Ύπαρξη πίνακα

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3998
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Ύπαρξη πίνακα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Αύγ 18, 2019 9:36 pm

Έστω A ένας n \times n αντιστρέψιμος πραγματικός πίνακας. Να δειχθεί ότι υπάρχει μιγαδικός πίνακας B τέτοιος ώστε \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{B^k}{k!} = A} όπου B^0 = \mathbb{I}_{n \times n}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ύπαρξη πίνακα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Αύγ 19, 2019 12:21 am



Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11469
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ύπαρξη πίνακα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Αύγ 19, 2019 1:24 am

Σταύρο, μάλλον εννοείς αυτό και τις εκεί παεαπομπές.

Ας προσθέσω ότι η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση πινάκων (ή γενικότερα, τελεστών σε χώρους Banach) είναι θέμα που το βρίσκει κανείς σε βιβλία Banach Algebras, στο κεφάλαιο Functional Calculus. Η θεωρία τους είναι κομψότατη. Δεν γνωρίζω στοιχειώδη μέθοδο. Ίδωμεν.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ύπαρξη πίνακα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Αύγ 20, 2019 11:00 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Αύγ 19, 2019 1:24 am
Σταύρο, μάλλον εννοείς αυτό και τις εκεί παεαπομπές.

Ας προσθέσω ότι η εκθετική και η λογαριθμική συνάρτηση πινάκων (ή γενικότερα, τελεστών σε χώρους Banach) είναι θέμα που το βρίσκει κανείς σε βιβλία Banach Algebras, στο κεφάλαιο Functional Calculus. Η θεωρία τους είναι κομψότατη. Δεν γνωρίζω στοιχειώδη μέθοδο. Ίδωμεν.
Γεια Μιχάλη.
Διάβασε το παρακάτω
Στον σύνδεσμο που παρέθεσα βρίσκεται στην ουσία η λύση.
Μπορεί και να κατασκευασθεί ο πίνακας.
Αυτός που γράφεις εσύ μάλλον οδηγεί στην ύπαρξη.
Θα το αφήσω και αν δεν απαντηθεί θα γράψω τα βήματα της λύσης.
Γιατί για να γραφεί κανονικά θέλει κατεβατά και δεν έχει νόημα.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2619
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ύπαρξη πίνακα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Αύγ 21, 2019 6:47 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Αύγ 18, 2019 9:36 pm
Έστω A ένας n \times n αντιστρέψιμος πραγματικός πίνακας. Να δειχθεί ότι υπάρχει μιγαδικός πίνακας B τέτοιος ώστε \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{B^k}{k!} = A} όπου B^0 = \mathbb{I}_{n \times n}.
Το όριο αριστερά είναι ο πίνακας e^{B}

Ο πίνακας A δεν χρειάζεται να είναι πραγματικός.
Μπορεί να είναι μιγαδικός.
https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential
Αν πάμε στην παραπομπή στην General case στο Using the Jordan canonical form
τότε εκείνο που ουσιαστικά πρέπει να δείξουμε είναι το εξής:

Εστω E=(a_{ij}) πίνακας (k+1)\times (k+1)

όπου a_{i,i+1}=1 for i=1,2,..k

και τα άλλα στοιχεία του 0.

Αν \lambda \in \mathbb{C},\lambda \neq 0

και A=\lambda I+E

τότε υπάρχει πίνακας μιγαδικός B ώστε e^{B}=A



Για την απόδειξη χρειαζόμαστε το εξής:

Εστω E ο πίνακας που ορίσαμε παραπάνω.

Αν N=a_{1}E+a_{2}E^{2}+....+a_{k}E^{k}
τότε
e^{N}=I+a_{1}E+(a_{2}+f_{1}(a_{1}))E^{2}+......+(a_{k}+f_{k-1}(a_{1},a_{2},..a_{k-1}))E^{k}

όπου τα f_i είναι πολυώνυμα.

Με βάση το παραπάνω για c\in \mathbb{C}
μπορούμε να βρούμε πίνακα N ώστε
e^{N}=I+cE

Τώρα μπορούμε να ολοκληρώσουμε την απόδειξη

Εστω B=\log \lambda I+N και c= 1/\lambda
(μιγαδικός λογάριθμος γενικά)
είναι

e^{B}=e^{(\log \lambda) I}e^{N}=\lambda I(I+cE)=\lambda I+E=A


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης