Γραμμική Άλγεβρα

Συντονιστής: Demetres

arisvasil
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2020 4:50 pm

Γραμμική Άλγεβρα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από arisvasil » Τρί Σεπ 15, 2020 5:10 pm

Μπορείτε να με βοηθήσετε στην παρακάτω άσκηση;

Δίνεται διάνυσμα \mathbf{b} στο \mathbb{R}^{n}, ο αντιστρέψιμος πίνακας A n \times n, ο πίνακας E n \times n και ισχύουν ότι B=A^{-1}E και \left \| B \right \|<1 (νόρμα άπειρο)

Να δείξετε ότι ο πίνακας A+E είναι αντιστρέψιμος.

Ευχαριστώ
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Τρί Σεπ 15, 2020 5:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8488
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Γραμμική Άλγεβρα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Σεπ 15, 2020 5:25 pm

Το διάνυσμα \mathbf{b} είναι ασφαλώς άσχετο με το ερώτημα.

Δείξε ότι A+E = A(I+B). Αρκεί λοιπόν να δείξεις ότι ο I + B είναι αντιστρέψιμος. Αν δεν είναι, τότε για κάποια διάνυσμα \mathbf{v} θα ισχύει ότι .... Μετά χρησιμοποίησε ότι \|B\|_{\infty} < 1 για να καταλήξεις σε άτοπο.


tractatus
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Τετ Αύγ 19, 2020 2:43 am

Re: Γραμμική Άλγεβρα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tractatus » Τρί Σεπ 15, 2020 5:44 pm

(χωρίς να είμαι σίγουρος για την απάντηση )

\displaystyle{B=A^{-1}E \Rightarrow AB=E} και απο την ιδιότητα οριζουσών \displaystyle{det(AB)=det(A)det(B)} επεται οτι \displaystyle{det(AB)\neq 0}
και αρα ο Ε αντριστρεψιμος επισης απο την προηγούμενη σχέση έχουμε \displaystyle{A+AB=A+E} \displaystyle{\Rightarrow A(I+B)=A+E} και συμφωνα με το δεδομένο για την άπειρη νόρμα του Β ξέρουμε οτι \displaystyle{\left \| I+B \right \|_{\infty }\geq 1 \Rightarrow det(I+B)\neq 0}

(σημειωση: με την ίδια λογική βγαίνει οτι Α(Ι+Β) αντιστρεψιμος και συνεπώς Α+Ε αντιτρεψιμος)


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12430
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Γραμμική Άλγεβρα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Σεπ 15, 2020 9:10 pm

tractatus έγραψε:
Τρί Σεπ 15, 2020 5:44 pm
απο την ιδιότητα οριζουσών \displaystyle{det(AB)=det(A)det(B)} επεται οτι \displaystyle{det(AB)\neq 0}
Για ξαναδές το αυτό.


tractatus
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Τετ Αύγ 19, 2020 2:43 am

Re: Γραμμική Άλγεβρα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tractatus » Τετ Σεπ 16, 2020 1:17 pm

Έχετε δίκιο κυριε lambrou διότι δεν γνωρίζω αν \displaystyle{Det(B)\neq 0} αλλά από ότι φαίνεται δεν χρειάζεται για την απόδειξη αυτό


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης