Έρευνα

stranger · #1

Καλησπέρα

Αυτή την περίοδο γράφω ένα ερευνητικό κείμενο στην Θεωρία Αριθμών που έχει σχέση με την εξής ερώτηση:
Αν

είναι ένας πρώτος πότε και υπό ποιές συνθήκες έχουμε ότι ο

είναι ανάγωγο στοιχείο στην περιοχή των αλγεβρικών ακεραίων ενός αριθμητικού σώματος;
Αν λάβω κάποια ικανοποιητική απάντηση από κάποιον, τότε φυσικά θα παραθέσω το όνομα του στο ερευνητικό κείμενο.

bouzoukman · #2

stranger έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 25, 2020 4:49 am
Καλησπέρα
Αυτή την περίοδο γράφω ένα ερευνητικό κείμενο στην Θεωρία Αριθμών που έχει σχέση με την εξής ερώτηση:
Αν είναι ένας πρώτος πότε και υπό ποιές συνθήκες έχουμε ότι ο είναι ανάγωγο στοιχείο στην περιοχή των αλγεβρικών ακεραίων ενός αριθμητικού σώματος;

Όταν λες ανάγωγο εννοείς irreducible στα αγγλικά; Τώρα για σώματα αριθμών η κατάσταση είναι λίγο πιο πολύπλοκη αν ο class number είναι διαφορετικός από 1! Γενικά στα σώματα αριθμών προτιμάμε να δουλεύουμε με ιδεώδη. Στείλε μου μία σε προσωπικό μήνυμα τι θες να κάνεις και να δω αν μπορώ να σε βοηθήσω.

stranger έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 25, 2020 4:49 am
Αν λάβω κάποια ικανοποιητική απάντηση από κάποιον, τότε φυσικά θα παραθέσω το όνομα του στο ερευνητικό κείμενο.

Ας βρούμε απάντηση πρώτα σε αυτό που θες....

bouzoukman · #3

Λοιπό το σκέφτηκα λίγο παραπάνω και έχω μία ιδέα νομίζω.

Έστω

το σώμα αριθμών που δουλεύεις. Ας πούμε ότι ο πρώτος

δεν είναι ανάγωγος στο

. Τότε υπάρχουν $a,b\in \mathcal{O}_K$ που κανένα δεν είναι unit τέτοια ώστε p=ab

. Παίρνοντας νόρμες μπορείς να καταλάβεις ότι τα a,b

διαιρούνται μόνο από πρώτα ιδεώδη πάνω από το

, έστω

$\langle a\rangle = \mathfrak p_1\cdots \mathfrak p_k$ ,
$\langle b\rangle = \mathfrak p_1^\prime\cdots \mathfrak p_l^\prime$ ,

τέτοια ώστε $\mathfrak p_i,\mathfrak p_j^\prime\mid p$ . Από την άλλη, επειδή p=ab

έχουμε ότι

$\langle p\rangle=\mathfrak p_1\cdots \mathfrak p_k\cdot \mathfrak p_1^\prime\cdots \mathfrak p_l^\prime$ . Επομένως το Λήμμα είναι το εξής:

Λήμμα: Έστω $\langle p\rangle = \mathfrak p_1\cdots \mathfrak p_n$ , πιθανόν με επαναλήψεις. Ο πρώτος

είναι ανάγωγος (irreducible) στο $\mathcal{O}_K$ αν και μόνο αν για κάθε γνήσιο υποσύνολο $\emptyset\neq S\subset \{1,\cdots, n\}$ ισχύει ότι το ιδεώδες $x = \prod_{i\in S}\mathfrak p_i$ δεν είναι principal.

ΥΓ: Σόρρυ για τη μίξη ελληνικών και αγγλικών αλλά κάποια ορολογία που διαφεύγει στα ελληνικά!

stranger · #4

bouzoukman έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 25, 2020 4:32 pm
Λοιπό το σκέφτηκα λίγο παραπάνω και έχω μία ιδέα νομίζω.

Έστω το σώμα αριθμών που δουλεύεις. Ας πούμε ότι ο πρώτος δεν είναι ανάγωγος στο . Τότε υπάρχουν $a,b\in \mathcal{O}_K$ που κανένα δεν είναι unit τέτοια ώστε . Παίρνοντας νόρμες μπορείς να καταλάβεις ότι τα διαιρούνται μόνο από πρώτα ιδεώδη πάνω από το , έστω

$\langle a\rangle = \mathfrak p_1\cdots \mathfrak p_k$ ,
$\langle b\rangle = \mathfrak p_1^\prime\cdots \mathfrak p_l^\prime$ ,

τέτοια ώστε $\mathfrak p_i,\mathfrak p_j^\prime\mid p$ . Από την άλλη, επειδή έχουμε ότι

$\langle p\rangle=\mathfrak p_1\cdots \mathfrak p_k\cdot \mathfrak p_1^\prime\cdots \mathfrak p_l^\prime$ . Επομένως το Λήμμα είναι το εξής:

Λήμμα: Έστω $\langle p\rangle = \mathfrak p_1\cdots \mathfrak p_n$ , πιθανόν με επαναλήψεις. Ο πρώτος είναι ανάγωγος (irreducible) στο $\mathcal{O}_K$ αν και μόνο αν για κάθε υποσύνολο $\emptyset\neq S\subset \{1,\cdots, n\}$ ισχύει ότι το ιδεώδες $x = \prod_{i\in S}\mathfrak p_i$ δεν είναι principal.

ΥΓ: Σόρρυ για τη μίξη ελληνικών και αγγλικών αλλά κάποια ορολογία που διαφεύγει στα ελληνικά!

Σε ευχαριστώ για την ενασχόλησή σου με αυτό το πρόβλημα. Νομίζω ότι κάτι είναι λάθος στο λήμμα. Οι ακέραιοι του $\mathbb{Q}(i)$ είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. Άρα σύμφωνα με το λήμμα θα είχαμε ότι δεν υπάρχει πρώτος που είναι ανάγωγο στοιχείο των ακεραίων του $\mathbb{Q}(i)$ που δεν ισχύει αυτό γιατί αυτοί οι πρώτοι είναι ακριβώς αυτοί που είναι $\equiv 3 (mod 4)$ .

bouzoukman · #5

stranger έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 26, 2020 5:59 am
Σε ευχαριστώ για την ενασχόλησή σου με αυτό το πρόβλημα. Νομίζω ότι κάτι είναι λάθος στο λήμμα. Οι ακέραιοι του $\mathbb{Q}(i)$ είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. Άρα σύμφωνα με το λήμμα θα είχαμε ότι δεν υπάρχει πρώτος που είναι ανάγωγο στοιχείο των ακεραίων του $\mathbb{Q}(i)$ που δεν ισχύει αυτό γιατί αυτοί οι πρώτοι είναι ακριβώς αυτοί που είναι $\equiv 3 (mod 4)$ .

Το λήμμα είναι σωστό απλώς είχα ξεχάσει να γράψω ότι το

πρέπει να είναι γνήσιο υποσύνολο. Το διόρθωσα τώρα! Οπότε στην περίπτωση που αναφέρεις το λήμμα ισχύει με τετριμμένο τρόπο.

stranger · #6

bouzoukman έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 26, 2020 9:28 am
Το λήμμα είναι σωστό απλώς είχα ξεχάσει να γράψω ότι το πρέπει να είναι γνήσιο υποσύνολο. Το διόρθωσα τώρα! Οπότε στην περίπτωση που αναφέρεις το λήμμα ισχύει με τετριμμένο τρόπο.

Ασχολούμαι μόνο με αριθμητικά σώματα που οι ακέραιοι τους είναι περιοχή μοναδικής παραγοντοποιήσης γιατί χρειάζομαι την έννοια του μέγιστου κοινού διαιρέτη. Άρα το O_K

είναι αναγκαστικά περιοχή κυρίων ιδεωδών.
Οπότε το λήμμα σου μεταφράζεται ότι ο πρώτος

είναι ανάγωγος στο O_K

αν και μόνο αν το ιδεώδες <p>

είναι πρώτο.
Η αλήθεια είναι ότι δεν βοηθάει πολύ αυτό το λήμμα γιατί ουσιαστικά το έχω αποδείξει ήδη χρησιμοποιώντας άλλες μεθόδους.
Όποιος μπορεί να βοηθήσει ας γράψει ένα post εδώ.

bouzoukman · #7

Αν πάντως δουλεύεις σε Αβελιανες επεκτάσεις Galois τότε αφού δουλεύεις σε περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης αυτό που ζητάς είναι ισοδύναμο με το να έχεις ότι το

splits completely. Η χρήση Class Field Theory θα σε έσωζε πιστεύω. Γνωρίζω από αυτή τη θεωρία αν θες βοήθεια.

stranger · #8

Ερώτηση:
Έστω $x_n = \prod_{p \mid n}\frac{1}{1-p^{-1}}$ .Για ποια $m \in \mathbb{N}$ υπάρχει υπακολουθία της x_n

που να συγκλίνει στο

;

bouzoukman · #9

Ενδιαφέρον πρόβλημα! Έχεις λύση ή όχι; Η διαίσθηση μου λέει ότι η απάντηση είναι ναι αλλά δεν έχω ιδέα για απόδειξη. Πώς προέκυψε;

Αξίζει να την βάλεις στο φόρουμ πιστεύω!

stranger · #10

Δεν έχω λύση. Προέκυψε από την έρευνά μου και γιαυτό το ρώτησα για να με βοηθήσει στην έρευνά μου.
Δεν μπορώ να βάλω τις λεπτομέρειες για ευνόητους λόγους.
Οποιός βρει έστω και μια μερική λύση ας απαντήσει.

bouzoukman · #11

stranger έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 01, 2020 3:05 pm
Ερώτηση:
Έστω $x_n = \prod_{p \mid n}\frac{1}{1-p^{-1}}$ .Για ποια $m \in \mathbb{N}$ υπάρχει υπακολουθία της που να συγκλίνει στο ;

Καμία πρόοδο σε αυτό

stranger · #12

Το πρόβλημα είναι δύσκολο.
Για παράδειγμα αν δείξουμε ότι για έναν αριθμό

δεν υπάρχει υπακολουθία της x_n

ώστε να συγκλίνει στο

, τότε χρησιμοποιώντας την ταυτότητα $\frac{n-1}{\phi(n)} = x_n - \frac{1}{\phi(n)}$ παίρνουμε ότι υπάρχουν πεπερασμένοι το πλήθος

ώστε $\frac{n-1}{\phi(n)} = m$ , κάτι που είναι δύσκολο να δείξεις.

Έρευνα

Έρευνα

Re: Έρευνα

Re: Έρευνα

Re: Έρευνα

Re: Έρευνα

Re: Έρευνα

Re: Έρευνα

Re: Έρευνα

Re: Έρευνα

Re: Έρευνα

Re: Έρευνα

Re: Έρευνα

Μέλη σε σύνδεση