική τριάδα, τότε αυτό θα συμβεί μετά από ακριβώς έξι βήματα (εφαρμογές της διαδικασίας.)


Θανάσης Κοντογεώργης
Παναγιώτης 1729
Δημοσιεύσεις: 300
Εγγραφή: Τρί Αύγ 24, 2010 12:05 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#173

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παναγιώτης 1729 » Δευ Ιουν 13, 2011 12:06 am

socrates έγραψε:Άσκηση 84:
Θεωρούμε την διαδικασία: ξεκινώντας από μια τριάδα (a,b,c)\ne (0,0,0) παίρνουμε (την αντικαθιστούμε) την τριάδα (a+b,b+c,c+a).
Δείξτε ότι αν με, επανειλημμένη, εφαρμογή της διαδικασίας προκύψει η αρχική τριάδα, τότε αυτό θα συμβεί μετά από ακριβώς έξι βήματα (εφαρμογές της διαδικασίας.)
Μετά την ν-οστή εφαρμογή της διαδικασίας επαγωγικά έχουμε ότι αν εμφανίζεται η 3-άδα (x,y,z) τότε x+y+z=2^n(a+b+c), οπότε πρέπει για κάποιο n\geq{0}, a+b+c=2^n(a+b+c), άρα a+b+c=0.
Με βάση αυτό αν παρατηρήσουμε την διαδικασία (θέτοντας c=-(a+b)) αφού οι a,b,cδεν είναι όλοι 0, έχουμε ότι η τριάδα (a,b,c) θα ξαναεμφανιστεί μετά από 6 βήματα.


Λώλας Παναγιώτης
Παναγιώτης 1729
Δημοσιεύσεις: 300
Εγγραφή: Τρί Αύγ 24, 2010 12:05 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#174

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παναγιώτης 1729 » Δευ Ιουν 13, 2011 12:10 am

ΑΣΚΗΣΗ 85:
Οι φυσικοί αριθμοί από το 1 ως το 10 τοποθετούνται με τυχαία σειρά στην περιφέρεια ενός κύκλου. Ν.δ.ο. υπάρχουν σε διπλανές θέσεις τρεις αριθμοί με άθροισμα τουλάχιστον 18.


Λώλας Παναγιώτης
Άβαταρ μέλους
greek_sorcerer
Δημοσιεύσεις: 62
Εγγραφή: Δευ Αύγ 02, 2010 4:18 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#175

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από greek_sorcerer » Δευ Ιουν 13, 2011 1:05 am

qwerty έγραψε:Ασκηση 81 Θαλής 1996
δείχτε οτι δεν υπάρχει φυσικός αριθμός n με την ιδιότητα:
3n^5+3n^3=30.000.001
Έχουμε και λέμε:
3n^5+3n^3=
3(n^5+n^3)=πολλαπλάσιο του 3
από την άλλη πλευρά όμως το 30.000.001 δεν διαιρείται με το 3 (αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι 4),
οπότε δεν υπάρχει φυσικός αριθμός n με την παραπάνω ιδιότητα.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4208
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#176

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Ιουν 13, 2011 12:13 pm

konstantinos21 έγραψε:Για την άσκηση 82: το άθροισμα των αριθμών 1,2,3,...49 είναι 1225 δηλαδή περιττός αριθμός .ξέρουμε ότι Α+Β=1225 Όμως το άθροισμα των άρτιων αριθμών είναι άρτιος αριθμός οπότε ο αριθμός Β είναι άρτιος.Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός Α είναι περιττός (αφού 2x+A=1225) άρα δεν μπορεί να ισχύει ότι Α=Β

Konstantinos-21 ξανακοίταξε την εκφώνηση. Λέει Α το άθροισμα όλων των γραμμών αλλά και των στηλών που δίνουν άθροισμα περιττό αριθμό. Παρόμοια και για το Β. Αν ήταν μόνο των γραμμών, η λύση θα ήταν σωστή.


Άβαταρ μέλους
konstantinos21
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Σάβ Νοέμ 20, 2010 9:43 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#177

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από konstantinos21 » Δευ Ιουν 13, 2011 12:56 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
konstantinos21 έγραψε:Για την άσκηση 82: το άθροισμα των αριθμών 1,2,3,...49 είναι 1225 δηλαδή περιττός αριθμός .ξέρουμε ότι Α+Β=1225 Όμως το άθροισμα των άρτιων αριθμών είναι άρτιος αριθμός οπότε ο αριθμός Β είναι άρτιος.Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός Α είναι περιττός (αφού 2x+A=1225) άρα δεν μπορεί να ισχύει ότι Α=Β

Konstantinos-21 ξανακοίταξε την εκφώνηση. Λέει Α το άθροισμα όλων των γραμμών αλλά και των στηλών που δίνουν άθροισμα περιττό αριθμό. Παρόμοια και για το Β. Αν ήταν μόνο των γραμμών, η λύση θα ήταν σωστή.
ναι ,έχετε δίκιο κύριε Δημήτρη το κατάλαβα ότι ήταν λανθασμένη η απάντηση αλλά δεν ήξερα πως να την διαγράψω


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4208
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#178

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Ιουν 13, 2011 1:11 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 69 :
Έστω ότι για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c ισχύει ότι:
\displaystyle{ ab(\frac{a+b}{2}-c)+bc(\frac{b+c}{2}-a)+ca(\frac{c+a}{2}-b)=0}
Να αποδειχθεί ότι a=b=c
Η ΑΣΚΗΣΗ 69 έχει λυθεί πιο πάνω από τον spiros filippas. Ας δώσω όμως και μια λύση πιο κατανοητή για μικρούς μαθητές

Έχουμε:

ab\frac{a+b-2c}{2}+bc\frac{b+c-2a}{2}+ca\frac{c+a-2b}{2}=0\Leftrightarrow  
 
a^{2}b+ab^{2}-2abc+b^{2}c+bc^{2}-2abc+c^{2}a+ca^{2}-2abc=0\Leftrightarrow  
 
a(b^{2}-2bc+c^{2})+b(a^{2}-2ac+c^{2})+c(b^{2}-2ab+a^{2)}=0\Leftrightarrow  
 
a(b-c)^{2}+b(a-c)^{2}+c(b-a)^{2}=0

Όμως οι αριθμοί a,b,c είναι θετικοί. Οπότε για να είναι αληθής η πιο πάνω σχέση, θα πρέπει να ισχύει:

b-c=0 και a-c=0 και b-a=0 δηλαδή a=b=c


Για τις ασκήσεις 77 και 82, μάλλον θα πρέπει να δοθεί κάποια υπόδειξη


Grigoris K.
Δημοσιεύσεις: 927
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 27, 2011 8:12 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#179

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Grigoris K. » Δευ Ιουν 13, 2011 1:34 pm

socrates έγραψε:Άσκηση 82
Τοποθετούμε τους αριθμούς 1,2,...,49 στα κελιά μιας 7\times 7 σκακιέρας, έναν σε κάθε κελί.
Υπολογίζουμε το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής και κάθε στήλης.
Κάποια από αυτά τα 14 αθροίσματα είναι άρτιοι αριθμοί και κάποια περιττοί.
Έστω A το άθροισμα των περιττών αθροισμάτων και B το άθροισμα των άρτιων.
Είναι δυνατόν να τοποθετηθούν οι αριθμοί στην σκακιέρα με τέτοιο τρόπο ώστε να ισχύει A=B
(Εξέλαβα ότι το A ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των περιττών αθροισμάτων και όχι με το πλήθος των περιττών αθροισμάτων. Πάντως και έτσι να το πάρεις πρέπει να βγαίνει πάλι αδύνατο να ισχύει A = B)

Μία προσπάθεια με κάθε επιφύλαξη:

Στην σκακιέρα 7 \times 7 το άθροισμα των ψηφίων των γραμμών προκύπτει από τον τύπο: S= \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} για n = 49 άρα S = 1225. Επιπλέον το άθροισμα των ψηφίων των στηλών είναι πάλι S' = 1225.

Δηλαδή θα πρέπει να ισχύει A +   B = 2450 \Leftrightarrow 2B = 2450 \Leftrightarrow B = 1225, το οποίο είναι άτοπο αφού το B αποτελεί άθροισμα άρτιων.

Καταλήγοντας είναι αδύνατο να ισχύει A = B.


Grigoris K.
Δημοσιεύσεις: 927
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 27, 2011 8:12 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#180

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Grigoris K. » Δευ Ιουν 13, 2011 2:35 pm

ΑΣΚΗΣΗ 86:

Βρείτε όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών (x,y) τα οποία ικανοποιούν την εξής σχέση:

\displaystyle \frac{x-2}{y} + \frac{5}{xy} = \frac{4-y}{x} - \frac{|y-2x|}{xy}

ΑΣΚΗΣΗ 87:

Σε μια σκακιέρα 6 \times 6 έχουν τοποθετηθεί φυσικοί αριθμοί. Κάθε κίνηση συνίσταται στην επιλογή ενός τετραγώνου μεγαλύτερου από 1 \times 1 ( το οποίο αποτελείται από "κουτάκια" της σκακιέρας ) και στην αύξηση όλων των φυσικών αριθμών που βρίσκονται στο επιλεγμένο τετράγωνο κατά 1. Είναι πάντα ευφικτό να κάνουμε κάποιες κινήσεις ώστε να οδηγηθούμε σε μια κατάσταση όπου όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι διαρετοί από το 3;

(η 87 είναι λίγο "τσιμπημένη")


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης