Γραμμική Άλγεβρα

arisvasil · #1

Μπορείτε να με βοηθήσετε στην παρακάτω άσκηση;

Δίνεται διάνυσμα $\mathbf{b}$ στο $\mathbb{R}^{n}$ , ο αντιστρέψιμος πίνακας

$n \times n$ , ο πίνακας

$n \times n$ και ισχύουν ότι $B=A^{-1}E$ και $\left \| B \right \|<1$ (νόρμα άπειρο)

Να δείξετε ότι ο πίνακας A+E

είναι αντιστρέψιμος.

Ευχαριστώ

#2

Το διάνυσμα $\mathbf{b}$ είναι ασφαλώς άσχετο με το ερώτημα.

Δείξε ότι A+E = A(I+B)

. Αρκεί λοιπόν να δείξεις ότι ο I + B

είναι αντιστρέψιμος. Αν δεν είναι, τότε για κάποια διάνυσμα $\mathbf{v}$ θα ισχύει ότι .... Μετά χρησιμοποίησε ότι $\|B\|_{\infty} < 1$ για να καταλήξεις σε άτοπο.

tractatus · #3

(χωρίς να είμαι σίγουρος για την απάντηση )

$\displaystyle{B=A^{-1}E \Rightarrow AB=E}$ και απο την ιδιότητα οριζουσών $\displaystyle{det(AB)=det(A)det(B)}$ επεται οτι $\displaystyle{det(AB)\neq 0}$
και αρα ο Ε αντριστρεψιμος επισης απο την προηγούμενη σχέση έχουμε $\displaystyle{A+AB=A+E}$ $\displaystyle{\Rightarrow A(I+B)=A+E}$ και συμφωνα με το δεδομένο για την άπειρη νόρμα του Β ξέρουμε οτι $\displaystyle{\left \| I+B \right \|_{\infty }\geq 1 \Rightarrow det(I+B)\neq 0}$

(σημειωση: με την ίδια λογική βγαίνει οτι Α(Ι+Β) αντιστρεψιμος και συνεπώς Α+Ε αντιτρεψιμος)

#4

tractatus έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 15, 2020 5:44 pm
απο την ιδιότητα οριζουσών $\displaystyle{det(AB)=det(A)det(B)}$ επεται οτι $\displaystyle{det(AB)\neq 0}$

Για ξαναδές το αυτό.

tractatus · #5

Έχετε δίκιο κυριε lambrou διότι δεν γνωρίζω αν $\displaystyle{Det(B)\neq 0}$ αλλά από ότι φαίνεται δεν χρειάζεται για την απόδειξη αυτό

Γραμμική Άλγεβρα

Γραμμική Άλγεβρα

Re: Γραμμική Άλγεβρα

Re: Γραμμική Άλγεβρα

Re: Γραμμική Άλγεβρα

Re: Γραμμική Άλγεβρα

Μέλη σε σύνδεση