Μηδενικός πίνακας

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4000
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Μηδενικός πίνακας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Αύγ 24, 2019 10:09 pm

Έστω p πρώτος αριθμός και A \in \mathcal{M}_{p-1}(\mathbb{C}). Να δειχθεί ότι , αν A^{p+1}=A και \text{tr}(A)=0 , A=0.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2620
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μηδενικός πίνακας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Αύγ 26, 2019 7:50 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Σάβ Αύγ 24, 2019 10:09 pm
Έστω p πρώτος αριθμός και A \in \mathcal{M}_{p-1}(\mathbb{C}). Να δειχθεί ότι , αν A^{p+1}=A και \text{tr}(A)=0 , A=0.
Θέτουμε f(x)=x^{p+1}-x=x(x-1)\varphi _{p}(x)

όπου \varphi _{p}(x) το κυκλοτομικό πολυώνυμο.

Είναι γνωστό ότι αυτό είναι ανάγωγο στους ρητούς και οι ρίζες του είναι
\zeta ^{k},k=1,2,...,p-1
όπου
\zeta =e^{\frac{2\pi i}{p}}.

Το ελάχιστο πολυώνυμο του πίνακα A διαιρεί το f(x)
και οι ιδιοτιμές του είναι ρίζες του.

Το \mathbb{Q}(\zeta ) είναι διανυσματικός χώρος διάστασης p-1 πάνω
από τους ρητούς.

Τα 1,\zeta ^{k},k=1,2,...,p-1

είναι γραμμικώς εξηρτημένα στο \mathbb{Q}(\zeta )

αφού το αθροισμά τους είναι 0.

Επίσης παράγουν τον \mathbb{Q}(\zeta ).

Ετσι κάθε υποσύνολο τους με το πολύ p-1 στοιχεία είναι γραμμικώς ανεξάρτητο.

Οι ιδιοτιμές του A θα είναι από το σύνολο των 0,1,\zeta ^{k},k=1,2,...,p-1.

Αν δεν είναι όλες 0 τότε θα υπάρχουν κάποιες το πολύ p-1

από το σύνολο 1,\zeta ^{k},k=1,2,...,p-1
(δεν εχουμε πρόβλημα αν είναι διπλές ,τριπλές,κλπ)

Επειδή το \text{tr}(A)=0 και το άθροισμα των ιδιοτιμών είναι \text{tr}(A)

θα έχουμε γραμμικό συνδιασμό των ιδιοτιμών με συντελεστες φυσικούς
να είναι 0.

Αυτό είναι ΑΤΟΠΟ λόγω της γραμμικής ανεξαρτησίας.

Αρα η μόνη ιδιοτιμή το 0.

Αρα το ελάχιστο που πρέπει να διαιρεί το f(x) είναι το

m_{A}(x)=x

Αρα A=0


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες