Τανυστές

Tolaso J Kos · #1

Έστω $V_1, V_2, W_1, W_2, U_1, U_2 \in \; \mathbb{K}$ -Vect, $V_1 \xrightarrow{\;\; \alpha_1 \;\; }W_1 \xrightarrow{\;\; \beta_1 \;\; }U_1, V_2 \xrightarrow{\alpha_2}W_2 \xrightarrow{\beta_2}U_2 ;\; \mathbb{K}$ -linear. Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle (\beta_1 \otimes \beta_2)(\alpha_1 \otimes \alpha_2)=(\beta_1 \alpha_1)\otimes(\beta_2 \alpha_2)$

BAGGP93 · #2

Γενικά αν $T:X\to Z$ και $S:Y\to W$ είναι $\mathbb{K}$ γραμμικές απεικονίσεις τότε ορίζεται η γραμμική απεικόνιση

$T\otimes S:X\otimes Y\to Z\otimes W$

μοναδική ως προς την ιδιότητα $(T\otimes S)(x\otimes y)=T(x)\otimes S(y)\,,\forall\,x\in X\,,y\in Y$ .

Έχουμε διαδοχικά $\beta_1\otimes \beta_2:W_1\otimes W_2\to U_1\otimes U_2\,\,,a_1\otimes a_2: V_1\otimes V_2\to W_1\otimes W_2$ και από την

άλλη $\beta_1\,a_1:V_1\to W_1\,\,,\beta_2\,a_2:V_2\to W_2$ , οπότε $(\beta_1\,a_1)\otimes (\beta_2\,a_2):V_1\otimes V_2\to W_1\otimes W_2$

Οι γραμμικές απεικονίσεις $(\beta_1\otimes \beta_2)\,(a_1\otimes a_2)\,\,,(\beta_1\,a_1)\otimes (\beta_2\,a_2)$ έχουν κοινή αφετηρία το $V_1\otimes V_2$

και στους στοιχειώδεις τένσορες $x\otimes y\in V_1\otimes V_2\,,x\in V_1\,,y\in V_2$ έχουμε διαδοχικά

$\begin{aligned}((\beta_1\otimes \beta_2)\,(a_1\otimes a_2))(x\otimes y)&=\beta_1\otimes \beta_2(a_1(x)\otimes a_2(y))\\&=\beta_1\,(a_1(x))\otimes \beta_2(a_2(y))\\&=(\beta_1\,a_1)(x)\otimes (\beta_2\,a_2)(y)\\&=(\beta_1\,a_1)\otimes (\beta_2\,a_2)(x\otimes y) \end{aligned}$

Τανυστές

Τανυστές

Re: Τανυστές

Μέλη σε σύνδεση