Σελίδα 1 από 1

Ομομορφισμοί

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 06, 2019 9:26 am
από Tolaso J Kos
Να βρεθεί ο αριθμός των ομομορφισμών ( group homomorphism ) \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \rightarrow \mathcal{S}_3 \times \mathcal{S}_3.

Re: Ομομορφισμοί

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Οκτ 19, 2019 11:37 am
από Demetres
Ασφαλώς πρέπει \phi(0,0) = (\mathrm{id},\mathrm{id}). Έστω ότι \phi(1,0) = (\pi_1,\pi_2) και \phi(0,1) = (\rho_1,\rho_2).

Αναγκαστικά πρέπει \pi_1^2 = \pi_2^2 = \rho_1^2 = \rho_2^2 = \mathrm{id}. Επίσης \phi(1,1) = \phi(1,0)\phi(0,1) = \phi(1,0)\phi(0,1). Πρέπει λοιπόν \pi_1\rho_1 = \rho_1 \pi_1 και \pi_2\rho_2 = \rho_2\pi_2. Αν ισχύουν όλα αυτά τότε θα έχουμε απευθείας και \phi(1,1)\phi(1,1) = \phi(0,0).

Άρα μένει να ικανοποιήσουμε τις πιο πάνω προϋποθέσεις. Κατ' αρχάς πρέπει \pi_1,\pi_2,\rho_1,\rho_2 \in \{\mathrm{id},(12),(13),(23)\}.

Αν \pi_1 = \mathrm{id} τότε έχουμε 4 επιλογές για το \rho_1 ενώ αν \pi_1 \neq \mathrm{id} τότε έχουμε δύο επιλογές για το \rho_1 (τις \mathrm{id} και \pi_1) αφού πρέπει να αντιμετατίθεται με το \pi_1. Συνολικά έχουμε 4 + 3 \cdot 2 = 10 επιλογές για τα \pi_1,\rho_1 και άλλες τόσες για τα \pi_2,\rho_2. Οι επιλογές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους άρα συνολικά υπάρχουν 100 ομομορφισμοί.

Επεξεργασία: Διόρθωση λάθους.

Re: Ομομορφισμοί

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Οκτ 19, 2019 11:44 am
από Tolaso J Kos
Έχω ως τελική απάντηση 100.

Re: Ομομορφισμοί

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Οκτ 19, 2019 11:45 am
από Demetres
Λάθος στις πράξεις. Διορθώνω. :oops: