Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2681

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 07, 2023 7:09 am
ΑΣΚΗΣΗ 1282 Να υπολογιστεί το άθροισμα:

$\displaystyle{S=1+2^2 .a +3^2 .a^2 +4^2 .a^3 +5^2 .a^4 + . . . +n^2 .a^{n-1}}$

με $\displaystyle{a\in R}$

Χωρίς τις επίπονες πράξεις ρουτίνας:

Για a=1

είναι γνωστό άθροισμα. Εργαζόμαστε λοιπόν για $a\ne 1$ .

$S=1+2^2 a +3^2 a^2 +4^2 a^3 +5^2 a^4 + . . . +n^2 a^{n-1}$ , άρα

$aS = a+2^2 a^2 +3^2 a^3 +4^2 a^4 +5^2 a^5 + . . . +n^2 a^{n}$ . Αφαιρούμε

$S(1-a) = 1+3a+5a^2 +...+(2n-1) a^{n-1} +n^2a^n\, (*)$

Οπότε αρκεί να βρούμε το

$T = 1+3a+5a+^2 +...+(2n-1) a^{n-1}$ . Εδώ

$aT = a+3a^2 +5a^3+...+(2n-1) a^{n}$ . Αφαιρούμε

$T(1-a) = 1+2a+2a^2+... + 2a^{n-1} + (2n-1) a^n= \dfrac {2(1-a^n)}{1-a} -1 - (2n-1) a^{n}$ .

Τέλος, αντικαθιστούμε την τιμή αυτή του

στην παράσταση του

στην

.

(Υπόψη, υπάρχει και άλλος τρόπος επίλυσης, με παραγώγιση, που δεν είναι στην ύλη των Juniors).

#2682

ΑΣΚΗΣΗ 1283 Αν οι αριθμοί $\displaystyle{a , b , c}$ είναι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί ( $\displaystyle{N=\{0,1,2,3, ...\}}$ ) και ο

$\displaystyle{n}$ είναι επίσης φυσικός αριθμός, να βρεθούν όλες οι δυνατές λύσεις της εξίσωσης

$\displaystyle{a^n + b^n + c^n =2049}$

#2683

ΑΣΚΗΣΗ 1284: Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{xy - z^2 = 1}$

$\displaystyle{yz - x^2 = 1}$

$\displaystyle{zx - y^2 = - 3}$

με $\displaystyle{x , y , z \in R}$

#2684

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 30, 2023 6:27 pm
ΑΣΚΗΣΗ 1284: Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{xy - z^2 = 1}$

$\displaystyle{yz - x^2 = 1}$

$\displaystyle{zx - y^2 = - 3}$

με $\displaystyle{x , y , z \in R}$

Οι δύο πρώτες δίνουν αντίστοιχα $xyz-z^3=z, \, xyz-x^3=x$ . Άρα xyz=x^3+x=z^3+z

. Επειδή η συνάρτηση t^3+t

είναι γνήσια αύξουσα (άμεσο) έπεται ότι x=z

(το ίδιο συμπέρασμα βγαίνει και αλλιώς, θεωρώντας την x^3+x-z^3-z=0

και παραγοποιώντας).

Τώρα οι εξισώσεις γίνονται, η μεν πρώτη $xy-x^2=1 \, (*)$ , ισοδύναμα x(y-x)=1

, και η τρίτη x^2-y^2=-3

, ισοδύναμα $(x+y)(x-y)=-3 \, (**)$ . Διαιρώντας κατά μέλη τις (*), (**)

έχουμε μετά την απλοποίηση του (μη μηδενικού) όρου x-y

, ότι

$\dfrac {x}{-(x+y)}= \dfrac {-1}{3}$ , οπότε 3x=x+y

, δηλαδή

. H

τώρα γίνεται x^2=1

, άρα $x=\pm 1$ . Εύκολα τώρα βρίσκουμε ότι (x,y,z)=(1,2,1)

ή

, που με έλεγχο επαληθεύουν τις αρχικές.

#2685

ΑΣΚΗΣΗ 1285: (Στο ίδιο "μήκος κύματος" με τα δύο θέματα που τέθηκαν στον διαγωνισμό "ΘΑΛΗΣ" στην Α και την Γ Λυκείου)

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν φυσικοί (μη αρνητικοί ακέραιοι) αριθμοί $\displaystyle{m ,n}$ , ώστε ο αριθμός:

$\displaystyle{A=2024 . 10^n +m.44^m ,}$ να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

#2686

ΑΣΚΗΣΗ 1286 Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x,y,z}$ είναι ακέραιοι και αν :

$\displaystyle{3x+5y=107}$ και $\displaystyle{4x+7z=180}$

να βρεθούν όλα τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης του $\displaystyle{x}$ με το $\displaystyle{70}$

#2687

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Ιαν 01, 2024 9:20 pm
ΑΣΚΗΣΗ 1285: (Στο ίδιο "μήκος κύματος" με τα δύο θέματα που τέθηκαν στον διαγωνισμό "ΘΑΛΗΣ" στην Α και την Γ Λυκείου)

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν φυσικοί (μη αρνητικοί ακέραιοι) αριθμοί $\displaystyle{m ,n}$ , ώστε ο αριθμός:

$\displaystyle{A=2024 . 10^n +m.44^m ,}$ να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Γράφω την λύση:

Για κάθε $\displaystyle{m\geq 2}$ , έχουμε:

$\displaystyle{A=2^3 \cdot 11 \cdot 23 \cdot 10^n +m \cdot 44^2 \cdot 44^{m-2} = 2^3 \cdot 11\cdot 23\cdot 10^n + 2^4 \cdot 11^2 \cdot m \cdot 44^{m-2} =}$

$\displaystyle{2^3 \cdot 11 \cdot (23 \cdot 10^n +2\cdot 11 \cdot m \cdot 44^{m-2}}$

Άρα για να είναι ο $\displaystyle{A}$ τέλειο τετράγωνο, πρέπει: $\displaystyle{23 \cdot 10^n +2\cdot 11 \cdot m \cdot 44^{m-2} = 2 \cdot 11 \cdot k^2 }$ , $\displaystyle{k\in N}$

Δηλαδή πρέπει ο $\displaystyle{23 \cdot 10^n}$ να είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{11}$ , άτοπο, αφού ούτε ο $\displaystyle{23}$ , ούτε ο $\displaystyle{10^n}$ είναι πολλαπλάσια του $\displaystyle{11}$

Μένει να δούμε τι γίνεται όταν $\displaystyle{m=0}$ , ή $\displaystyle{m=1}$

Αν $\displaystyle{m=0}$ , τότε $\displaystyle{A=2024 \cdot 10^n = 2^3 \cdot 11 \cdot 23 \cdot 10^n}$ , που δεν είναι τέλειο τετράγωνο, αφού ο $\displaystyle{10^n}$ ,

δεν είναι πολλαπλάσιο π.χ του $\displaystyle{11}$

Τέλος, αν $\displaystyle{m=1}$ , έχουμε: $\displaystyle{A=2024 \cdot 10^n + 44 =2^2 \cdot 11 (46 \cdot 10^n +1)}$

Για να είναι λοιπόν ο $\displaystyle{A}$ τέλειο τετράγωνο, θα πρέπει $\displaystyle{46 \cdot 10^n +1 = 11 \cdot x^2}$ , όπου $\displaystyle{x\in N}$

Αλλά $\displaystyle{ 10 = -1 mod11 }$ , άρα $\displaystyle{10^n = (-1)^n mod11 = \pm 1mod11}$ , ενώ $\displaystyle{46=2mod11}$

Άρα: $\displaystyle{46 \cdot 10^n =\pm2 mod11 \Rightarrow 46 \cdot 10^n +1 =-1 , 3 mod11}$ ,

ενώ $\displaystyle{11x^2 =0mod11}$ .

Άρα καταλήξαμε σε άτοπο. Συνεπώς σε καμία περίπτωση, δεν μπορεί ο $\displaystyle{A}$ να είναι τέλειο τετράγωνο.

#2688

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 11, 2024 3:29 pm
ΑΣΚΗΣΗ 1286 Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x,y,z}$ είναι ακέραιοι και αν :

$\displaystyle{3x+5y=107}$ και $\displaystyle{4x+7z=180}$

να βρεθούν όλα τα δυνατά υπόλοιπα της διαίρεσης του $\displaystyle{x}$ με το $\displaystyle{70}$

Γράφω την λύση , για μην μείνει αναπάντητη.

Από την υπόθεση, παίρνουμε:

$\displaystyle{21x+35y=7\cdot 107}$ και $\displaystyle{20x+35z=5\cdot 180}$

Αφαιρώντας κατά μέλη, βρίσκουμε: $\displaystyle{x=35(z-y)-151\Rightarrow x=35(z-y)-140-11\Rightarrow x=35(z-y-4)-11\Rightarrow}$

$\displaystyle{x=35m-11}$ , όπου $\displaystyle{m\in Z}$ .

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{m=2n}$ . Τότε: $\displaystyle{x-70n-11\Rightarrow x=70n-70+59\Rightarrow x=70(n-1)+59}$

Άρα (από ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ), το ζητούμενο υπόλοιπο είναι το $\displaystyle{59}$

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{m=2n+1}$ . Τότε $\displaystyle{x=70n+35-11\Rightarrow x=70n+24}$

Άρα το ζητούμενο υπόλοιπο είναι το $\displaystyle{24}$

Τελικά, όλα τα δυνατά υπόλοιπα είναι $\displaystyle{59 , 24}$

#2689

ΑΣΚΗΣΗ 1287 Σε κάποιες εκλογές για την ανάδειξη μιας τριμελούς επιτροπής, υπήρχαν τέσσερις υποψήφιοι , οι Α,Β,Γ,Δ.
Κάθε ψηφοφόρος μπορούσε να ψηφίσει το πολύ τρεις υποψήφιους. Μετά την καταμέτρηση των ψήφων, έλαβαν:
Ο Α $\displaystyle{22}$ , ο Β $\displaystyle{20}$ , ο Γ $\displaystyle{16}$ και ο Δ $\displaystyle{10}$ ψήφους, ενώ δεν υπήρχαν άκυρα ούτε λευκά.

(α) Να βρείτε πόσοι τουλάχιστον ήταν οι ψηφοφόροι.
(β) Αν οι ψηφοφόροι ήταν όσους βρήκατε στο (α) ερώτημα, και αν δεν υπήρξε ψηφοφόρος που να ψήφισε την τριάδα (Β,Γ,Δ), να βρείτε
πόσοι τουλάχιστον και πόσοι το πολύ από αυτούς ψήφισαν την τριάδα (Α,Β,Γ);

#2690

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 05, 2024 10:47 am
ΑΣΚΗΣΗ 1287 Σε κάποιες εκλογές για την ανάδειξη μιας τριμελούς επιτροπής, υπήρχαν τέσσερις υποψήφιοι , οι Α,Β,Γ,Δ.
Κάθε ψηφοφόρος μπορούσε να ψηφίσει το πολύ τρεις υποψήφιους. Μετά την καταμέτρηση των ψήφων, έλαβαν:
Ο Α $\displaystyle{22}$ , ο Β $\displaystyle{20}$ , ο Γ $\displaystyle{16}$ και ο Δ $\displaystyle{10}$ ψήφους, ενώ δεν υπήρχαν άκυρα ούτε λευκά.

(α) Να βρείτε πόσοι τουλάχιστον ήταν οι ψηφοφόροι.
(β) Αν οι ψηφοφόροι ήταν όσους βρήκατε στο (α) ερώτημα, και αν δεν υπήρξε ψηφοφόρος που να ψήφισε την τριάδα (Β,Γ,Δ), να βρείτε
πόσοι τουλάχιστον και πόσοι το πολύ από αυτούς ψήφισαν την τριάδα (Α,Β,Γ);

Γράφω μια λύση:

(α) Όλοι οι σταυροί ήταν συνολικά 68
Για να βρούμε τον ελάχιστο αριθμό των ψηφοφόρων, πρέπει να υποθέσουμε ότι όσο το δυνατόν περισσότεροι ψήφισαν και τους τρεις υποψήφιους.
Επειδή τώρα $\displaystyle{68=66+2 =3.22 +2}$ , αυτό σημαίνει ότι για να βρούμε τον ελάχιστο αριθμό που ζητάμε, θα θεωρήσουμε ότι $\displaystyle{22}$ άτομα
ψήφισαν και τους τρεις από τους τέσσερις υποψήφιους, ενώ ένα μόνο άτομο ψήφισε τους δύο από τους τέσσερις.
Άρα ο ελάχιστος αριθμός των ψηφοφόρων ήταν $\displaystyle{22+1 =23.}$

(β)Έχουμε σαν δεδομένο, ότι οι ψηφοφόροι ήταν $\displaystyle{23}$ .
Θα διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
(1).
$\displaystyle{x}$ άτομα ψήφισαν την τριάδα (Α,Β,Γ) , $\displaystyle{y}$ άτομα την (Α,Β,Δ) , $\displaystyle{w}$ άτομα την (Α,Γ,Δ) ενώ ο ένας το ζεύγος (Γ,Δ)
Τότε έχουμε το σύστημα:
$\displaystyle{x+y+w=22}$
$\displaystyle{x+y=20}$
$\displaystyle{x+w+1=16}$
$\displaystyle{y+w+1=10}$
Από τις τρεις πρώτες εξισώσεις, άμεσα βρίσκουμε ότι $\displaystyle{x=13, y=7 , w=2}$ , και ότι με τις τιμές αυτές επαληθεύεται και η τέταρτη εξίσωση.
Άρα σε αυτή την περίπτωση, την τριάδα (Α,Β,Γ) την ψήφισαν $\displaystyle{13}$ άτομα.

(2).
$\displaystyle{x}$ άτομα ψήφισαν την τριάδα (Α,Β,Γ) , $\displaystyle{y}$ την (Α,Β,Δ) , $\displaystyle{w}$ την (Α,Γ,Δ) ενώ ο ένας το ζεύγος (Β,Δ)
Τότε έχουμε έχουμε το σύστημα:
$\displaystyle{x+y+w=22}$
$\displaystyle{x+y+1=20}$
$\displaystyle{x+w=16}$
$\displaystyle{y+w+1=10}$
Και άμεσα βρίσκουμε ότι έχει την λύση $\displaystyle{x=13 , y= 6, w=3}$
Άρα σε αυτή την περίπτωση, την τριάδα (Α,Β,Γ) την ψήφισαν επίσης $\displaystyle{13}$ άτομα.

(3).
$\displaystyle{x}$ άτομα ψήφισαν την τριάδα (Α,Β,Γ) , $\displaystyle{y}$ την (Α,Β,Δ) , $\displaystyle{w}$ την (Α,Γ,Δ) ενώ ο ένας το ζεύγος (Β,Γ)
Τότε ομοίως βρίσκουμε ότι το σύστημα που θα προκύψει έχει την λύση $\displaystyle{x=12 , y=7 , w=3}$
Άρα σε αυτήν την περίπτωση , την τριάδα (Α,Β,Γ) την ψήφισαν $\displaystyle{12}$ άτομα.

(4) $\displaystyle{x}$ άτομα ψήφισαν την τριάδα (Α,Β,Γ) , $\displaystyle{y}$ την (Α,Β,Δ) , $\displaystyle{w}$ την (Α,Γ,Δ) ενώ ο ένας το ζεύγος (Α,Β)
Τότε έχουμε το σύστημα:
$\displaystyle{x+y+w+1=22}$
$\displaystyle{x+y+1=20}$
$\displaystyle{x+w=16}$
$\displaystyle{y+w=10}$
Λύνοντας το σύστημα των τριών πρώτων εξισώσεων άμεσα βρίσκουμε $\displaystyle{x=14 , y= 5 , w=2}$
Αντικαθιστώντας όμως τις τιμές αυτές στην τέταρτη εξίσωση, παίρνουμε $\displaystyle{5+2=10}$ και άρα η περίπτωση αυτή απορρίπτεται
Όμοια απορρίπτονται και οι περιπτώσεις όπου το ένα άτομο ψήφησε τα ζεύγη (Α,Γ) ή (Α,Δ)

Άρα η τριάδα (Α,Β,Γ) έλαβε τουλάχιστον $\displaystyle{12}$ και το πολύ $\displaystyle{13}$ ψήφους

#2691

ΑΣΚΗΣΗ 2691: Να βρεθεί ο μεγαλύτερος τετραψήφιος αριθμός, ο οποίος όταν διαιρεθεί με τους $\displaystyle{3 , 5 , 7 , 9}$

αφήνει υπόλοιπο $\displaystyle{2 , 3 , 4 , 5}$ αντιστοίχως.

#2692

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 09, 2024 5:34 pm
ΑΣΚΗΣΗ 2691: Να βρεθεί ο μεγαλύτερος τετραψήφιος αριθμός, ο οποίος όταν διαιρεθεί με τους $\displaystyle{3 , 5 , 7 , 9}$

αφήνει υπόλοιπο $\displaystyle{2 , 3 , 4 , 5}$ αντιστοίχως.

Γράφω μια λύση:

Έστω $\displaystyle{x}$ ο ζητούμενος αριθμός. Τότε θα έχουμε :
$\displaystyle{x=3k_1 +2}$ , (1)
$\displaystyle{x=5k_2 +3}$ , (2)
$\displaystyle{x=7k_3 +4}$ , (3)
$\displaystyle{x=9k_4 +5}$ , (4)

Από τις (1) και (2) έχουμε $\displaystyle{3k_1 +2 =5k_2 +3\Rightarrow k_1 = \frac{5k_2 +1}{3}\Rightarrow k_1 = k_2 + \frac{2k_1 +1}{3}}$ ,

και άρα πρέπει $\displaystyle{\frac{2k_2 +1}{3}=m_1 \Rightarrow k_2 =\frac{3m_1 }{2}\Rightarrow k_2 =m_1 +\frac{m_1 -1}{2}}$ , (5)

Άρα και πάλι πρέπει $\displaystyle{\frac{m_1 -1}{2}=n_1 \Rightarrow m_1 = 2n_1 +1}$ .

Έτσι η (5) γράφεται: $\displaystyle{k_2 = 3n_1 +1}$ και στη συνέχεια η (2) γράφεται: $\displaystyle{x=15n_1 +8}$ , (6).

(Δηλαδή, ο $\displaystyle{x}$ διαιρούμενος με το $\displaystyle{3}$ αφήνει υπόλοιπο $\displaystyle{2}$ και διαιρούμενος με το $\displaystyle{5}$ αφήνει υπόλοιπο $\displaystyle{3}$ )

Tώρα, από τις (3) και (6) έχουμε: $\displaystyle{7k_3 +4=15n_1 +8\Rightarrow k_3 = 2n_1 +\frac{n_1 +4}{7} }$ ,

οπότε πρέπει $\displaystyle{\frac{2n_1 +4}{7}=n_2 \Rightarrow n_1 = 7n_2 -4}$

Έτσι η (6) γράφεται: $\displaystyle{x=15(7n_2 -4)+8\Rightarrow x=105n_2 -52}$ , (7)

(Δηλαδή, ο $\displaystyle{x}$ διαιρούμενος με το $\displaystyle{3}$ , με το $\displaystyle{5}$ και με το $\displaystyle{7}$ , αφήνει υπόλοιπο $\displaystyle{2 , 3 , 4 }$ αντιστοίχως).

Από (4) και (7) έχουμε: $\displaystyle{9k_4 +5 = 105 n_2 - 52 \Rightarrow k_4 = 11n_2 -6 +\frac{2n_2 -1}{3}}$

Άρα πρέπει $\displaystyle{\frac{2n_2 -1}{3}= n_3 \Rightarrow n_2 = n_3 +\frac{n_3 +1}{2}}$

Άρα και πάλι πρέπει $\displaystyle{\frac{n_3 +1}{2}=n_4 \Rightarrow n_2 = 3n_4 -1}$ .

Συνεπώς η (7) γράφεται: $\displaystyle{x=105(3n_4 -1)-52\Rightarrow x= 315n_4 - 157}$ .

(Δηλαδή ο $\displaystyle{x}$ διαιρούμενος με το $\displaystyle{3 , 5 , 7 , 9}$ αφήνει υπόλοιπο $\displaystyle{2 , 3 , 4 , 5}$ αντιστοίχως).

Με βάση το πρόβλημα, πρέπει $\displaystyle{1000\leq x\leq 9999 \Rightarrow 1000\leq 315n_4 -157\leq 9999\Rightarrow}$

$\displaystyle{3, ...\leq n_4 \leq31,...}$

Άρα ο μεγαλύτερος τετραψήφιος που ζητάμε είναι ο $\displaystyle{x=315 . 31 -157 =9608}$

#2693

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 14, 2024 4:35 pm
ΑΣΚΗΣΗ 2691: Να βρεθεί ο μεγαλύτερος τετραψήφιος αριθμός, ο οποίος όταν διαιρεθεί με τους $\displaystyle{3 , 5 , 7 , 9}$

αφήνει υπόλοιπο $\displaystyle{2 , 3 , 4 , 5}$ αντιστοίχως.

.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 14, 2024 4:35 pm

Άρα ο μεγαλύτερος τετραψήφιος που ζητάμε είναι ο $\displaystyle{x=315 . 31 -157 =9608}$

.

Δημήτρη, νομίζω ότι η σωστή απάντηση είναι 9923

. Το

σίγουρα ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος όπως ελέγχει κανείς με κομπιουτεράκι.

Έχω και σύντομη λύση: Αν

ο ζητούμενος, παρατηρεί κανείς ότι ο 2N-1

είναι πολλαπλάσιο των 3, 5, 7, 9

. Πράγματι η συνθήκη N=3k_1+2

δίνει

πολλαπλάσιο του

.

Όμοια η N=5k_2+3

δίνει

πολλαπλάσιο του

.

Όμοια οι N=7k_3+4

και

.

Συνεπώς ο 2N-1

είναι πολλαπλάσιο του $5\times 7 \times 9 = 315$ . Θέλουμε ο

να είναι τετραψήφιος, άρα $2N-1\le 2\times 9999 -1= 19997$ . To μεγαλύτερο πολλαπλάσιο του 315

που είναι $\le 19997$ είναι το $315\times 63=19845$ . Άρα 2N-1=19845

, οπότε

.

#2694

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 14, 2024 7:12 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 14, 2024 4:35 pm
ΑΣΚΗΣΗ 2691: Να βρεθεί ο μεγαλύτερος τετραψήφιος αριθμός, ο οποίος όταν διαιρεθεί με τους $\displaystyle{3 , 5 , 7 , 9}$

αφήνει υπόλοιπο $\displaystyle{2 , 3 , 4 , 5}$ αντιστοίχως.
.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 14, 2024 4:35 pm

Άρα ο μεγαλύτερος τετραψήφιος που ζητάμε είναι ο $\displaystyle{x=315 . 31 -157 =9608}$
.

Δημήτρη, νομίζω ότι η σωστή απάντηση είναι . Το σίγουρα ικανοποιεί τις συνθήκες του προβλήματος όπως ελέγχει κανείς με κομπιουτεράκι.

Έχω και σύντομη λύση: Αν ο ζητούμενος, παρατηρεί κανείς ότι ο είναι πολλαπλάσιο των . Πράγματι η συνθήκη δίνει πολλαπλάσιο του .

Όμοια η δίνει πολλαπλάσιο του .

Όμοια οι και .

Συνεπώς ο είναι πολλαπλάσιο του $5\times 7 \times 9 = 315$ . Θέλουμε ο να είναι τετραψήφιος, άρα $2N-1\le 2\times 9999 -1= 19997$ . To μεγαλύτερο πολλαπλάσιο του που είναι $\le 19997$ είναι το $315\times 63=19845$ . Άρα , οπότε .

Κάτι θα μου διέφυγε, στην μακροσκελή απάντηση που έδωσα Μιχάλη. Σίγουρα ο 9923 είναι ο ζητούμενος. Αν βρω το λάθος, θα επανέλθω.
ΚΑΛΟ ΒΡΑΔΥ και ευχαριστώ για την επισήμανση.

Το λάθος , ήταν σε μια πρόσθεση στο τέλος. Από την ανίσωση $\displaystyle{1000\leq 315n_4 -157\leq 9999}$ συμπέρανα ότι

$\displaystyle{3,... \leq n_4 \leq 31,...}$ ενώ το σωστό είναι: $\displaystyle{3,...\leq n_4 \leq 32,...}$ . Οπότε η μέγιστη τιμή του $\displaystyle{x}$ θα προκύψει όταν

θέσουμε $\displaystyle{ n_4 =32}$ και άρα αυτή θα είναι: $\displaystyle{x= 315 . 32 -157 =9923}$

#2695

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 14, 2024 4:35 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 09, 2024 5:34 pm
ΑΣΚΗΣΗ 2691: Να βρεθεί ο μεγαλύτερος τετραψήφιος αριθμός, ο οποίος όταν διαιρεθεί με τους $\displaystyle{3 , 5 , 7 , 9}$

αφήνει υπόλοιπο $\displaystyle{2 , 3 , 4 , 5}$ αντιστοίχως.
Γράφω μια λύση:

Έστω $\displaystyle{x}$ ο ζητούμενος αριθμός. Τότε θα έχουμε :
$\displaystyle{x=3k_1 +2}$ , (1)
$\displaystyle{x=5k_2 +3}$ , (2)
$\displaystyle{x=7k_3 +4}$ , (3)
$\displaystyle{x=9k_4 +5}$ , (4)

Από τις (1) και (2) έχουμε $\displaystyle{3k_1 +2 =5k_2 +3\Rightarrow k_1 = \frac{5k_2 +1}{3}\Rightarrow k_1 = k_2 + \frac{2k_1 +1}{3}}$ ,

και άρα πρέπει $\displaystyle{\frac{2k_2 +1}{3}=m_1 \Rightarrow k_2 =\frac{3m_1 }{2}\Rightarrow k_2 =m_1 +\frac{m_1 -1}{2}}$ , (5)

Άρα και πάλι πρέπει $\displaystyle{\frac{m_1 -1}{2}=n_1 \Rightarrow m_1 = 2n_1 +1}$ .

Έτσι η (5) γράφεται: $\displaystyle{k_2 = 3n_1 +1}$ και στη συνέχεια η (2) γράφεται: $\displaystyle{x=15n_1 +8}$ , (6).

(Δηλαδή, ο $\displaystyle{x}$ διαιρούμενος με το $\displaystyle{3}$ αφήνει υπόλοιπο $\displaystyle{2}$ και διαιρούμενος με το $\displaystyle{5}$ αφήνει υπόλοιπο $\displaystyle{3}$ )

Tώρα, από τις (3) και (6) έχουμε: $\displaystyle{7k_3 +4=15n_1 +8\Rightarrow k_3 = 2n_1 +\frac{n_1 +4}{7} }$ ,

οπότε πρέπει $\displaystyle{\frac{2n_1 +4}{7}=n_2 \Rightarrow n_1 = 7n_2 -4}$

Έτσι η (6) γράφεται: $\displaystyle{x=15(7n_2 -4)+8\Rightarrow x=105n_2 -52}$ , (7)

(Δηλαδή, ο $\displaystyle{x}$ διαιρούμενος με το $\displaystyle{3}$ , με το $\displaystyle{5}$ και με το $\displaystyle{7}$ , αφήνει υπόλοιπο $\displaystyle{2 , 3 , 4 }$ αντιστοίχως).

Από (4) και (7) έχουμε: $\displaystyle{9k_4 +5 = 105 n_2 - 52 \Rightarrow k_4 = 11n_2 -6 +\frac{2n_2 -1}{3}}$

Άρα πρέπει $\displaystyle{\frac{2n_2 -1}{3}= n_3 \Rightarrow n_2 = n_3 +\frac{n_3 +1}{2}}$

Άρα και πάλι πρέπει $\displaystyle{\frac{n_3 +1}{2}=n_4 \Rightarrow n_2 = 3n_4 -1}$ .

Συνεπώς η (7) γράφεται: $\displaystyle{x=105(3n_4 -1)-52\Rightarrow x= 315n_4 - 157}$ .

(Δηλαδή ο $\displaystyle{x}$ διαιρούμενος με το $\displaystyle{3 , 5 , 7 , 9}$ αφήνει υπόλοιπο $\displaystyle{2 , 3 , 4 , 5}$ αντιστοίχως).

Με βάση το πρόβλημα, πρέπει $\displaystyle{1000\leq x\leq 9999 \Rightarrow 1000\leq 315n_4 -157\leq 9999\Rightarrow}$

$\displaystyle{3, ...\leq n_4 \leq31,...}$

Άρα ο μεγαλύτερος τετραψήφιος που ζητάμε είναι ο $\displaystyle{x=315 . 31 -157 =9608}$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Από ένα λάθος σε μια πρόσθεση που έκανα στην διπλή ανίσωση στο τέλος , βρήκα το λάθος αποτέλεσμα, όπως επισημάνθηκε πιο πάνω από τον Μιχάλη.

Συνεχίζω με την διόρθωση:

Πρέπει: $\displaystyle{1000\leq 315n_4 -157\leq 9999\Rightarrow 3, ... \leq n_4 \leq 32 ,...}$

Άρα ο μεγαλύτερος τετραψήφιος που ζητάμε είναι ο $\displaystyle{x=315 . 32 -157 =9923}}$

#2696

ΑΣΚΗΣΗ 2692 Σε μια εκδρομή , οι γυναίκες ήταν $\displaystyle{10}$ περισσότερες από τα παιδιά και οι άνδρες το $\displaystyle{40}$ %
των γυναικών. Να βρεθεί το σύνολο των εκδρομέων, αν γνωρίζουμε ότι είναι περισσότεροι από $\displaystyle{50}$ και λιγότεροι από $\displaystyle{74}$

orestisgotsis · #2697

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2698

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 20, 2024 12:55 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 19, 2024 9:02 pm
ΑΣΚΗΣΗ 2692 Σε μια εκδρομή , οι γυναίκες ήταν $\displaystyle{10}$ περισσότερες από τα παιδιά και οι άνδρες το $\displaystyle{40}$ %
των γυναικών. Να βρεθεί το σύνολο των εκδρομέων, αν γνωρίζουμε ότι είναι περισσότεροι από $\displaystyle{50}$ και λιγότεροι από $\displaystyle{74}$
$\Pi +\left( \Pi +10 \right)+\displaystyle\frac{2}{5}\cdot \left( \Pi +10 \right)=\displaystyle\frac{12}{5}\cdot \Pi +14$ . Άρα $50<\displaystyle\frac{12}{5}\cdot \Pi +14<74\,\,\,\,\,(1)$ .

Από την προκύπτει $15<\Pi <25$ , μετά $\displaystyle\frac{15+25}{2}=20$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Παιδιά = 20, Γυναίκες = 30. Άντρες = 12. Σύνολο 62 άτομα.

Λίγο διαφορετικά, στο τελευταίο βήμα:

Ο αριθμός $\displaystyle{\frac{12}{5}\cdot \Pi+14}$ πρέπει να είναι ακέραιος, αφού εκφράζει το πλήθος των εκδρομέων.

Συνεπώς πρέπει $\displaystyle{\Pi =5m}$ , όπου $\displaystyle{m}$ είναι φυσικός αριθμός. Έτσι, ο αριθμός των εκδρομέων είναι $\displaystyle{12m+14}$

Με βάση όμως το πρόβλημα, πρέπει: $\displaystyle{50<12m+14<74 \Rightarrow 36<12m<60 \Rightarrow 3<m<5 \Rightarrow m=4}$

Άρα $\displaystyle{\Pi=12 \cdot 4 +14 =62}$

Συνεπώς το σύνολο των εκδρομέων ήταν $\displaystyle{62}$ .

#2699

ΑΣΚΗΣΗ 2693: Μια αμαξοστοιχία, που μπορεί να μεταφέρει το πολύ $\displaystyle{1500}$ επιβάτες, ξεκίνησε από την πόλη Α
με τελικό προορισμό την πόλη Β. Κατά την διάρκεια του ταξιδιού, έκανε δύο στάσεις. Στην πρώτη στάση, κατέβηκε πρώτα το $\displaystyle{12}$ %
των επιβατών και ύστερα ανέβηκαν $\displaystyle{5}$ άλλοι επιβάτες. Στην δεύτερη στάση, κατέβηκε το $\displaystyle{20}$ % των επιβατών του τρένου και ύστερα ανέβηκαν
δύο άλλοι. Αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός των επιβατών που ανέβηκε στην πόλη Α έχει άθροισμα ψηφίων που διαιρείται με το $\displaystyle{3}$ και το $\displaystyle{5}$ , να βρείτε πόσοι επιβάτες κατέβηκαν στην πόλη Β.

#2700

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 05, 2024 1:02 am
ΑΣΚΗΣΗ 2693: Μια αμαξοστοιχία, που μπορεί να μεταφέρει το πολύ $\displaystyle{1500}$ επιβάτες, ξεκίνησε από την πόλη Α
με τελικό προορισμό την πόλη Β. Κατά την διάρκεια του ταξιδιού, έκανε δύο στάσεις. Στην πρώτη στάση, κατέβηκε πρώτα το $\displaystyle{12}$ %
των επιβατών και ύστερα ανέβηκαν $\displaystyle{5}$ άλλοι επιβάτες. Στην δεύτερη στάση, κατέβηκε το $\displaystyle{20}$ % των επιβατών του τρένου και ύστερα ανέβηκαν
δύο άλλοι. Αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός των επιβατών που ανέβηκε στην πόλη Α έχει άθροισμα ψηφίων που διαιρείται με το $\displaystyle{3}$ και το $\displaystyle{5}$ , να βρείτε πόσοι επιβάτες κατέβηκαν στην πόλη Β.

ΛΥΣΗ:
Έστω $\displaystyle{x}$ ο αριθμός των επιβατών που ανέβηκαν στην πόλη Α . Στην πρώτη στάση κατέβηκαν τα $\displaystyle{\frac{12}{100} .x}$ των επιβατών,
άρα έμειναν στο τρένο τα $\displaystyle{\frac{88}{100}.x}$ των επιβατών και αφού ανέβηκαν ακόμα $\displaystyle{5}$ , το τρένο έφτασε στην δεύτερη στάση
με $\displaystyle{\frac{88}{100}.x +5}$ επιβάτες.
Εκεί, κατέβηκε το $\displaystyle{20}$ % , άρα απέμειναν στο τρένο $\displaystyle{\frac{80}{100} (\frac{88}{100}.x +5)}$ επιβάτες και αφού ανέβηκαν και $\displaystyle{2}$
ακόμα, το τρένο έφτασε στην πόλη Β με $\displaystyle{\frac{80}{100} (\frac{88}{100}.x +5)+2}$ επιβάτες, δηλαδή με $\displaystyle{\frac{4}{5}(\frac{22}{25}.x+5)+2}$
δηλαδή με $\displaystyle{\frac{88}{125}.x +6}$ επιβάτες. Ο αριθμός όμως αυτός πρέπει να είναι φυσικός. Άρα πρέπει ο $\displaystyle{x}$ να είναι πολλαπλάσιο
του $\displaystyle{125}$ , δηλαδή $\displaystyle{x=125.k}$ , με $\displaystyle{k}$ φυσικό αριθμό.
Συνεπώς οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει ο $\displaystyle{x}$ είναι: $\displaystyle{125 , 250 , 375 , 500 , 625 , 750 , 875 , 1000 , 1125 , 125 }$ και $\displaystyle{1500}$
Το άθροισμα των ψηφίων αυτών των αριθμών είναι αντιστοίχως: $\displaystyle{8 , 7 , 15 , 5 , 13 , 12 , 20 , 1 , 9 , 8 }$ και $\displaystyle{6}$
Από αυτούς τους αριθμούς, μόνο ο $\displaystyle{15}$ διαιρείται με το $\displaystyle{3}$ και με το $\displaystyle{5}$ , ο οποίος αντιστοιχεί στο $\displaystyle{x=375}$
Άρα από την πόλη Α ξεκίνησαν $\displaystyle{375}$ επιβάτες και στην πόλη Β έφτασαν $\displaystyle{\frac{88}{100}.375 +6}$ , δηλαδή $\displaystyle{270}$ επιβάτες.

Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση