O e^A είναι κανονικός
Συντονιστής: Demetres
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
O e^A είναι κανονικός
Να δοθεί παράδειγμα πίνακα ο οποίος δεν είναι κανονικός αλλά ο είναι κανονικός.
Δεν έχω λύση !
Δεν έχω λύση !
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: O e^A είναι κανονικός
ΕστωTolaso J Kos έγραψε: ↑Παρ Αύγ 16, 2019 2:51 pmΝα δοθεί παράδειγμα πίνακα ο οποίος δεν είναι κανονικός αλλά ο είναι κανονικός.
Δεν έχω λύση !
οπου
και
λόγω της σχέσης
εχουμε ότι κανονικός
ενώ ο δεν είναι .(πράξεις)
Για τις ιδιότητες που χρησιμοποιήθηκαν κοίτα στο
https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: O e^A είναι κανονικός
Σταύρο, με πρόλαβες. Πολύ ωραίο το παράδειγμα και η τεχνική. Είχα ένα παράδειγμα με τελεστή τάξης , και διαφορετική (πιο πολύπλοκη) μέθοδο, που δεν ευδόκησα να γράψω. Περιληπτικά:
Έστω δύο διανύσματα (που θα τα διαλέξουμε μετά) σε χώρο με εσωτερικό γινόμενο (και Hilbert αν θέλουμε). Θέτουμε . Στην βιβλιογραφία ο τελεστής αυτός συμβολίζεται , και θα ακολουθήσω τον συμβολισμό αν και μπορούμε να τον αποφύγουμε.
Εύκολα βλέπουμε επαγωγικά ότι (πολλαπλάσιο του εαυτού του). Άρα, με ακριβώς τον ίδιο τρόπο όπως στην Άσκηση 1 εδώ έχουμε ότι
Εύκολα βρίσκουμε διανύσματα με οπότε, εδώ, , και άρα κανονικός.
Όμως (απλό και γνωστό), οπότε και . Tα δύο τελευταία δεν είναι ίσα αν πάρουμε (που μπορούμε) τα γραμμικά ανεξάρτητα. Δηλαδή μη κανονικός, όπως θέλαμε.
Έστω δύο διανύσματα (που θα τα διαλέξουμε μετά) σε χώρο με εσωτερικό γινόμενο (και Hilbert αν θέλουμε). Θέτουμε . Στην βιβλιογραφία ο τελεστής αυτός συμβολίζεται , και θα ακολουθήσω τον συμβολισμό αν και μπορούμε να τον αποφύγουμε.
Εύκολα βλέπουμε επαγωγικά ότι (πολλαπλάσιο του εαυτού του). Άρα, με ακριβώς τον ίδιο τρόπο όπως στην Άσκηση 1 εδώ έχουμε ότι
Εύκολα βρίσκουμε διανύσματα με οπότε, εδώ, , και άρα κανονικός.
Όμως (απλό και γνωστό), οπότε και . Tα δύο τελευταία δεν είναι ίσα αν πάρουμε (που μπορούμε) τα γραμμικά ανεξάρτητα. Δηλαδή μη κανονικός, όπως θέλαμε.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: O e^A είναι κανονικός
Για να δω αν έχω κάνει σωστά τις πράξεις... Βγάζω ότι
και ότι
Τα επιβεβαιώνει κανείς; Τα έκανα με το Wolfram ...
και ότι
Τα επιβεβαιώνει κανείς; Τα έκανα με το Wolfram ...
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: O e^A είναι κανονικός
Tόλη γράφω υπό πίεση γιατί έχω πολύ φόρτο εργασίας αλλά, αν δεν βιάστηκα, μου φαίνεται ότι σωστά τα λέει ο Σταύρος.
οπότε για τον παραπάνω , δεδομένου ότι , ισχύει (όπως σωστά γράφει ο Σταύρος),
Βγάζω το δεξί μέλος ίσο μεTolaso J Kos έγραψε: ↑Τρί Αύγ 20, 2019 7:45 pmΓια να δω αν έχω κάνει σωστά τις πράξεις... Βγάζω ότι
Προσοχή. Για διαγώνιο πίνακα , εύκολα βλέπουμε ότι
οπότε για τον παραπάνω , δεδομένου ότι , ισχύει (όπως σωστά γράφει ο Σταύρος),
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: O e^A είναι κανονικός
Τόλη είναι σωστό το . Ακόμη και για το όπως το υπολόγισες εσύ. Υποψιάζομαι ότι δεν χρησιμοποίησες τη σωστή εντολή για τον εκθετικό πίνακα. Πιο συγκεκριμένα υποψιάζομαι ότι η εντολή που χρησιμοποίησες απλά παίρνει την εκθετική συνάρτηση σε κάθε στοιχείο ξεχωριστά.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5223
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: O e^A είναι κανονικός
Ωραία, ας βάλουμε τις λεπτομέρειες. Έστω που προφανώς είναι αντιστρέψιμος με . Θεωρούμε . Τότε,Tolaso J Kos έγραψε: ↑Παρ Αύγ 16, 2019 2:51 pmΝα δοθεί παράδειγμα πίνακα ο οποίος δεν είναι κανονικός αλλά ο είναι κανονικός.
Έπεται ότι,
Ο δεν είναι κανονικός διότι:
και
Όμως,
ο οποίος είναι κανονικός.
Ευχαριστούμε Σταύρο!
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: O e^A είναι κανονικός
Να είσαι πάντα καλά Τόλη να μας διασκεδάζεις.Tolaso J Kos έγραψε: ↑Τετ Αύγ 21, 2019 10:15 amΩραία, ας βάλουμε τις λεπτομέρειες. Έστω που προφανώς είναι αντιστρέψιμος με . Θεωρούμε . Τότε,Tolaso J Kos έγραψε: ↑Παρ Αύγ 16, 2019 2:51 pmΝα δοθεί παράδειγμα πίνακα ο οποίος δεν είναι κανονικός αλλά ο είναι κανονικός.
Έπεται ότι,
Ο δεν είναι κανονικός διότι:
και
Όμως,
ο οποίος είναι κανονικός.
Ευχαριστούμε Σταύρο!
(εννοείται με τα προβλήματα που βάζεις)
Η ιδέα είναι απλή για την κατασκευή.
Λόγω της σχέσης
αν πάρουμε τον ετσι ώστε
τότε ο δεξιός πίνακας είναι κανονικός.
Τον τον βρίσκουμε εύκολα.
Αρκεί να βρούμε τον ώστε ο
να μην είναι κανονικός.
Οποίον και να πάρουμε που οι στήλες του δεν είναι κάθετες
μας κάνει.
Μπροστά μου είχα από άλλο πρόβλημα αυτόν που πήρα και είχα υπολογίσει τον αντίστροφο του.
Πήρα λοιπόν αυτόν για να κάνω τις πράξεις ,ώστε να είμαι απόλυτα σίγουρος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: O e^A είναι κανονικός
Ωραία.
Αν θέλεις χάριν περιέργειας να κάνεις παρόμοιες πράξεις με το παράδειγμα που έδωσα, στην ειδική περίπτωση , θα βρεις , οπότε . ΕπίσηςTolaso J Kos έγραψε: ↑Τετ Αύγ 21, 2019 10:15 am
Ωραία, ας βάλουμε τις λεπτομέρειες. Έστω που προφανώς είναι αντιστρέψιμος με . Θεωρούμε . Τότε,
...
Ο δεν είναι κανονικός διότι:
και
Όμως,
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες