Διανυσματικοί χώροι

Συντονιστής: Demetres

sot arm
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Διανυσματικοί χώροι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Σάβ Σεπ 07, 2019 7:58 pm

Έστω διανυσματικοί χώροι \displaystyle{V_{1},V_{2},...,V_{m+1}} με \displaystyle{V_{0}=V_{m+1}=\{0\}} και γραμμικές απεικονίσεις \displaystyle{f_{i} : V_{i} \rightarrow V_{i+1} } τέτοιες ώστε: kerf_{i}=Imf_{i-1} για κάθε δείκτη i.Έστω επίσης γραμμικοί ενδομορφισμοί: T_{i}: V_{i} \rightarrow V_{i} για κάθε 1\leq i\leq m τέτοιοι ώστε:

\displaystyle{T_{i+1}\circ f_{i}=f_{i}\circ T_{i}}

για κάθε 1\leq i\leq m-1, έστω επίσης p_{i} το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του T_{i}. Δείξτε ότι:

\displaystyle{p_{1}(x)p_{3}(x)...=p_{2}(x)p_{4}(x)...}

καθώς και ότι: \displaystyle{\sum_{i=1}^{m}(-1)^{i}dim(V_{i})=0}


Αρμενιάκος Σωτήρης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8297
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Διανυσματικοί χώροι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Σεπ 11, 2019 5:44 pm

Ας αποδείξουμε πρώτα το τελευταίο. Από το θεώρημα rank-nullity καθώς και το γεγονός ότι \mathrm{Ker}(f_{i}) = \mathrm{Im}(f_{i-1}) για κάθε i, έχουμε

\displaystyle \dim(V_i) = \dim(\mathrm{Im}(f_i)) + \dim(\mathrm{Ker}(f_i)) = \dim(\mathrm{Im}(f_i)) + \dim(\mathrm{Im}(f_{i-1}))

Άρα τηλεσκοπικά:

\displaystyle  \sum_{i=1}^{m} (-1)^i\dim(V_i) = (-1)^m \dim(\mathrm{Im}(f_m)) - \dim(\mathrm{Im}(f_0)) = 0 αφού V_0 = V_m = \{0\}.

Για κάθε \lambda γράφουμε E_i(\lambda) (ή σκέτο E_i αν το \lambda εξυπακούεται) για το σύνολο των v \in V_i ώστε T_i v = \lambda v. Αρκεί να δείξουμε ότι \dim(E_1) + \dim(E_3) + \cdots = \dim(E_2) + \cdots.

Αν v \in E_i, τότε T_i v = \lambda v άρα και f_i(T_iv) = \lambda f_i(v). Από τα δεδομένα παίρνουμε και T_{i+1}(f_i(v)) = \lambda f_i(v), δηλαδή f_i(v) \in E_{i+1}. Επειδή επίσης η εικόνα του T_i:E_i \to V_i είναι το E_i αν στην αρχική εκφώνηση αντικαταστήσουμε όλα τα V_i με τα E_i θα ισχύουν όλες οι δεδομένες συνθήκες. Επομένως θα ισχύει και το συμπέρασμα \dim(E_1) - \dim(E_2) + \dim(E_3) -\cdots = 0 όπως θέλαμε να δείξουμε.


sot arm
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Διανυσματικοί χώροι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Τετ Σεπ 11, 2019 7:07 pm

Ωραία λύση κύριε Δημήτρη, το δείξατε και ανεξάρτητα από τα προηγούμενα. Βγαίνει και με το πρώτο κομμάτι της άσκησης, για αυτό και τα έβαλα μαζί, συγκρίνοντας τους βαθμούς των πολυωνύμων στην ισότητα που ζητείται.


Αρμενιάκος Σωτήρης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης