Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2761

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Δευ Ιαν 15, 2018 2:43 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Ιαν 14, 2018 2:38 pm
ΑΣΚΗΣΗ 1373

Αν οι a,b,c \in \mathbb{R} ικανοποιούν την

\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=1,

να δείξετε ότι

\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=0.
Πολλαπλασιάζω τη δοθείσα με a+b+c, τότε
\dfrac{a^2+a(b+c)}{b+c}+\dfrac{b^2+b(c+a)}{c+a}+\dfrac{c^2+c(a+b)}{a+b}=a+b+c.
Απλοποιώντας παίρνουμε
\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=0.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4221
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2762

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Ιαν 17, 2018 7:16 pm

ΑΣΚΗΣΗ 1374: Έστω \displaystyle{A=\frac{1}{1.3}-\frac{1}{2.4}+\frac{1}{3.5}-\frac{1}{4.6}+ . . . +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}

Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\frac{1}{4}<A\leq \frac{1}{3}}

ΠΗΓΗ: (Ρουμάνικο βιβλίο για διαγωνισμούς)


Γιώργος Μηλιάκος
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 20, 2018 6:53 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2763

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μηλιάκος » Τρί Νοέμ 20, 2018 7:29 pm

Στην άσκηση 38 του Εικοσιδωδεκάεδρου, τεύχος 20
Προτάθηκε από τον Δημήτρη Ιωάννου.

Να βρεθούν οι τιμές των ακεραίων αριθμών x, y που επαληθεύουν την εξίσωση

x^2+y^2=x-y.

Λύση: Ισχύει x^2\geq x και y^2\geq -y.
Για να έχει λύση η εξίσωση πρέπει να έχουμε:

x^2=x \:(1) και y^2=-y \: (2)

Οι λύσεις των εξισώσεων (1) και (2) είναι

x=0 ή x=1 και y=0 ή y=-1.

Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι τα ζεύγη:

(0,0) , (0,-1) , (1,0) , (1,-1)


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 326
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2764

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Ιαν 11, 2019 6:49 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Τετ Ιαν 17, 2018 7:16 pm
ΑΣΚΗΣΗ 1374: Έστω \displaystyle{A=\frac{1}{1.3}-\frac{1}{2.4}+\frac{1}{3.5}-\frac{1}{4.6}+ . . . +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}

Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\frac{1}{4}<A\leq \dfrac{1}{3}}

ΠΗΓΗ: (Ρουμάνικο βιβλίο για διαγωνισμούς)
Θα δείξουμε ότι A\leq \dfrac{1}{3}.

\displaystyle{A=\frac{1}{1.3}-\frac{1}{2.4}+\frac{1}{3.5}-\frac{1}{4.6}+ . . . +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}=\frac{1}{3}-\left ( \frac{1}{2\cdot 4}-\frac{1}{3\cdot 5}....-\frac{1}{\left ( 2n-1 \right )\left ( 2n+1 \right )} \right )
Επειδή η παράσταση που βρίσκεται μέσα στην παρένθεση έχει άρτιο πλήθος ορών μπορούμε να τους πάρουμε ανά δύο.
Επίσης τα κλάσματα μικραίνουν όσο πηγαίνουμε προς τα αριστερά άρα η παράσταση στην παρένθεση είναι πάντα θετικός αριθμός. Έτσι A\leq \dfrac{1}{3} (η ισότητα ισχύει όταν n=1).


Prødigy
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 26, 2018 11:39 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2765

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Prødigy » Τρί Μαρ 12, 2019 10:06 pm

Άσκηση 1375

Μία εύκολη:

Αν a^2+b^2+c^2=1 να αποδειχθεί ότι

\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 3+\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}

Πότε ισχύει η ισότητα;


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1450
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2766

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Μαρ 12, 2019 11:46 pm

Prødigy έγραψε:
Τρί Μαρ 12, 2019 10:06 pm
Άσκηση 1375

Μία εύκολη:

Αν a^2+b^2+c^2=1 να αποδειχθεί ότι

\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 3+\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}

Πότε ισχύει η ισότητα;
Αρκεί \displaystyle \sum(\dfrac{1}{a^2}-1) \geqslant 2\sum \dfrac{a^2}{bc}.

Όμως, \dfrac{1}{a^2}-1=\dfrac{b^2+c^2}{a^2} και τα κυκλικά.

Οπότε αρκεί \displaystyle \sum \dfrac{b^2+c^2}{a^2} \geqslant 2\sum \dfrac{a^2}{bc}.

Από AM-GM, είναι \dfrac{2a^2}{bc} \leqslant \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{a^2}{c^2}. Προσθέτοντας τις κυκλικές μ'αυτήν έχουμε τη ζητούμενη.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Prødigy
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 26, 2018 11:39 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2767

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Prødigy » Τετ Μαρ 13, 2019 2:46 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Τρί Μαρ 12, 2019 11:46 pm
Prødigy έγραψε:
Τρί Μαρ 12, 2019 10:06 pm
Άσκηση 1375

Μία εύκολη:

Αν a^2+b^2+c^2=1 να αποδειχθεί ότι

\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 3+\frac{2(a^3+b^3+c^3)}{abc}

Πότε ισχύει η ισότητα;
Αρκεί \displaystyle \sum(\dfrac{1}{a^2}-1) \geqslant 2\sum \dfrac{a^2}{bc}.

Όμως, \dfrac{1}{a^2}-1=\dfrac{b^2+c^2}{a^2} και τα κυκλικά.

Οπότε αρκεί \displaystyle \sum \dfrac{b^2+c^2}{a^2} \geqslant 2\sum \dfrac{a^2}{bc}.

Από AM-GM, είναι \dfrac{2a^2}{bc} \leqslant \dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{a^2}{c^2}. Προσθέτοντας τις κυκλικές μ'αυτήν έχουμε τη ζητούμενη.
Ωραία η λύση του Ορέστη!
Υπάρχει και άλλη λύση που απαιτεί μονάχα γνώσεις Γ' Γυμνασίου!


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4221
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2768

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Μαρ 25, 2019 12:14 pm

Ας δούμε και την λύση που είναι κατανοητή από μαθητές Γ Γυμνασίου:

Είναι:

\displaystyle{(\frac{a}{b}-\frac{a}{c})^2 \geq 0}

\displaystyle{(\frac{b}{c}-\frac{b}{a})^2 \geq 0}

\displaystyle{(\frac{c}{a}-\frac{c}{b})^2 \geq 0}

Με πρόσθεση κατά μέλη και αφού κάνουμε τα αναπτύγματα παίρνουμε:

\displaystyle{\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}-2\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{b^2}{c^2}-2\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}-2\frac{c^2}{ab}\geq 0}

Και άρα:

\displaystyle{\frac{a^2 +b^2}{c^2}+\frac{b^2 +c^2}{a^2}+\frac{c^2 +a^2}{b^2}\geq 2(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab})}

Και συνεπώς:

\displaystyle{\frac{1-c^2}{c^2}+\frac{1-a^2}{a^2}+\frac{1-b^2}{b^2}\geq 2 \frac{a^3 +b^3 +c^3}{abc}}

ή

\displaystyle{\frac{1}{c^2}-1+\frac{1}{a^2}-1 +\frac{1}{b^2}-1\geq \frac{2(a^3 +b^3 +c^3 )}{abc}} ,

ή

\displaystyle{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq 3+\frac{2(a^3 +b^3 +c^3 )}{abc}}


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4221
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2769

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Μάιος 29, 2019 6:38 pm

ΑΣΚΗΣΗ 1376 Να βρεθεί το ψηφίο των μονάδων του αριθμού:

\displaystyle{A=17^{n^4 +2n^3 -n^2 -2n +3}}, για τις διάφορες τιμές του φυσικού αριθμού n.


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 326
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2770

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Μάιος 29, 2019 7:13 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Τετ Μάιος 29, 2019 6:38 pm
ΑΣΚΗΣΗ 1376 Να βρεθεί το ψηφίο των μονάδων του αριθμού:

\displaystyle{A=17^{n^4 +2n^3 -n^2 -2n +3}}, για τις διάφορες τιμές του φυσικού αριθμού n.
Είναι n^4+2n^3-n^2-2n+3=n(n^2-1)(n+2)+3\equiv 3(\mod4)


Έστω n^4+2n^3-n^2-2n+3=4k+3,k\in \mathbb{Z}

Είναι 17^{n^4+2n^3-n^2-2n+3}\equiv 7^{4k+3}\equiv 7^3\cdot 7^{4k}\equiv 3\cdot 1^k\equiv 3(\mod10)

Άρα ο 17^{n^4+2n^3-n^2-2n+3} λήγει πάντα σε 3.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης