Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Ας δούμε και την λύση που είναι κατανοητή από μαθητές Γ Γυμνασίου:
Είναι:
Με πρόσθεση κατά μέλη και αφού κάνουμε τα αναπτύγματα παίρνουμε:
Και άρα:
Και συνεπώς:
ή
,
ή
Είναι:
Με πρόσθεση κατά μέλη και αφού κάνουμε τα αναπτύγματα παίρνουμε:
Και άρα:
Και συνεπώς:
ή
,
ή
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
ΑΣΚΗΣΗ 1376 Να βρεθεί το ψηφίο των μονάδων του αριθμού:
, για τις διάφορες τιμές του φυσικού αριθμού .
, για τις διάφορες τιμές του φυσικού αριθμού .
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
ΕίναιΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑Τετ Μάιος 29, 2019 6:38 pmΑΣΚΗΣΗ 1376 Να βρεθεί το ψηφίο των μονάδων του αριθμού:
, για τις διάφορες τιμές του φυσικού αριθμού .
Έστω
Είναι
Άρα ο λήγει πάντα σε .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
ΑΣΚΗΣΗ 1377 Να αποδείξετε ότι ο αριθμός , λήγει σε , αν ο είναι περιττός και σε , αν
ο είναι θετικός άρτιος. Στη συνέχεια να βρείτε τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού
ο είναι θετικός άρτιος. Στη συνέχεια να βρείτε τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 06, 2021 11:36 pmΑΣΚΗΣΗ 1377 Να αποδείξετε ότι ο αριθμός , λήγει σε , αν ο είναι περιττός και σε , αν
ο είναι θετικός άρτιος. Στη συνέχεια να βρείτε τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού
Περνώ και και έχω:
Αν :
Αν και ισοδύναμα
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
ΑΣΚΗΣΗ 1378 Να βρεθεί ο θετικός ακέραιος αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός διαιρείται με το
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Απλά για ένα γειά στον Άριστο Μαθηματικό, Δάσκαλο και πολύ φίλο Δημήτρη.ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑Κυρ Φεβ 28, 2021 10:42 pmΑΣΚΗΣΗ 1378 Να βρεθεί ο θετικός ακέραιος αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός διαιρείται με το
Αρκεί ισοδύναμα ο να διαιρείται από τον αρκεί ο να διαιρείται από τον άρα
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Φίλε Σωτήρη, έχουμε καιρό να τα πούμε και να μια ευκαιρία.
Για τον πλουραλισμό, (όπως συχνά γράφεις και εσύ και το έχω υιοθετήσει), ας το δούμε και λίγο διαφορετικά:
Άρα πρέπει ο να διαιρεί τον . Άρα θα πρέπει ή ο ή
Δηλαδή ή , (που απορρίπτεται) ή
Άρα ή . Άρα ή (που απορρίπτεται) ή (που είναι δεκτό).
Για τον πλουραλισμό, (όπως συχνά γράφεις και εσύ και το έχω υιοθετήσει), ας το δούμε και λίγο διαφορετικά:
Άρα πρέπει ο να διαιρεί τον . Άρα θα πρέπει ή ο ή
Δηλαδή ή , (που απορρίπτεται) ή
Άρα ή . Άρα ή (που απορρίπτεται) ή (που είναι δεκτό).
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
ΑΣΚΗΣΗ 1279: Να αποδείξετε ότι ο αριθμός , έχει τουλάχιστον και το πολύ ψηφία.
(ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η άσκηση προέκυψε ύστερα από μια συζήτηση με τον συνάδελφο Βασίλη Μάρκο. Υπάρχει ανοικτό το θέμα, το αν μπορούμε να βρούμε ακριβώς το πόσα είναι τα ψηφία του εν λόγω αριθμού, με γνώσεις μόνο σχολικές ή έστω και με μη σχολικές)
(ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η άσκηση προέκυψε ύστερα από μια συζήτηση με τον συνάδελφο Βασίλη Μάρκο. Υπάρχει ανοικτό το θέμα, το αν μπορούμε να βρούμε ακριβώς το πόσα είναι τα ψηφία του εν λόγω αριθμού, με γνώσεις μόνο σχολικές ή έστω και με μη σχολικές)
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Δημήτρη, σου κάνει αυτό:ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑Τετ Απρ 20, 2022 9:28 pmΑΣΚΗΣΗ 1279: Να αποδείξετε ότι ο αριθμός , έχει τουλάχιστον και το πολύ ψηφία.
(ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η άσκηση προέκυψε ύστερα από μια συζήτηση με τον συνάδελφο Βασίλη Μάρκο. Υπάρχει ανοικτό το θέμα, το αν μπορούμε να βρούμε ακριβώς το πόσα είναι τα ψηφία του εν λόγω αριθμού, με γνώσεις μόνο σχολικές ή έστω και με μη σχολικές)
Αφού από πίνακες λογαρίθμων της εποχής που ήμουν μαθητής έχουμε , ισχύει με πολύ ασφάλεια .
Άρα , οπότε .
Η διπλή αυτή ανισότητα δείχνει ότι ο έχει ψηφία.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Καλό Πάσχα Μιχάλη. Ναι, είναι ένας ωραίος τρόπος να βρούμε το πόσα ψηφία έχει ο αριθμός μας.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Πέμ Απρ 21, 2022 1:20 amΔημήτρη, σου κάνει αυτό:ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑Τετ Απρ 20, 2022 9:28 pmΑΣΚΗΣΗ 1279: Να αποδείξετε ότι ο αριθμός , έχει τουλάχιστον και το πολύ ψηφία.
(ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η άσκηση προέκυψε ύστερα από μια συζήτηση με τον συνάδελφο Βασίλη Μάρκο. Υπάρχει ανοικτό το θέμα, το αν μπορούμε να βρούμε ακριβώς το πόσα είναι τα ψηφία του εν λόγω αριθμού, με γνώσεις μόνο σχολικές ή έστω και με μη σχολικές)
Αφού από πίνακες λογαρίθμων της εποχής που ήμουν μαθητής έχουμε , ισχύει με πολύ ασφάλεια .
Άρα , οπότε .
Η διπλή αυτή ανισότητα δείχνει ότι ο έχει ψηφία.
Το να δείξουμε ότι έχει ή 31 ή 32 ψηφία, βγαίνει με σχολική ύλη Γυμνασίου. Το πόσα ακριβώς όμως έχει, μάλλον μόνο με χρήση λογαρίθμων πρέπει να βρίσκεται.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
.ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑Πέμ Απρ 21, 2022 8:02 pm
ΑΣΚΗΣΗ 1279: Να αποδείξετε ότι ο αριθμός , έχει τουλάχιστον και το πολύ ψηφία.
.ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑Τετ Απρ 20, 2022 9:28 pmΤο να δείξουμε ότι έχει ή 31 ή 32 ψηφία, βγαίνει με σχολική ύλη Γυμνασίου.
Ας δούμε έναν τέτοιο τρόπο.
Αρκεί να δείξουμε ότι (τα οποία άκρα έχουν και ψηφία, αντίστοιχα).
Θα χρειαστώ τα και (στην πραγματικότητα είναι ). Έτσι
και
.
Σχόλιο: Aξίζει ίσως να προσθέσω ότι με λογισμικό βρήκα την ακριβή τιμή .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Μια ακόμα λύση, με μικρές διαφορές από αυτήν του Μιχάλη:
Επειδή , έχουμε:
Βρήκαμε λοιπόν ότι: και
Με πολλαπλασιασμό των δύο αυτών ανισοτήτων, παίρνουμε: .
Άρα: .
Όμως ο αριθμός έχει ψηφία και ο αριθμός έχει ψηφία.
Άρα ο έχει τουλάχιστον και το πολύ ψηφία.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Με το γνωστό πρόβλημα με την σκακιέρα, όπου στο πρώτο τετραγωνάκι βάζουμε ένα σπυρί σιτάρι, στο δεύτερο δύο,
στο τρίτο τέσσερα ,κλπ, οπότε στο εξηκοστό τέταρτο τετραγωνάκι θα βάλουμε σπυριά σιτάρι, μπορούμε να βρούμε το πλήθος των
ψηφίων του, ότι είναι ακριβώς , (αν εργαστούμε κατάλληλα με παρόμοιο όπως πριν τρόπο).
Οπότε (προφανώς).
Αν τώρα υποθέσουμε ότι ένα κιλό σιτάρι περιέχει σπυριά σιτάρι (που ήδη ο αριθμός αυτός είναι υπερβολικός), τότε τα
σπυριά σιτάρι ζυγίζουν περισσότερο από κιλά, δηλαδή περισσότερο από κιλά, δηλαδή περισσότερο
από τόνους. Και επειδή μια μεγάλη νταλίκα χωράει τόνους σιτάρι, θα χρειαστούμε περισσότερες από :
νταλίκες δηλαδή πολύ περισσότερες από δισεκατομμύρια νταλίκες!!!!
(Αν βρούμε με λογισμικό τον ακριβή αριθμό που εκφράζει ο , είναι βέβαιο, ότι και αν κάθε κάτοικος του πλανήτη είχε από μία νταλίκα,
πάλι δεν θα έφθαναν όλες να φορτώσουν το σιτάρι που θα συγκεντρωθεί στο εξηκοστό τέταρτο τετραγωνάκι)
Επειδή , έχουμε:
Βρήκαμε λοιπόν ότι: και
Με πολλαπλασιασμό των δύο αυτών ανισοτήτων, παίρνουμε: .
Άρα: .
Όμως ο αριθμός έχει ψηφία και ο αριθμός έχει ψηφία.
Άρα ο έχει τουλάχιστον και το πολύ ψηφία.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Με το γνωστό πρόβλημα με την σκακιέρα, όπου στο πρώτο τετραγωνάκι βάζουμε ένα σπυρί σιτάρι, στο δεύτερο δύο,
στο τρίτο τέσσερα ,κλπ, οπότε στο εξηκοστό τέταρτο τετραγωνάκι θα βάλουμε σπυριά σιτάρι, μπορούμε να βρούμε το πλήθος των
ψηφίων του, ότι είναι ακριβώς , (αν εργαστούμε κατάλληλα με παρόμοιο όπως πριν τρόπο).
Οπότε (προφανώς).
Αν τώρα υποθέσουμε ότι ένα κιλό σιτάρι περιέχει σπυριά σιτάρι (που ήδη ο αριθμός αυτός είναι υπερβολικός), τότε τα
σπυριά σιτάρι ζυγίζουν περισσότερο από κιλά, δηλαδή περισσότερο από κιλά, δηλαδή περισσότερο
από τόνους. Και επειδή μια μεγάλη νταλίκα χωράει τόνους σιτάρι, θα χρειαστούμε περισσότερες από :
νταλίκες δηλαδή πολύ περισσότερες από δισεκατομμύρια νταλίκες!!!!
(Αν βρούμε με λογισμικό τον ακριβή αριθμό που εκφράζει ο , είναι βέβαιο, ότι και αν κάθε κάτοικος του πλανήτη είχε από μία νταλίκα,
πάλι δεν θα έφθαναν όλες να φορτώσουν το σιτάρι που θα συγκεντρωθεί στο εξηκοστό τέταρτο τετραγωνάκι)
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
.ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑Πέμ Απρ 21, 2022 8:02 pmΑΣΚΗΣΗ 1279: Να αποδείξετε ότι ο αριθμός , έχει τουλάχιστον και το πολύ ψηφία.
.ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑Τετ Απρ 20, 2022 9:28 pm... Το πόσα ακριβώς όμως έχει, μάλλον μόνο με χρήση λογαρίθμων πρέπει να βρίσκεται.
Τελικά μπορούμε να δείξουμε στοιχειωδώς ότι ο αριθμός έχει ακριβώς ψηφία. Ο παρακάτω τρόπος είναι μακρόσυρτος αλλά δεν θα περίμενε κανείς θεαματική βελτίωση διότι ο είναι πολύ κοντά στον (βλέπε τελευταία γραμμή του προηγούμενου ποστ) οπότε οι διαδοχικές εκτιμήσεις που κάνουμε πρέπει να είναι αρκετά "σφιχτές".
Έχουμε λοιπόν
Άρα έχει τουλάχιστον ψηφία, αλλά ήδη είδαμε ότι έχει το πολύ , συνεπώς ακριβώς .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
ΑΣΚΗΣΗ 1280 Να βρείτε πόσοι ακέραιοι αριθμοί υπάρχουν, που είναι μεγαλύτεροι από το και
μικρότεροι από το , ώστε ο αριθμός να είναι τέλειο τετράγωνο.
μικρότεροι από το , ώστε ο αριθμός να είναι τέλειο τετράγωνο.
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Καλό μεσημέρι!! Μία προσέγγιση:
Ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο, άρα και ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.
Εύκολα προκύπτει ότι . Οπότε επειδή ο είναι περιττός, έχουμε λύσεις.
Ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο, άρα και ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο.
Εύκολα προκύπτει ότι . Οπότε επειδή ο είναι περιττός, έχουμε λύσεις.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
Ο συνάδελφος Henry van Aubel έδωσε πιο πάνω μια ωραία και σύντομη λύση.
Ας δούμε και μια ακόμα διατύπωση :
Έχομε και αφού ο είναι τετράγωνος, θα πρέπει και ο να είναι επίσης τετράγωνος. Άρα πρέπει
, όπου ακέραιος και χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο είναι θετικός
ακέραιος.
Αλλά ο είναι περιττός, ως διαφορά ενός περιττού από έναν άρτιο. Άρα και ο θα είναι επίσης περιττός .
Άρα , όπου ο είναι μη αρνητικός ακέραιος.
Τότε έχουμε και άρα
Θέλουμε όμως να είναι . Άρα πρέπει και άρα ,
δηλαδή και .
Λύνοντας το πιο πάνω σύστημα των ανισώσεων και με δεδομένο ότι ο είναι μη αρνητικός ακέραιος, βρίσκουμε
ότι
Συνεπώς οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει ο είναι
Ας δούμε και μια ακόμα διατύπωση :
Έχομε και αφού ο είναι τετράγωνος, θα πρέπει και ο να είναι επίσης τετράγωνος. Άρα πρέπει
, όπου ακέραιος και χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο είναι θετικός
ακέραιος.
Αλλά ο είναι περιττός, ως διαφορά ενός περιττού από έναν άρτιο. Άρα και ο θα είναι επίσης περιττός .
Άρα , όπου ο είναι μη αρνητικός ακέραιος.
Τότε έχουμε και άρα
Θέλουμε όμως να είναι . Άρα πρέπει και άρα ,
δηλαδή και .
Λύνοντας το πιο πάνω σύστημα των ανισώσεων και με δεδομένο ότι ο είναι μη αρνητικός ακέραιος, βρίσκουμε
ότι
Συνεπώς οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει ο είναι
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
ΑΣΚΗΣΗ 1281 Από άσπρες κότες παίρνουμε καθημερινά αβγά ενώ από κόκκινες κότες παίρνουμε
αβγά.
(α) Ποιες κότες είναι πιο παραγωγικές;
(β) Αγοράσαμε κάποιες άσπρες κότες προς ευρώ την μία και κάποιες κόκκινες προς ευρώ την μία και πληρώσαμε
ευρώ, ενώ παίρνουμε καθημερινά αβγά.
Πόσες είναι οι άσπρες και πόσες οι κόκκινες κότες;
αβγά.
(α) Ποιες κότες είναι πιο παραγωγικές;
(β) Αγοράσαμε κάποιες άσπρες κότες προς ευρώ την μία και κάποιες κόκκινες προς ευρώ την μία και πληρώσαμε
ευρώ, ενώ παίρνουμε καθημερινά αβγά.
Πόσες είναι οι άσπρες και πόσες οι κόκκινες κότες;
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο
(α). Από άσπρες κότες παίρνουμε καθημερινά αυγά. Από κόκκινες κότες παίρνουμε καθημερινά αυγά. Συνεπώς οι άσπρες κότες είναι πιο παραγωγικές.
(β). Έστω ότι αγοράσαμε άσπρες και κόκκινες κότες. Έχουμε:
Άρα το σύστημα γράφεται:
(β). Έστω ότι αγοράσαμε άσπρες και κόκκινες κότες. Έχουμε:
Άρα το σύστημα γράφεται:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες