Ομάδες Galois ορισμένων εξισώσεων έκτου βαθμού

[mecheng]

Πως μπορεί να βρεθεί η ομάδα Galois που ανήκει μια πολυωνυμική εξίσωση.

Για παράδειγμα, οι παρακάτω εξισώσεις έκτου βαθμού σε τι ομάδα galois ανήκουν:

Ax^6 + Bx^5 + Cx^4 + Dx^3 + Ex^2 + FX + Z = 0
Ax^6 + Bx^4 + Cx^3 + Dx^2 + EX + Z = 0
Ax^6 + Bx^3 + Cx^2 + DX + E = 0
Ax^6 + Bx^2 + CX + D = 0
Ax^6 + BX + C = 0
Ax^6 + Bx^3 + CX + D = 0
Ax^6 + Bx^4 + CX + D = 0
Ax^6 + Bx^4 + Cx^2 + DX + E = 0

Έχω βρει διάφορα papers τα οποία προσπαθούν μαθηματικοί να προσδιορίσουν την ομάδα galois κάποιου πολωνύμου και η αποδεικτική διαδικασία παίρνει πολλές σελίδες, δεν μπορώ να καταλάβω τι κάνουνε.

Γνωρίζω ελάχιστα πράγματα για την θεωρία του Galois.

[mick7]

Γνωρίζω ελάχιστα πράγματα για την θεωρία του Galois.

Βρίσκεις τότε κάποιο βιβλίο με την σχετική θεωρία και αρχίζεις να το διαβάζεις ώστε να αποκτήσεις τα γνωστικά εργαλεία για να αντιμετωπίσεις μονός σου τα προβλήματα...Πχ αυτό --->https://repository.kallipos.gr/handle/11419/731
Φαντάζομαι υπάρχει πληθώρα επιλογών στο διαδίκτυο...

[bouzoukman]

Απ'οσο γνωρίζω το πρόβλημα που ρωτάς δεν είναι και τόσο εύκολο στην γενική μορφή του και μπορεί να πάρει διαφορετικές μορφές ανάλογα με το τι σε ενδιαφέρει. Για παράδειγμα, θες τη γενική περιγραφή για όλα τα πιθανά , θέλεις για δοσμένο πολυώνυμο 6ου βαθμού κτλ.

Αν είναι ο βαθμός του πολυωνύμου που σε ενδιαφέρει, για εσένα , τότε κάτι μπορεί να πει κανείς κοιτάζοντας κάποιες αναλλοίωτες των πολυωνύμων. Για παράδειγμα, για κάποιος μπορεί να βγάλει συμπεράσματα από τη διακρίνουσα. Για πιο μεγάλα το πράγμα γίνεται αρκετά πιο πολύπλοκο μιας και η ομάδα γίνεται πιο πολύπλοκη! Μπορείς εύκολα να βρεις κάποιες αρχικές πληροφορίες για την , δες εδώ, και αυτό που σε ενδιαφέρει είναι οι διαφορετικές κλάσεις υποομάδων ως προς συζυγία. Η ομάδα Galois που ψάχνεις θα είναι ισόμορφη με μία από αυτές τις αλλά σίγουρα δεν είναι εύκολο να βρεις ποια ακριβώς είναι χωρίς να παιδευτείς πολύ!

Αν δώσεις περισσότερες πληροφορίες για το τι ακριβώς σε ενδιαφέρει εσένα ή από που προήλθε το πρόβλημα που ρωτάς, ίσως μπορούμε να πούμε κάτι παραπάνω.

ΥΓ: Γράψε σε Latex και ακριβέστερα που ανήκουν τα !

[mecheng]

Κατάλαβα, χρειάζεται πολύ προσπάθεια και δεν είναι εύκολη η απάντηση.

Απλά γράφω ένα άρθρο με μια μέθοδο για τον προσδιορισμό προσεγγιστικών λύσεων σε εξισώσεις έκτου βαθμού και μέσα στις διάφορες θεωρητικές πληροφορίες της εισαγωγής με την ανασκόπηση της βιβλιογραφίας ήθελα να εμπλουτίσω το άρθρο μου με την ομάδα galois που ανήκει η κάθε πολυωνυμική εξίσωση που εξετάζω.

Ψάχνω διάφορα πράγματα για τα πολυώνυμα και τις ρίζες τους εδώ και χρόνια, δεν είμαι μαθηματικός. Η θεωρία Galois έχει πολύ ενδιαφέρον, έχω προσπαθήσει να την μελετήσω, μια ιδέα και εμπειρία στο περίπου την έχω αποκτήσει, αλλά αποτυγχάνω συνολικά να αντιληφθώ τι παίζει γιατί απαιτεί και άλλες γνώσεις ανώτερων μαθηματικών, θεωρία ομάδων, σωμάτων, μεταθέσεων, κάποιοι συμβολισμοί, ομάδες τετριμμένες, αβελιανές, ισομορφισμοί κτλ. Οτι έχω μάθει είναι από διάφορα tutorials που εξηγούν απλοϊκά ορισμένες πτυχές της θεωρίας με διάφορα παραδείγματα.

Edit: Θα κρατήσω αυτή το αρχείο από το repository, μπορεί να φανεί χρήσιμο.

[stranger]

Γνωρίζω ελάχιστα πράγματα για την θεωρία του Galois.

Σου προτείνω το Galois Theory του Ian Stewart. Ξεκίνα!

[mecheng]

Ευχαριστώ, θα το έχω στα υπόψην.