Ορίζουσα
Συντονιστής: Demetres
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5207
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Ορίζουσα
Για και για να υπολογιστεί η ορίζουσα:
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ορίζουσα
Καλησπέρα!
Μια προσπάθεια:
Ισχυρίζομαι ότι η ορίζουσα είναι , τιμή που βρίσκω για
Θα το αποδείξω με ισχυρή επαγωγή στο .
Έστω ότι ισχύει για κάθε αριθμό μικρότερο είτε ίσο του .
Θα δείξω ότι ισχύει και για .
Ισχύει:
.
Καταλήγουμε στον ισοδύναμο πίνακα
ακολουθώντας την εξής διαδικασία:
Στον αρχικό πίνακα αφήνουμε την 1η στήλη ως έχει, προσθαφαιρούμε εναλλάξ τις 2 πρώτες στήλες για να πάρουμε τη δεύτερη στήλη του τελικού πίνακα,..., προσθαφαιρούμε εναλλάξ τις m πρώτες στήλες για να πάρουμε την m-οστή στήλη του τελικού πίνακα,....Χρησιμοποιούμε δηλαδή την ταυτότητα που αναφέρθηκε στην αρχή.Tα πρόσημα μπροστά από τους συντελεστές που μπορεί να είναι θετικά ή αρνητικά τελικά δίνουν θετικό πρόσημο αν συνεκτιμηθούν.
Επαγωγικά, λοιπόν , καταλήγουμε στον ισοδύναμο πίνακα:
.
Ισχύει:
.
Αφήνουμε την 1η γραμμή ως έχει.Αφαιρώντας την 1η γραμμή από τη 2η , την 2η γραμμή από την 3η κ.ο.κ., παίρνω τον ισοδύναμο πίνακα (με χρήση της προηγούμενης ταυτότητας):
Η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι ίση με:
.
Ακολουθώντας την 1η διαδικασία, μπορούμε να γράψουμε την ορίζουσα αυτή στην ισοδύναμη μορφή
.
Η τελευταία ορίζουσα είναι 1 βάσει της υπόθεσης της ισχυρής επαγωγής.
Τελικά η ζητούμενη ορίζουσα .
Μια προσπάθεια:
Ισχυρίζομαι ότι η ορίζουσα είναι , τιμή που βρίσκω για
Θα το αποδείξω με ισχυρή επαγωγή στο .
Έστω ότι ισχύει για κάθε αριθμό μικρότερο είτε ίσο του .
Θα δείξω ότι ισχύει και για .
Ισχύει:
.
Καταλήγουμε στον ισοδύναμο πίνακα
ακολουθώντας την εξής διαδικασία:
Στον αρχικό πίνακα αφήνουμε την 1η στήλη ως έχει, προσθαφαιρούμε εναλλάξ τις 2 πρώτες στήλες για να πάρουμε τη δεύτερη στήλη του τελικού πίνακα,..., προσθαφαιρούμε εναλλάξ τις m πρώτες στήλες για να πάρουμε την m-οστή στήλη του τελικού πίνακα,....Χρησιμοποιούμε δηλαδή την ταυτότητα που αναφέρθηκε στην αρχή.Tα πρόσημα μπροστά από τους συντελεστές που μπορεί να είναι θετικά ή αρνητικά τελικά δίνουν θετικό πρόσημο αν συνεκτιμηθούν.
Επαγωγικά, λοιπόν , καταλήγουμε στον ισοδύναμο πίνακα:
.
Ισχύει:
.
Αφήνουμε την 1η γραμμή ως έχει.Αφαιρώντας την 1η γραμμή από τη 2η , την 2η γραμμή από την 3η κ.ο.κ., παίρνω τον ισοδύναμο πίνακα (με χρήση της προηγούμενης ταυτότητας):
Η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι ίση με:
.
Ακολουθώντας την 1η διαδικασία, μπορούμε να γράψουμε την ορίζουσα αυτή στην ισοδύναμη μορφή
.
Η τελευταία ορίζουσα είναι 1 βάσει της υπόθεσης της ισχυρής επαγωγής.
Τελικά η ζητούμενη ορίζουσα .
Κώστας
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ορίζουσα
Έστω οι γραμμές του πίνακα. Για , με αυτή τη σειρά, αλλάζω τη γραμμή στην γραμμή
Η ορίζουσα παραμένει η ίδια αφού κάθε φορά προσθαφαιρώ στην προηγούμενες γραμμές που δεν έχουν ακόμη αλλοιωθεί.
Μετά από αυτές τις αλλαγές στη γραμμή και στήλη θα έχω το στοιχείο
όπου ένα πολυώνυμο βαθμού με μεγιστοβάθμιο συντελεστή 1.
Ισχυρίζομαι ότι το ισούται με αν και αν . Αρκεί να δείξω ότι το ισούται με αν και αν .
Είναι γνωστό όμως ότι το τελευταίο ισούται με , το πλήθος των διαμερισμών του σε μη κενά υποσύνολα. Αυτό αποδεικνύται χρησιμοποιώντας εγκλεισμό-αποκλεισμό και έχει ως άμεση συνέπεια τον ισχυρισμό μου.
Παίρνω λοιπόν ότι ο καινούργιος πίνακας είναι άνω τριγωνικός με άσσους στην κύρια διαγώνιο. Άρα η ορίζουσα είναι ίση με .
Η ορίζουσα παραμένει η ίδια αφού κάθε φορά προσθαφαιρώ στην προηγούμενες γραμμές που δεν έχουν ακόμη αλλοιωθεί.
Μετά από αυτές τις αλλαγές στη γραμμή και στήλη θα έχω το στοιχείο
όπου ένα πολυώνυμο βαθμού με μεγιστοβάθμιο συντελεστή 1.
Ισχυρίζομαι ότι το ισούται με αν και αν . Αρκεί να δείξω ότι το ισούται με αν και αν .
Είναι γνωστό όμως ότι το τελευταίο ισούται με , το πλήθος των διαμερισμών του σε μη κενά υποσύνολα. Αυτό αποδεικνύται χρησιμοποιώντας εγκλεισμό-αποκλεισμό και έχει ως άμεση συνέπεια τον ισχυρισμό μου.
Παίρνω λοιπόν ότι ο καινούργιος πίνακας είναι άνω τριγωνικός με άσσους στην κύρια διαγώνιο. Άρα η ορίζουσα είναι ίση με .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες