Ύπαρξη ομάδων

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4682
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ύπαρξη ομάδων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Απρ 21, 2021 4:00 pm

Υπάρχουν απλές ομάδες τάξης p(p+1) όπου p πρώτος;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3383
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ύπαρξη ομάδων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Απρ 22, 2021 10:24 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Απρ 21, 2021 4:00 pm
Υπάρχουν απλές ομάδες τάξης p(p+1) όπου p πρώτος;
Δεν υπάρχουν.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8677
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ύπαρξη ομάδων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Απρ 23, 2021 1:37 pm

Ας δούμε μια απόδειξη ότι η G δεν είναι απλή. Έστω G μια ομάδα τάξης p(p+1).

Έστω n_p το πλήθος των Sylow p-υποομάδων της G. Από τα θεωρήματα Sylow, n_p \equiv 1 \bmod p. Άρα n_p = 1 ή n_p = p+1. Δεν μπορούμε να έχουμε n_p \geqslant 2p+1 αφού τότε θα είχαμε |G| \geqslant 1 + 2p^2 > p(p+1).

Αν n_p = 1, τότε η G έχει μόνο μια υποομάδα τάξης p, έστω την H. Επειδή η g^{-1}Hg είναι επίσης υποομάδα τάξης p, τότε g^{-1}Hg = H για κάθε g \in G, άρα η H είναι κανονική υποομάδα της G και άρα η G δεν είναι απλή.

Αν n_p = p+1 τότε η G έχει (p+1)(p-1) = p^2-1 στοιχεία τάξης p. Άρα έχει και p μη τετριμμένα στοιχεία τάξης διάφορης του p, έστω τα x_1,\ldots,x_p. Θα δείξουμε ότι όλα αυτά τα στοιχεία είναι συζυγή. Αν το δείξουμε αυτό τότε μπορούμε να τελειώσουμε ως εξής: Έστω q πρώτος ώστε q|p+1. Τότε ένα από τα x_i θα έχει τάξη q, άρα (αφού είναι συζυγή) όλα θα έχουν τάξη q. Άρα το p+1 διαιρείται μόνο από έναν πρώτο q, δηλαδή είναι δύναμη πρώτου, έστω p+1 = q^m. Πάλι από τα Θεωρήματα Sylow υπάρχει Sylow q-υποομάδα μεγέθους q^m η οποία πρέπει να είναι μοναδική αφού υπάρχουν μόνο p+1 = q^m στοιχεία τάξης διάφορης του q. Όπως και στην προηγούμενη παράγραφο καταλήγουμε στο ότι η G δεν είναι απλή.

Μένει λοιπόν να δείξουμε ότι τα x_1,\ldots,x_p είναι συζυγή. Έστω P μια Sylow p-υποομάδα. Κοιτάζουμε το σύνολο A = \{gx_1g^{-1}:g \in P\}. Αν το σύνολο περιέχει λιγότερα από p στοιχεία, τότε υπάρχουν g_1,g_2 \in P με g_1 \neq g_2 ώστε g_1x_1g_1^{-1} = g_2x_1g_2^{-1} το οποίο δίνει gx_1 = xg_1 όπου g = g_2^{-1}g_1 \in P. Επειδή g \neq 1 και P κυκλική το g είναι γεννήτορας της P και άρα x_1Px_1^{-1} = P. Όμως από τα θεωρήματα Sylow έχουμε |N_G(P)| = |G|/n_p = p. Δηλαδή υπάρχουν ακριβώς p στοιχεία g \in G ώστε gP = Pg τα οποία δεν μπορεί να είναι άλλα από τα στοιχεία του P. Αυτό αντιβαίνει στο x_1P = Px_1 το οποίο έχουμε δείξει.

Επομένως το σύνολο A πιο πάνω έχει p στοιχεία τα οποία δεν μπορεί να είναι άλλα από τα x_1,\ldots,x_p αφού είναι τα μόνα μη τετριμμένα στοιχεία με τάξη διάφορη του p. Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Ίσως να υπάρχει κάτι πιο σύντομο στην περίπτωση n_p = p+1 αλλά δεν το βλέπω.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3383
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ύπαρξη ομάδων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Απρ 23, 2021 8:53 pm

Demetres έγραψε:
Παρ Απρ 23, 2021 1:37 pm
Ας δούμε μια απόδειξη ότι η G δεν είναι απλή. Έστω G μια ομάδα τάξης p(p+1).

Έστω n_p το πλήθος των Sylow p-υποομάδων της G. Από τα θεωρήματα Sylow, n_p \equiv 1 \bmod p. Άρα n_p = 1 ή n_p = p+1. Δεν μπορούμε να έχουμε n_p \geqslant 2p+1 αφού τότε θα είχαμε |G| \geqslant 1 + 2p^2 > p(p+1).

Αν n_p = 1, τότε η G έχει μόνο μια υποομάδα τάξης p, έστω την H. Επειδή η g^{-1}Hg είναι επίσης υποομάδα τάξης p, τότε g^{-1}Hg = H για κάθε g \in G, άρα η H είναι κανονική υποομάδα της G και άρα η G δεν είναι απλή.

Αν n_p = p+1 τότε η G έχει (p+1)(p-1) = p^2-1 στοιχεία τάξης p. Άρα έχει και p μη τετριμμένα στοιχεία τάξης διάφορης του p, έστω τα x_1,\ldots,x_p. Θα δείξουμε ότι όλα αυτά τα στοιχεία είναι συζυγή. Αν το δείξουμε αυτό τότε μπορούμε να τελειώσουμε ως εξής: Έστω q πρώτος ώστε q|p+1. Τότε ένα από τα x_i θα έχει τάξη q, άρα (αφού είναι συζυγή) όλα θα έχουν τάξη q. Άρα το p+1 διαιρείται μόνο από έναν πρώτο q, δηλαδή είναι δύναμη πρώτου, έστω p+1 = q^m. Πάλι από τα Θεωρήματα Sylow υπάρχει Sylow q-υποομάδα μεγέθους q^m η οποία πρέπει να είναι μοναδική αφού υπάρχουν μόνο p+1 = q^m στοιχεία τάξης διάφορης του q. Όπως και στην προηγούμενη παράγραφο καταλήγουμε στο ότι η G δεν είναι απλή.

Μένει λοιπόν να δείξουμε ότι τα x_1,\ldots,x_p είναι συζυγή. Έστω P μια Sylow p-υποομάδα. Κοιτάζουμε το σύνολο A = \{gx_1g^{-1}:g \in P\}. Αν το σύνολο περιέχει λιγότερα από p στοιχεία, τότε υπάρχουν g_1,g_2 \in P με g_1 \neq g_2 ώστε g_1x_1g_1^{-1} = g_2x_1g_2^{-1} το οποίο δίνει gx_1 = xg_1 όπου g = g_2^{-1}g_1 \in P. Επειδή g \neq 1 και P κυκλική το g είναι γεννήτορας της P και άρα x_1Px_1^{-1} = P. Όμως από τα θεωρήματα Sylow έχουμε |N_G(P)| = |G|/n_p = p. Δηλαδή υπάρχουν ακριβώς p στοιχεία g \in G ώστε gP = Pg τα οποία δεν μπορεί να είναι άλλα από τα στοιχεία του P. Αυτό αντιβαίνει στο x_1P = Px_1 το οποίο έχουμε δείξει.

Επομένως το σύνολο A πιο πάνω έχει p στοιχεία τα οποία δεν μπορεί να είναι άλλα από τα x_1,\ldots,x_p αφού είναι τα μόνα μη τετριμμένα στοιχεία με τάξη διάφορη του p. Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Ίσως να υπάρχει κάτι πιο σύντομο στην περίπτωση n_p = p+1 αλλά δεν το βλέπω.
Η δική μου απόδειξη είναι παρόμοια.
Η διαφορά από την απόδειξη του Δημήτρη είναι ότι δείχνω
C(x_1)=\left \{ t\in G:tx_1=x_1t \right \}=\left \{ e,x_1,....x_p \right \}

οπότε επειδή είναι συζυγή αποτελούν κανονική υποομάδα.

Η απόδειξη του Δημήτρη δίνει επιπλέον πληροφορίες για της ομάδες τάξης p(p+1).
Συγκεκριμένα η σχέση p+1 = q^m για p>2 δίνει ότι θα πρέπει
q=2 και m πρώτος.
Δηλαδή ο p είναι πρώτος του Mersenne.

Ετσι μπορούμε να πούμε ότι αν ο p δεν είναι πρώτος του Mersenne,αλλά πρώτος
τότε κάθε ομάδα με p(p+1) στοιχεία
έχει μοναδική υποομάδα με p στοιχεία.


giannispapav
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Πέμ Σεπ 14, 2017 5:59 pm

Re: Ύπαρξη ομάδων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannispapav » Κυρ Ιούλ 18, 2021 11:22 pm

Άλλη μια προσπάθεια (αν και έχει περάσει αρκετός καιρός ...)

Στην περίπτωση που έχουμε n_p=p+1 τότε θα είναι N_G(P)=P. Άρα μπορούμε να εφαρμόσουμε το Normal Complement Theorem του Burnside οπότε υπάρχει κανονική υποομάδα N\lhd G έτσι ώστε G=NP και N\cap P=1. Συνεπώς |N|=p+1 και άρα η G δεν είναι απλή.


https://ysharifi.wordpress.com/2011/01/ ... theorem-3/


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης