Κάτι μη αρνητικό
Συντονιστής: Demetres
Κάτι μη αρνητικό
Την έλαβα πριν λίγο και δεν έχω λύση : Οι : , είναι πραγματικοί . Δείξτε ότι οι :
, δεν γίνεται να είναι όλοι αρνητικοί .
, δεν γίνεται να είναι όλοι αρνητικοί .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Κάτι μη αρνητικό
Ενδιαφέρον.
Για να υπάρχει, βάζω απλή λύση με Διανύσματα (όπως υπονοεί η φράση με απόκρυψη) εν αναμονή καθαρά
αλγεβρικής.
Κοιτάμε τα τέσσερα διανύσματα . Οι παραστάσεις που δίνονται είναι τα (έξι) εσωτερικά γινόμενα
αυτών των διανυσμάτων. Κάποια από τις γωνίες μεταξύ των τεσσάρων διανυσμάτων είναι υποχρεωτικά μικρότερη ή ίση των (αν ήταν όλες μεγαλύτερες των , ένας πλήρης κύκλος θα ήταν ). Ένα ζεύγος με γωνία μικρότερη ή ίση των έχει το συνημίτονο αυτής της γωνίας . Άρα το εσωτερικό τους γινόμενο είναι επίσης . Aυτό είναι το ζητούμενο.
Η απόδειξη προσαρμόζεται σε Γεωμετρική, με χρήση του Νόμου των συνημιτόνων. Ίσως από εκεί προσαρμόζεται σε καθαρά αλγεβρική. Δεν το κοίταξα.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Κάτι μη αρνητικό
Ας δούμε και μια καθαρά αλγεβρική. Δεν ξέρω αν υπάρχει κάτι καλύτερο. Υποθέτουμε προς άτοπο ότι είναι όλα αρνητικά.
Περίπτωση 1: Τουλάχιστον τρία από τα έχουν το ίδιο πρόσημο. Από συμμετρία μπορώ να υποθέσω τα . Πολλαπλασιάζοντας όλους τους αριθμούς με , τα παραμένουν αρνητικά αλλά τα αλλάζουν πρόσημο. Μπορώ λοιπόν να υποθέσω ότι . Τότε . Ομοίως έχω και . Τότε όμως , άτοπο.
Από συμμετρία το ίδιο συμβαίνει αν τουλάχιστον τρία από τα έχουν το ίδιο πρόσημο.
Περίπτωση 2: Κάποιος από τους είναι ίσος με . Από συμμετρία μπορώ να υποθέσω ο . Τότε οπότε τα έχουν το ίδιο πρόσημο, άτοπο.
Άρα από τα δύο είναι θετικά και δύο αρνητικά. Έστω και . Τότε τα και είναι αρνητικά. Χωρίς βλάβη της γενικότητας και . (Αν π.χ. και τότε αλλάζοντας τις τιμές των αναγόμαστε στην περίπτωση .)
Τότε
Πολλαπλασιάζοντας τα πιο πάνω καταλήγουμε σε άτοπο.
Περίπτωση 1: Τουλάχιστον τρία από τα έχουν το ίδιο πρόσημο. Από συμμετρία μπορώ να υποθέσω τα . Πολλαπλασιάζοντας όλους τους αριθμούς με , τα παραμένουν αρνητικά αλλά τα αλλάζουν πρόσημο. Μπορώ λοιπόν να υποθέσω ότι . Τότε . Ομοίως έχω και . Τότε όμως , άτοπο.
Από συμμετρία το ίδιο συμβαίνει αν τουλάχιστον τρία από τα έχουν το ίδιο πρόσημο.
Περίπτωση 2: Κάποιος από τους είναι ίσος με . Από συμμετρία μπορώ να υποθέσω ο . Τότε οπότε τα έχουν το ίδιο πρόσημο, άτοπο.
Άρα από τα δύο είναι θετικά και δύο αρνητικά. Έστω και . Τότε τα και είναι αρνητικά. Χωρίς βλάβη της γενικότητας και . (Αν π.χ. και τότε αλλάζοντας τις τιμές των αναγόμαστε στην περίπτωση .)
Τότε
Πολλαπλασιάζοντας τα πιο πάνω καταλήγουμε σε άτοπο.
Re: Κάτι μη αρνητικό
Υποθέτοντας ότι κανείς από τους πραγματικούς αριθμούς , δεν είναι μηδέν , δημιουργούμε τον πίνακα
του σχήματος , στον οποίο το πολύ στοιχεία της γραμμής όπως και της είναι αρνητικά .
Αν δύο στοιχεία κάποιας στήλης είναι θετικά , θετικό θα είναι και το αντίστοιχο της γραμμής , οπότε τελειώσαμε .
Θεωρώντας λοιπόν τρία αρνητικά στην γραμμή στη γραμμή , μεταβαίνω στην και θεωρώ αρνητικά
τα δύο γινόμενα που βρίσκονται κάτω από θετικά . Τότε όμως ένα άλλο γινόμενο της γραμμής θα είναι θετικό
και θα βρίσκεται κάτω από επίσης θετικό της ...
Σημείωση : Αν : , τότε : ( ομόσημοι )
Σημείωση 2 : Το τελευταίο γινόμενο της γραμμής είναι και όχι
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης