Έρευνα

Συντονιστής: Demetres

stranger
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Έρευνα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Πέμ Ιουν 25, 2020 4:49 am

Καλησπέρα :logo:
Αυτή την περίοδο γράφω ένα ερευνητικό κείμενο στην Θεωρία Αριθμών που έχει σχέση με την εξής ερώτηση:
Αν p είναι ένας πρώτος πότε και υπό ποιές συνθήκες έχουμε ότι ο p είναι ανάγωγο στοιχείο στην περιοχή των αλγεβρικών ακεραίων ενός αριθμητικού σώματος;
Αν λάβω κάποια ικανοποιητική απάντηση από κάποιον, τότε φυσικά θα παραθέσω το όνομα του στο ερευνητικό κείμενο.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD

Λέξεις Κλειδιά:
bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Re: Έρευνα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Πέμ Ιουν 25, 2020 4:10 pm

stranger έγραψε:
Πέμ Ιουν 25, 2020 4:49 am
Καλησπέρα :logo:
Αυτή την περίοδο γράφω ένα ερευνητικό κείμενο στην Θεωρία Αριθμών που έχει σχέση με την εξής ερώτηση:
Αν p είναι ένας πρώτος πότε και υπό ποιές συνθήκες έχουμε ότι ο p είναι ανάγωγο στοιχείο στην περιοχή των αλγεβρικών ακεραίων ενός αριθμητικού σώματος;
Όταν λες ανάγωγο εννοείς irreducible στα αγγλικά; Τώρα για σώματα αριθμών η κατάσταση είναι λίγο πιο πολύπλοκη αν ο class number είναι διαφορετικός από 1! Γενικά στα σώματα αριθμών προτιμάμε να δουλεύουμε με ιδεώδη. Στείλε μου μία σε προσωπικό μήνυμα τι θες να κάνεις και να δω αν μπορώ να σε βοηθήσω.

stranger έγραψε:
Πέμ Ιουν 25, 2020 4:49 am
Αν λάβω κάποια ικανοποιητική απάντηση από κάποιον, τότε φυσικά θα παραθέσω το όνομα του στο ερευνητικό κείμενο.
Ας βρούμε απάντηση πρώτα σε αυτό που θες.... :D


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Re: Έρευνα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Πέμ Ιουν 25, 2020 4:32 pm

Λοιπό το σκέφτηκα λίγο παραπάνω και έχω μία ιδέα νομίζω.

Έστω K το σώμα αριθμών που δουλεύεις. Ας πούμε ότι ο πρώτος p δεν είναι ανάγωγος στο K. Τότε υπάρχουν a,b\in \mathcal{O}_K που κανένα δεν είναι unit τέτοια ώστε p=ab. Παίρνοντας νόρμες μπορείς να καταλάβεις ότι τα a,b διαιρούνται μόνο από πρώτα ιδεώδη πάνω από το p, έστω

\langle a\rangle = \mathfrak p_1\cdots \mathfrak p_k,
\langle b\rangle = \mathfrak p_1^\prime\cdots \mathfrak p_l^\prime,

τέτοια ώστε \mathfrak p_i,\mathfrak p_j^\prime\mid p. Από την άλλη, επειδή p=ab έχουμε ότι

\langle p\rangle=\mathfrak p_1\cdots \mathfrak p_k\cdot \mathfrak p_1^\prime\cdots \mathfrak p_l^\prime. Επομένως το Λήμμα είναι το εξής:

Λήμμα: Έστω \langle p\rangle = \mathfrak p_1\cdots \mathfrak p_n, πιθανόν με επαναλήψεις. Ο πρώτος p είναι ανάγωγος (irreducible) στο \mathcal{O}_K αν και μόνο αν για κάθε γνήσιο υποσύνολο \emptyset\neq S\subset \{1,\cdots, n\} ισχύει ότι το ιδεώδες x = \prod_{i\in S}\mathfrak p_i δεν είναι principal.


ΥΓ: Σόρρυ για τη μίξη ελληνικών και αγγλικών αλλά κάποια ορολογία που διαφεύγει στα ελληνικά!
τελευταία επεξεργασία από bouzoukman σε Παρ Ιουν 26, 2020 9:26 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
stranger
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Έρευνα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Παρ Ιουν 26, 2020 5:59 am

bouzoukman έγραψε:
Πέμ Ιουν 25, 2020 4:32 pm
Λοιπό το σκέφτηκα λίγο παραπάνω και έχω μία ιδέα νομίζω.

Έστω K το σώμα αριθμών που δουλεύεις. Ας πούμε ότι ο πρώτος p δεν είναι ανάγωγος στο K. Τότε υπάρχουν a,b\in \mathcal{O}_K που κανένα δεν είναι unit τέτοια ώστε p=ab. Παίρνοντας νόρμες μπορείς να καταλάβεις ότι τα a,b διαιρούνται μόνο από πρώτα ιδεώδη πάνω από το p, έστω

\langle a\rangle = \mathfrak p_1\cdots \mathfrak p_k,
\langle b\rangle = \mathfrak p_1^\prime\cdots \mathfrak p_l^\prime,

τέτοια ώστε \mathfrak p_i,\mathfrak p_j^\prime\mid p. Από την άλλη, επειδή p=ab έχουμε ότι

\langle p\rangle=\mathfrak p_1\cdots \mathfrak p_k\cdot \mathfrak p_1^\prime\cdots \mathfrak p_l^\prime. Επομένως το Λήμμα είναι το εξής:

Λήμμα: Έστω \langle p\rangle = \mathfrak p_1\cdots \mathfrak p_n, πιθανόν με επαναλήψεις. Ο πρώτος p είναι ανάγωγος (irreducible) στο \mathcal{O}_K αν και μόνο αν για κάθε υποσύνολο \emptyset\neq S\subset \{1,\cdots, n\} ισχύει ότι το ιδεώδες x = \prod_{i\in S}\mathfrak p_i δεν είναι principal.


ΥΓ: Σόρρυ για τη μίξη ελληνικών και αγγλικών αλλά κάποια ορολογία που διαφεύγει στα ελληνικά!
Σε ευχαριστώ για την ενασχόλησή σου με αυτό το πρόβλημα. Νομίζω ότι κάτι είναι λάθος στο λήμμα. Οι ακέραιοι του \mathbb{Q}(i) είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. Άρα σύμφωνα με το λήμμα θα είχαμε ότι δεν υπάρχει πρώτος που είναι ανάγωγο στοιχείο των ακεραίων του \mathbb{Q}(i) που δεν ισχύει αυτό γιατί αυτοί οι πρώτοι είναι ακριβώς αυτοί που είναι\equiv 3 (mod 4).


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Re: Έρευνα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Παρ Ιουν 26, 2020 9:28 am

stranger έγραψε:
Παρ Ιουν 26, 2020 5:59 am
Σε ευχαριστώ για την ενασχόλησή σου με αυτό το πρόβλημα. Νομίζω ότι κάτι είναι λάθος στο λήμμα. Οι ακέραιοι του \mathbb{Q}(i) είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών. Άρα σύμφωνα με το λήμμα θα είχαμε ότι δεν υπάρχει πρώτος που είναι ανάγωγο στοιχείο των ακεραίων του \mathbb{Q}(i) που δεν ισχύει αυτό γιατί αυτοί οι πρώτοι είναι ακριβώς αυτοί που είναι\equiv 3 (mod 4).

Το λήμμα είναι σωστό απλώς είχα ξεχάσει να γράψω ότι το S πρέπει να είναι γνήσιο υποσύνολο. Το διόρθωσα τώρα! Οπότε στην περίπτωση που αναφέρεις το λήμμα ισχύει με τετριμμένο τρόπο.


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
stranger
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Έρευνα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Παρ Ιουν 26, 2020 8:01 pm

bouzoukman έγραψε:
Παρ Ιουν 26, 2020 9:28 am
Το λήμμα είναι σωστό απλώς είχα ξεχάσει να γράψω ότι το S πρέπει να είναι γνήσιο υποσύνολο. Το διόρθωσα τώρα! Οπότε στην περίπτωση που αναφέρεις το λήμμα ισχύει με τετριμμένο τρόπο.
Ασχολούμαι μόνο με αριθμητικά σώματα που οι ακέραιοι τους είναι περιοχή μοναδικής παραγοντοποιήσης γιατί χρειάζομαι την έννοια του μέγιστου κοινού διαιρέτη. Άρα το O_K είναι αναγκαστικά περιοχή κυρίων ιδεωδών.
Οπότε το λήμμα σου μεταφράζεται ότι ο πρώτος p είναι ανάγωγος στο O_K αν και μόνο αν το ιδεώδες <p> είναι πρώτο.
Η αλήθεια είναι ότι δεν βοηθάει πολύ αυτό το λήμμα γιατί ουσιαστικά το έχω αποδείξει ήδη χρησιμοποιώντας άλλες μεθόδους.
Όποιος μπορεί να βοηθήσει ας γράψει ένα post εδώ.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Re: Έρευνα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Παρ Ιουν 26, 2020 11:13 pm

Αν πάντως δουλεύεις σε Αβελιανες επεκτάσεις Galois τότε αφού δουλεύεις σε περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης αυτό που ζητάς είναι ισοδύναμο με το να έχεις ότι το p splits completely. Η χρήση Class Field Theory θα σε έσωζε πιστεύω. Γνωρίζω από αυτή τη θεωρία αν θες βοήθεια.


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
stranger
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Έρευνα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Σάβ Αύγ 01, 2020 3:05 pm

Ερώτηση:
Έστω x_n = \prod_{p \mid n}\frac{1}{1-p^{-1}}.Για ποια m \in \mathbb{N} υπάρχει υπακολουθία της x_n που να συγκλίνει στο m;


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
bouzoukman
Δημοσιεύσεις: 67
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm

Re: Έρευνα

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από bouzoukman » Σάβ Αύγ 01, 2020 7:17 pm

Ενδιαφέρον πρόβλημα! Έχεις λύση ή όχι; Η διαίσθηση μου λέει ότι η απάντηση είναι ναι αλλά δεν έχω ιδέα για απόδειξη. Πώς προέκυψε;

Αξίζει να την βάλεις στο φόρουμ πιστεύω!


"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
stranger
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Έρευνα

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Σάβ Αύγ 01, 2020 8:04 pm

Δεν έχω λύση. Προέκυψε από την έρευνά μου και γιαυτό το ρώτησα για να με βοηθήσει στην έρευνά μου.
Δεν μπορώ να βάλω τις λεπτομέρειες για ευνόητους λόγους.
Οποιός βρει έστω και μια μερική λύση ας απαντήσει.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός, PhD
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες