Ασκήσεις Άλγεβρας

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Ασκήσεις Άλγεβρας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Δευ Νοέμ 09, 2020 11:43 pm

1) Βρείτε όλες τις ομάδες τάξης 35(ως προς ισομορφισμό).

2) Έστω τα ιδεώδη I και J ενός δακτυλίου.
Δείξτε I \cdot J \subseteq I \cap J. Ισχύει πάντα η ισότητα;


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Δευ Νοέμ 09, 2020 11:51 pm

3) Έστω μια ακέραια περιοχή R ώστε κάθε γνησίως φθίνουσα ακολουθία ιδεωδών της είναι πεπερασμένη.
Δείξτε ότι το R είναι σώμα.
Αποφανθείτε ότι κάθε πεπερασμένη ακέραια περιοχή είναι σώμα.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τρί Νοέμ 10, 2020 3:57 pm

4) Ταξινομήστε όλες τις ομάδες τάξης p^2(ως προς ισομορφισμό), όπου p πρώτος.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4449
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Νοέμ 10, 2020 10:10 pm

stranger έγραψε:
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:51 pm
3) Έστω μια ακέραια περιοχή R ώστε κάθε γνησίως φθίνουσα ακολουθία ιδεωδών της είναι πεπερασμένη.
Δείξτε ότι το R είναι σώμα.
Αποφανθείτε ότι κάθε πεπερασμένη ακέραια περιοχή είναι σώμα.

Μία προσπάθεια ... αν είναι λάθος σχωρέστε με ...!

Αρκεί να δείξουμε ότι κάθε στοιχείο έχει αντίστροφο. Υποθέτουμε ότι υπάρχει \alpha \in \mathcal{R} το οποίο δεν είναι αντιστρέψιμο. Προφανώς,

\displaystyle{\langle \alpha \rangle \supset \langle \alpha^2 \rangle \supset \cdots \supset\langle \alpha^n \rangle}
όπου το \langle \alpha^n \rangle είναι το τελευταίο ιδεώδες στην αλυσίδα. Τώρα, το \langle \alpha^{n+1} \rangle θα πρέπει να είναι ίσο με ένα από τα \langle \alpha^i \rangle όπου 1 \leq i \leq n. Από την άλλη όμως \langle \alpha^n \rangle \supseteq \langle \alpha^{n+1} \rangle και \langle \alpha^i \rangle \supset \langle \alpha^n \rangle . Άρα, \langle \alpha^j \rangle =\langle \alpha^n \rangle για κάθε j \geq n. Αν το \alpha δεν είναι μονάδα (unit) τότε \langle \alpha^{n+1} \rangle \neq \langle \alpha^n \rangle επειδή \alpha^n \in \langle \alpha^{n+1} \rangle , δηλ. \alpha^n = \kappa \alpha^{n+1} για κάποιο \kappa \in \mathcal{R} . Τότε, η \alpha^n(1 - \kappa \alpha ) = 0 συνεπάγεται ότι 1 = \kappa \alpha , το οποίο αντιβαίνει στο γεγονός ότι το \alpha είναι μονάδα.


Ελπίζω να 'μαι σωστός!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τρί Νοέμ 10, 2020 10:23 pm

Είσαι σωστός!


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1420
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Τετ Νοέμ 11, 2020 12:23 pm

stranger έγραψε:
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:43 pm

2) Έστω τα ιδεώδη I και J ενός δακτυλίου.
Δείξτε I \cdot J \subseteq I \cap J. Ισχύει πάντα η ισότητα;
Καλημέρα. Λογικά, εννοείς, αμφίπλευρα ιδεώδη, οπότε δουλεύω με αυτά. Έστω το τυχόν \displaystyle{x=\sum_{i=1}^k x_i\,y_i\in I\cdot J}, όπου x_i\in I\,,y_i\in J\,,i=1,...,k. Για κάθε i=1,...,k

ισχύει ότι x_i\,y_i\in I και ταυτόχρονα x_i\,y_i\in J (αφού I\,,J ιδεώδη), άρα x_i\,y_i\in I\cap J και επειδή I\cap J υποομάδα του δακτυλίου με την πρόσθεση, παίρνουμε ότι \displaystyle{x=\sum_{i=1}^k x_i\,y_i\in I\cap J}
Συνεπώς, I\cdot J\subseteq I\cap J.

Δεν ισχύει πάντα η ισότητα: Πάμε στον αγαπημένο δακτύλιο \mathbb{Z} των ακέραιων αριθμών. Θέτουμε I=4\,\mathbb{Z}\,,J=6\,\mathbb{Z}. Ως γνωστόν, I\cdot J=4\,\mathb{Z}\cdot 6\,\mathbb{Z}=24\,\mathbb{Z} ενώ I\cap J=4\,\mathbb{Z}\cap 6\,\mathbb{Z}=[4,6]\,\mathbb{Z}=12\,\mathbb{Z}
και προφανώς 12\in I\cap J ενώ 12\notin I\cdot J.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Νοέμ 11, 2020 1:19 pm

stranger έγραψε:
Τρί Νοέμ 10, 2020 3:57 pm
4) Ταξινομήστε όλες τις ομάδες τάξης p^2(ως προς ισομορφισμό), όπου p πρώτος.
Υπόδειξη:
Δείξτε πρώτα ότι οι ομάδες αυτές είναι αβελιανές και μετά χρησιμοποιείστε γνωστό θεώρημα.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
tractatus
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Τετ Αύγ 19, 2020 2:43 am

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tractatus » Τετ Νοέμ 11, 2020 1:21 pm

αλλάζει κάτι αν τα ιδεώδη είναι πρώτα ? (ασκ 2)


Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Νοέμ 11, 2020 1:31 pm

tractatus έγραψε:
Τετ Νοέμ 11, 2020 1:21 pm
αλλάζει κάτι αν τα ιδεώδη είναι πρώτα ? (ασκ 2)
Όχι δεν αλλάζει κάτι. Θεώρησε τα ιδεώδη I=J=3 \mathbb{Z} στον δακτύλιο (\mathbb{Z},+,\cdot).
Τότε τα I,J είναι πρώτα, όμως I \cdot J = 9 \mathbb{Z} και I \cap J = 3 \mathbb{Z}, άρα πάλι έχουμε I \cdot J \neq I \cap J.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Νοέμ 11, 2020 2:02 pm

stranger έγραψε:
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:43 pm
1) Βρείτε όλες τις ομάδες τάξης 35(ως προς ισομορφισμό).
Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τα θεωρήματα Sylow. 35=5 \cdot 7.
Αυτή είναι η πιο δύσκολη από τις τέσσερις.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Νοέμ 11, 2020 3:14 pm

5) Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός n, ώστε να υπάρχουν τουλάχιστον τρεις μη ισομορφες ομάδες τάξης n;


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1420
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Τετ Νοέμ 11, 2020 10:30 pm

stranger έγραψε:
Τετ Νοέμ 11, 2020 2:02 pm
stranger έγραψε:
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:43 pm
1) Βρείτε όλες τις ομάδες τάξης 35(ως προς ισομορφισμό).
Έστω ομάδα G με |G|=35=5\cdot 7. Για το πλήθος n_5 των 5-Sylow υποομάδων της G ισχύει n_5 =1 mod 5 και n_5|7, οπότε n_5=1, δηλαδή η G έχει μοναδική υποομάδα τάξης 5, έστω H. Με ίδιο σκεπτικό, υπάρχει μοναδική υποομάδα της G τάξης 7, έστω K. Συνεπώς, H\cap K=\left\{e\right\}. Μάλιστα H\cong \mathbb{Z}_{5}\,\,,K\cong \mathbb{Z}_{7}. Ας παρατηρήσουμε ότι για οποιαδήποτε x\in H\,,y\in K ισχύει x\,y=y\,x. Πράγματι, x\,y(y\,x)^{-1}=x\,y\,x^{-1}\,y^{-1}\in H\cap K (εδώ χρησιμοποιηθήκε το γεγονός ότι H\,,K κανονικές στη G), άρα x\,y\,(y\,x)^{-1}=e\implies x\,y=y\,x, όπως θέλαμε. Τώρα, ορίζουμε την απεικόνιση \displaystyle{f:H\times K\to G\,,f(x,y)=x\,y} η οποία είναι μορφισμός ομάδων αφού f((x,y),(x',y'))=f(x\,x',y\,y;)=x\,x'\,y\,y'=x\,y\,x'\,y'=f(x,y)\,f(x',y') για κάθε x\,,x'\in H\,,y\,,y'\in K. Είναι μονομορφισμός διότι αν (x,y)\in H\times K με f(x,y)=e, τότε x\,y=e\implies x=y^{-1}\implies x\in H\cap K\implies x=e\implies y=e\implies (x,y)=(e,e)=e_{H\times K}
Επιπλέον |H\times K|=\dfrac{|H|\,|K|}{|H\cap K|}=35=|G|, οπότε η f είναι και επί της G. Τελικά, f ισομορφισμός και συνεπώς \displaystyle{G\cong H\times K\cong \mathbb{Z}_{5}\times \mathbb{Z}_{7}\stackrel{(5,7)=1}{\cong}\mathbb{Z}_{35}}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Νοέμ 11, 2020 10:39 pm

BAGGP93 έγραψε:
Τετ Νοέμ 11, 2020 10:30 pm
stranger έγραψε:
Τετ Νοέμ 11, 2020 2:02 pm
stranger έγραψε:
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:43 pm
1) Βρείτε όλες τις ομάδες τάξης 35(ως προς ισομορφισμό).
Έστω ομάδα G με |G|=35=5\cdot 7. Για το πλήθος n_5 των 5-Sylow υποομάδων της G ισχύει n_5 =1 mod 5 και n_5|7, οπότε n_5=1, δηλαδή η G έχει μοναδική υποομάδα τάξης 5, έστω H. Με ίδιο σκεπτικό, υπάρχει μοναδική υποομάδα της G τάξης 7, έστω K. Συνεπώς, H\cap K=\left\{e\right\}. Μάλιστα H\cong \mathbb{Z}_{5}\,\,,K\cong \mathbb{Z}_{7}. Ας παρατηρήσουμε ότι για οποιαδήποτε x\in H\,,y\in K ισχύει x\,y=y\,x. Πράγματι, x\,y(y\,x)^{-1}=x\,y\,x^{-1}\,y^{-1}\in H\cap K (εδώ χρησιμοποιηθήκε το γεγονός ότι H\,,K κανονικές στη G), άρα x\,y\,(y\,x)^{-1}=e\implies x\,y=y\,x, όπως θέλαμε. Τώρα, ορίζουμε την απεικόνιση \displaystyle{f:H\times K\to G\,,f(x,y)=x\,y} η οποία είναι μορφισμός ομάδων αφού f((x,y),(x',y'))=f(x\,x',y\,y;)=x\,x'\,y\,y'=x\,y\,x'\,y'=f(x,y)\,f(x',y') για κάθε x\,,x'\in H\,,y\,,y'\in K. Είναι μονομορφισμός διότι αν (x,y)\in H\times K με f(x,y)=e, τότε x\,y=e\implies x=y^{-1}\implies x\in H\cap K\implies x=e\implies y=e\implies (x,y)=(e,e)=e_{H\times K}
Επιπλέον |H\times K|=\dfrac{|H|\,|K|}{|H\cap K|}=35=|G|, οπότε η f είναι και επί της G. Τελικά, f ισομορφισμός και συνεπώς \displaystyle{G\cong H\times K\cong \mathbb{Z}_{5}\times \mathbb{Z}_{7}\stackrel{(5,7)=1}{\cong}\mathbb{Z}_{35}}
Η δική μου η απόδειξη μοιάζει με τη δική σου πολύ.
Λέμε ότι A= <a> και B=<b> οι μοναδικές κυκλικές υποομάδες τάξεων 5 και 7.
Θα δείξουμε ότι G=<ab>. Βλέπουμε εύκολα ότι τα ab=ba. Άρα (ab)^7 \neq 1 και (ab)^5 \neq 1,άρα τελικά η τάξη του ab είναι 35.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1420
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Τετ Νοέμ 11, 2020 10:45 pm

stranger έγραψε:
Τετ Νοέμ 11, 2020 10:39 pm
BAGGP93 έγραψε:
Τετ Νοέμ 11, 2020 10:30 pm
stranger έγραψε:
Τετ Νοέμ 11, 2020 2:02 pm
stranger έγραψε:
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:43 pm
1) Βρείτε όλες τις ομάδες τάξης 35(ως προς ισομορφισμό).
Έστω ομάδα G με |G|=35=5\cdot 7. Για το πλήθος n_5 των 5-Sylow υποομάδων της G ισχύει n_5 =1 mod 5 και n_5|7, οπότε n_5=1, δηλαδή η G έχει μοναδική υποομάδα τάξης 5, έστω H. Με ίδιο σκεπτικό, υπάρχει μοναδική υποομάδα της G τάξης 7, έστω K. Συνεπώς, H\cap K=\left\{e\right\}. Μάλιστα H\cong \mathbb{Z}_{5}\,\,,K\cong \mathbb{Z}_{7}. Ας παρατηρήσουμε ότι για οποιαδήποτε x\in H\,,y\in K ισχύει x\,y=y\,x. Πράγματι, x\,y(y\,x)^{-1}=x\,y\,x^{-1}\,y^{-1}\in H\cap K (εδώ χρησιμοποιηθήκε το γεγονός ότι H\,,K κανονικές στη G), άρα x\,y\,(y\,x)^{-1}=e\implies x\,y=y\,x, όπως θέλαμε. Τώρα, ορίζουμε την απεικόνιση \displaystyle{f:H\times K\to G\,,f(x,y)=x\,y} η οποία είναι μορφισμός ομάδων αφού f((x,y),(x',y'))=f(x\,x',y\,y;)=x\,x'\,y\,y'=x\,y\,x'\,y'=f(x,y)\,f(x',y') για κάθε x\,,x'\in H\,,y\,,y'\in K. Είναι μονομορφισμός διότι αν (x,y)\in H\times K με f(x,y)=e, τότε x\,y=e\implies x=y^{-1}\implies x\in H\cap K\implies x=e\implies y=e\implies (x,y)=(e,e)=e_{H\times K}
Επιπλέον |H\times K|=\dfrac{|H|\,|K|}{|H\cap K|}=35=|G|, οπότε η f είναι και επί της G. Τελικά, f ισομορφισμός και συνεπώς \displaystyle{G\cong H\times K\cong \mathbb{Z}_{5}\times \mathbb{Z}_{7}\stackrel{(5,7)=1}{\cong}\mathbb{Z}_{35}}
Η δική μου η απόδειξη μοιάζει με τη δική σου πολύ.
Λέμε ότι A= <a> και B=<b> οι μοναδικές κυκλικές υποομάδες τάξεων 5 και 7.
Θα δείξουμε ότι G=<ab>. Βλέπουμε εύκολα ότι τα ab=ba. Άρα (ab)^7 \neq 1 και (ab)^5 \neq 1,άρα τελικά η τάξη του ab είναι 35.
Ωραίο. Πιο άμεσο.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Τετ Νοέμ 11, 2020 11:17 pm

stranger έγραψε:
Τετ Νοέμ 11, 2020 10:39 pm
Η δική μου η απόδειξη μοιάζει με τη δική σου πολύ.
Λέμε ότι A= <a> και B=<b> οι μοναδικές κυκλικές υποομάδες τάξεων 5 και 7.
Θα δείξουμε ότι G=<ab>. Βλέπουμε εύκολα ότι τα ab=ba. Άρα (ab)^7 \neq 1 και (ab)^5 \neq 1,άρα τελικά η τάξη του ab είναι 35.
Μπορούμε και πιο εύκολα να το αποδείξουμε. Έχουμε ότι για κάθε διαιρέτη d του 35 υπάρχει μοναδική υποομάδα τάξης d.
Άρα η ομάδα είναι κυκλική.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Πέμ Νοέμ 12, 2020 4:44 pm

6) Έστω R ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα, ώστε κάθε υποπρότυπο ενός ελεύθερου R- προτύπου είναι ελεύθερο R-πρότυπο.
Δείξτε ότι o R είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Νοέμ 12, 2020 8:28 pm

stranger έγραψε:
Τετ Νοέμ 11, 2020 3:14 pm
5) Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός n, ώστε να υπάρχουν τουλάχιστον τρεις μη ισομορφες ομάδες τάξης n;
Τετριμμένο είναι.
Δηλαδή κάποιος που γνωρίζει την σχετική θεωρία του είναι εντελώς άμεσο.
Αν κάποιος δεν γνωρίζει την θεωρία τότε πρέπει να κάνει την ταξινόμηση των ομάδων μέχρι τάξη 8
Το n=8.
Οι τουλάχιστον τρεις είναι \mathbb{Z}_{8},\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{4},\mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}
Θεωρώ περιττό να αποδείξω ότι υπάρχει μοναδική ομάδα με 2,3,5,7 στοιχεία και δύο ομάδες με 4,6


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Νοέμ 12, 2020 9:00 pm

stranger έγραψε:
Τετ Νοέμ 11, 2020 2:02 pm
stranger έγραψε:
Δευ Νοέμ 09, 2020 11:43 pm
1) Βρείτε όλες τις ομάδες τάξης 35(ως προς ισομορφισμό).
Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τα θεωρήματα Sylow. 35=5 \cdot 7.
Αυτή είναι η πιο δύσκολη από τις τέσσερις.
Δεν νομίζω ότι είναι δύσκολη.
Και σίγουρα υπάρχει σε παρόμοια μορφή σε όλα τα βιβλία θεωρίας ομάδων.
Το γενικό είναι


Αν p<q πρώτοι και G ομάδα με |G|=pq
τότε
i)Αν p/(q-1)
υπάρχουν δύο ομάδες μια κυκλική και μία μη αβελιανή
ii)Αν δεν ισχύει η p/(q-1) υπάρχει μοναδική ομάδα που είναι κυκλική

Με συγκεκριμένα νούμερα όπως εδώ η απόδειξη είναι τελείως στοιχειώδη.
Συγκεκριμένα.
Αν η ομάδα έχει στοιχείο τάξης 35 τελειώσαμε.
Εχει στοιχείο τάξης 5 και στοιχείο τάξης 7
Δεν χρειάζεται Sylow.Απλό μέτρημα.
Αν π.χ όλα τα στοιχεία είχαν τάξη 5 τότε οι ομάδα θα αποτελείτο από k υποομάδες
τάξης 5.
Θα ήταν 35=5k-(k-1) κλπ ΑΤΟΠΟ.

Εστω b\in G,b^{7}=1,H=<b>
Η H είναι κανονική γιατί απο τον τύπο του μετρήματος για υποομάδες
είναι
|H\cap x^{-1}Hx|.|H.( x^{-1}Hx)|=|H| |x^{-1}Hx|
Εστω στοιχείο a τάξης 5
Θα είναι
a^{-1}ba=b^{r}
και
a^{-1}b^{r}a=b^{r^{2}},a^{-2}ba^{2}=b^{r^{2}},....,a^{-5}ba^{5}=b^{r^{5}}
προκύπτει ότι 7/r^{5}-1
οπότε r=1

Αρα ab=ba και είναι άμεσο ότι η ομάδα είναι κυκλική.


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1420
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Πέμ Νοέμ 12, 2020 9:55 pm

stranger έγραψε:
Πέμ Νοέμ 12, 2020 4:44 pm
6) Έστω R ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα, ώστε κάθε υποπρότυπο ενός ελεύθερου R- προτύπου είναι ελεύθερο R-πρότυπο.
Δείξτε ότι o R είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.
Κάποια υπόδειξη ;


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
stranger
Δημοσιεύσεις: 342
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Πέμ Νοέμ 12, 2020 10:53 pm

BAGGP93 έγραψε:
Πέμ Νοέμ 12, 2020 9:55 pm
stranger έγραψε:
Πέμ Νοέμ 12, 2020 4:44 pm
6) Έστω R ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα, ώστε κάθε υποπρότυπο ενός ελεύθερου R- προτύπου είναι ελεύθερο R-πρότυπο.
Δείξτε ότι o R είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.
Κάποια υπόδειξη ;
Υπόδειξη: Ο R είναι R-πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό το γινόμενο στον R.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης