U553 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Συντονιστής: Demetres
-
- Δημοσιεύσεις: 1292
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
U553 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Σας προτείνω το θέμα U553 από το τρίτο τεύχος των Mathematical Reflections του 2021. Η ημερομηνία υποβολής λύσεων παρήλθε και έτσι μπορώ να το μοιραστώ μαζί σας. Το θέμα πρότεινε ο Αdrian Andreescu από το Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Ντάλλας. Είναι ένα καλό θέμα εξάσκησης για πρωτοετείς φοιτητές που παρακολουθούν το υποχρεωτικό μάθημα της Γραμμικής Άλγεβρας. Την εποχή των δεσμών, θα ήταν μία ωραία άσκηση...
Έστω πίνακας τέτοιος ώστε
Aποδείξτε ότι οι πίνακες και είναι αντιστρέψιμοι.
Έστω πίνακας τέτοιος ώστε
Aποδείξτε ότι οι πίνακες και είναι αντιστρέψιμοι.
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: U553 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Απλά παρατηρούμε ότι
άρα είναι και οι δύο πίνακες αντιστρέψιμοι.
άρα είναι και οι δύο πίνακες αντιστρέψιμοι.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: U553 ΑΠΟ MATHEMATICAL REFLECTIONS
Για να δούμε τους βαθύτερους λόγους που είναι αντιστρέψιμα.ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 18, 2021 9:43 am
Έστω πίνακας τέτοιος ώστε
Aποδείξτε ότι οι πίνακες και είναι αντιστρέψιμοι.
Έστω πίνακας τέτοιος ώστε
Αν θεωρήσουμε ένα πολυώνυμο ώστε ΜΚΔ
η ισοδύναμα
τότε ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος.
1Απόδειξη
Λόγω της ΜΚΔ υπάρχουν πολυώνυμα με
Αρα
που δίνει το ζητούμενο.
2Απόδειξη.
Επειδή το ελάχιστο πολυώνυμο του πίνακα είναι διαιρέτης του
θα είναι γινόμενο διαφορετικών πρωτοβαθμίων παραγόντων.
Αρα ο πίνακας θα είναι διαγωνίσιμος (διαγωνοποιήσιμος).
Είναι εύκολο να δειχθεί ότι ο θα είναι όμοιος με διαγώνιο που τα στοιχεία της διαγωνίου θα είναι
κάποια από τα.
Επειδή αυτά είναι μη μηδενικά είναι αντιστρέψιμος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες