Όριο μοναδιαίου πίνακα

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4579
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο μοναδιαίου πίνακα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Φεβ 07, 2021 12:24 am

Έστω A μοναδιαίος ( unitary ) και v \in \mathbb{C}^n. Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell=  \lim_{m \rightarrow +\infty} \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m A^iv}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13328
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο μοναδιαίου πίνακα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Φεβ 07, 2021 9:06 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Φεβ 07, 2021 12:24 am
Έστω A μοναδιαίος ( unitary ) και v \in \mathbb{C}^n. Να υπολογιστεί το όριο:

\displaystyle{\ell=  \lim_{m \rightarrow +\infty} \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m A^iv}
Έστω M o υπόχωρος M=\{Au-u / u \in \mathbb{C}^n \} . Κάθε διάνυσμα γράφεται ως v= w+n όπου w\in M και n\in M^{\perp } . Θα δείξουμε ότι

\displaystyle{ \lim_{m \rightarrow +\infty} \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m A^iv}= n}. Με άλλα λόγια, αν P η προβολή στον M, τότε \displaystyle{ \lim_{m \rightarrow +\infty} \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m A^i =I-P}}

Πράγματι, αν n\in M^{\perp} έχουμε για κάθε u ότι

\displaystyle{0= <n, Au-u>= <n,Au>-<n,u>=<A^*n,u>-<n,u>=<A^*n-n,u>} άρα A^*n-n=0. Αλλά A unitary, άρα An=AA^*n=n και επαγωγικά A^kn=n. Έχουμε τότε για κάποιο u

\displaystyle{ \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m A^iv=  \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m A^i (w+n)= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m A^i w + \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m A^i n=}

\displaystyle{= \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m A^i (Au-u) + \frac{1}{m} \sum_{i=1}^m n= \frac{1}{m} (A^{m+1}u-u) + n \, (*)}.

Αλλά \displaystyle{ ||A^{m+1}u|| \le ||A||^{m+1} ||u|| =||u||} (διότι A unitary). Άρα στο δεξί μέλος της (*) έχουμε \displaystyle{||\frac{1}{m} (A^{m+1}u-u) || \le \frac{1}{m} ||A^{m+1}u|| + \frac{1}{m} ||u ||\to 0}, που σημαίνει ότι το δεξί μέλος της (*) τείνει στο 0+n, όπως θέλαμε.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3350
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο μοναδιαίου πίνακα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Φεβ 09, 2021 12:16 pm

Για να το δούμε διαφορετικά.
Ο πίνακας A σαν unitary είναι κανονικός .
Αρα υπάρχει ορθοκανονική βάση από ιδιοδιανύσματα.
Επίσης κάθε ιδιοτιμή του έχει μέτρο 1.
Εστω τα ιδιδιανύσματα e_1,e_2,....e_k της ιδιοτιμής 1 και e_{k+1},.....e_n
τα ιδιοδιανύσματα των ιδιοτιμων l_{k+1},.....l_n
Είναι σαφές ότι αν το \upsilon
είναι κάποιο από τα e_1,e_2,....e_k τότε το όριο είναι το ίδιο.
Αν το \upsilon είναι από το e_{k+1},.....e_n
τότε το όριο είναι 0 γιατί αν l είναι κάποιο από τα l_{k+1},.....l_n
έχουμε
\sum_{k=1}^{m}l^{k}=l(\frac{l^{m}-1}{l-1})
Ετσι γράφοντας το \upsilon ως \upsilon =\upsilon _{1}+\upsilon _{2}
με \upsilon _{1}\in <e_1,e_2,....e_k>
το όριο είναι το \upsilon_1


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης