Θεωρία ομάδων 1

Ιστοσελίδα · #1

Να αποδειχθεί ότι οι ομάδες :
G=<x,y,z| x^2 = y^3 = z^4=1>

,

ΔΕΝ είναι ισόμορφες.

Δεν έχω σίγουρα σωστή απάντηση...

#2

Έχω την εντύπωση ότι αυτές οι ασκήσεις είναι πολύ δύσκολες. (Γενικά νομίζω ότι δεν υπάρχει αλγόριθμος που να αποφασίζει αν δυο παραστάσεις ομάδων παριστάνουν ισόμορφες ομάδες.) Νομίζω ότι η ακόλουθη προσέγγιση είναι σωστή. Για να δούμε:

Έστω S_4

η συμμετρική ομάδα των μεταθέσεων του συνόλου $\{1,2,3,4\}$ .

Ορίζω ομομορφισμό $\phi:G \to S__4$ ως εξής: Ορίζω $\phi(x) = (12), \phi(y) = (123)$ και $\phi(z) = (1234)$ και επεκτείνω. (Αυτό επιτρέπεται γιατί υπάρχει μοναδική επέκταση της $\phi:\{x,y,z\} \to S_4$ σε ομομορφισμό $\phi: \langle x,y,z \rangle \to S_4$ και εύκολα ελέγχεται ότι σε αυτήν την επέκταση $\phi(x^2) = \phi(y^3) = \phi(z^4) = 1$ , και άρα παίρνω ένα καλώς ορισμένο ομομορφισμό $\phi:G \to S_4$ .) Παρατηρώ επίσης ότι ο ομομορφισμός $\phi$ είναι επί.

Ισχυρίζομαι ότι δεν υπάρχει επί ομομορφισμός $\theta:H \to S_4$ . Πράγματι αν υπήρχε, τότε θα έπρεπε τα $\theta(u),\theta(v),\theta(w)$ να μην είναι ταυτοτικά, αλλιώς ο ομομορφισμός δεν θα ήταν επί. Αλλά τότε το $\theta(uv)$ είναι στοιχείο τάξης 6 στο S_4

. Όμως τέτοια στοιχεία δεν υπάρχουν στο S_4

, άτοπο.

Θα χαρώ να δω και διαφορετικές προσεγγίσεις.

giannispapav · #3

Μια κάπως διαφορετική προσέγγιση:

Η πρώτη ομάδα είναι προφανώς η $G=\mathbb{Z}_2\ast \mathbb{Z}_3 \ast \mathbb{Z}_4$ ενώ η δεύτερη είναι η $H=\mathbb{Z}_6 \ast \mathbb{Z}_4$ .

Οι ομάδες αυτές δεν μπορεί να είναι ισόμορφες (για παράδειγμα από τη μοναδικότητα της Grushko διάσπασης)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

giannispapav έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 19, 2021 8:30 am
Μια κάπως διαφορετική προσέγγιση:

Η πρώτη ομάδα είναι προφανώς η $G=\mathbb{Z}_2\ast \mathbb{Z}_3 \ast \mathbb{Z}_4$ ενώ η δεύτερη είναι η $H=\mathbb{Z}_6 \ast \mathbb{Z}_4$ .

Οι ομάδες αυτές δεν μπορεί να είναι ισόμορφες (για παράδειγμα από τη μοναδικότητα της Grushko διάσπασης)

Από που προκύπτουν αυτά ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

polysot έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 14, 2010 10:38 am
Να αποδειχθεί ότι οι ομάδες :
,

ΔΕΝ είναι ισόμορφες.

Δεν έχω σίγουρα σωστή απάντηση...

Νομίζω ότι η εκφώνηση είναι ελλιπής.
Ετσι όπως έχουν δοθεί οι ομάδες δεν είναι πλήρως καθορισμένες.
Ετσι δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν είναι ισόμορφες.
Εκείνο που έδειξε ο Δημήτρης είναι ότι υπάρχουν ομάδες που πληρούν τις σχέσεις που δίνονται
και δεν είναι ισόμορφες.

stranger · #6

Μια παράσταση ομάδας ορίζει μια ομάδα ως προς ισομορφισμό, αφού πχ η ελεύθερη ομάδα τάξης 3 είναι η ελεύθερη ομάδα πάνω σε οποιοδήποτε σύνολο 3 στοιχείων.Προφανώς το μόνο που αλλάζει είναι η ονομασία των στοιχείων, το οποίο σημαίνει ότι οι ελεύθερες ομάδες ορίζονται ως προς ισομορφισμό.
Τώρα αν έχουμε μια ελευθερη ομάδα

πάνω στο σύνολο

και έστω

ένα υποσύνολο της

(το σύνολο

παίζει το ρόλο των σχέσεων), τότε ορίζουμε την παράσταση <F|W>

να είναι η ομάδα F/<W>

, δηλαδή το πηλίκο της

με την ελάχιστη κανονική υποομάδα της

που περιέχει το

. Οπότε καταλήγουμε πως οι παραστάσεις ομάδων ορίζουν ομάδες ως προς ισομορφισμό.
Άρα αντίθετα με αυτά που είπε ο Σταύρος η ερώτηση είναι σωστά τοποθετημένη.

giannispapav · #7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 19, 2021 2:40 pm

giannispapav έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 19, 2021 8:30 am
Μια κάπως διαφορετική προσέγγιση:

Η πρώτη ομάδα είναι προφανώς η $G=\mathbb{Z}_2\ast \mathbb{Z}_3 \ast \mathbb{Z}_4$ ενώ η δεύτερη είναι η $H=\mathbb{Z}_6 \ast \mathbb{Z}_4$ .

Οι ομάδες αυτές δεν μπορεί να είναι ισόμορφες (για παράδειγμα από τη μοναδικότητα της Grushko διάσπασης)
Από που προκύπτουν αυτά ;

Αν $G_1=\langle X_1| R_1\rangle$ και $G_2=\langle X_2| R_2\rangle$ τότε χρησιμοποιώντας την καθολική συνθήκη των ελευθέρων γινομένων μπορεί να αποδειχθεί ότι $G_1\ast G_2=\langle X_1\sqcup X_2| R_1\sqcup R_2\rangle$

Θεωρία ομάδων 1

Θεωρία ομάδων 1

Re: Θεωρία ομάδων 1

Re: Θεωρία ομάδων 1

Re: Θεωρία ομάδων 1

Re: Θεωρία ομάδων 1

Re: Θεωρία ομάδων 1

Re: Θεωρία ομάδων 1

Μέλη σε σύνδεση