Ανισότητα ομάδων

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\mathcal{G}$ πεπερασμένη ομάδα και έστω $\mathcal{H}$ , $\mathcal{K}$ δύο υποομάδες αυτής τέτοιες ώστε $\mathcal{H} \neq \mathcal{G}$ και $\mathcal{K} \neq \mathcal{G}$ . Δείξατε ότι:

$\displaystyle \left|\mathcal{H} \cup \mathcal{K} \right| \leq \frac{3}{4} \left| \mathcal{G} \right|$

#2

Γνωρίζουμε ότι τα [G:H]

και

είναι ακέραιοι. (Θεώρημα Lagrange.) Έστω [G:H] = m

και

. Γνωρίζουμε επίσης ότι $[G:H \cap K] \leqslant [G:H][G:K] = mn$ . (Ισοδύναμο του $[H:H \cap K] \leqslant [G:K]$ που είναι απλό.) Τότε:

$\displaystyle \frac{|H \cup K|}{|G|} = \frac{|H|}{|G|} + \frac{|K|}{|G|} - \frac{|H \cap K|}{|G|} \leqslant \frac{1}{m} + \frac{1}{n} - \frac{1}{mn} = 1 - \left(1 - \frac{1}{m}\right)\left(1 - \frac{1}{n}\right) \leqslant 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}.$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 12, 2019 12:09 am
Έστω $\mathcal{G}$ πεπερασμένη ομάδα και έστω $\mathcal{H}$ , $\mathcal{K}$ δύο υποομάδες αυτής τέτοιες ώστε $\mathcal{H} \neq \mathcal{G}$ και $\mathcal{K} \neq \mathcal{G}$ . Δείξατε ότι:

$\displaystyle \left|\mathcal{H} \cup \mathcal{K} \right| \leq \frac{3}{4} \left| \mathcal{G} \right|$

Θα αλλάξω τους καλλιτεχνικούς συμβολισμούς του Τόλη.
Το μόνο που χρειαζόμαστε είναι το Θεώρημα Lagrange που λέει

Η τάξη (πλήθος στοιχείων) μιας υποομάδας διαιρεί την τάξη της ομάδας.

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $|H|\leq |K|$

Εστω ότι $|H\cap K|=m$
θα είναι

|H|=mh,|K|=mk

και

$|H-H\cap K|=m(h-1),|K-H\cap K|=m(k-1)$

Διακρίνουμε περιπτώσεις.

i) $H \subseteq K$
τότε
$H\cup K=K$
οπότε

$|H\cup K|=|K|\leq \frac{|G|}{2}\leq \frac{3}{4}|G|$

ii) $H\nsubseteq K$

Εχουμε ότι k,h>1

Είναι
$|H\cup K|=m+m(h-1)+m(k-1)$ (1)

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $k\geq h$

Υπάρχουν δύο υποπεριπτώσεις.

1) $m(k-1)\leq \frac{|G|}{4}$

λόγω της (1) είναι

$|H\cup K|\leq \frac{|G|}{4}+\frac{|G|}{4}+\frac{|G|}{4}=\frac{3}{4}|G|$

2) $m(k-1)> \frac{|G|}{4}$

Θεωρούμε ένα $x\in H-H\cap K$
σταθερό.

Για $y\in K-H\cap K$ τα στοιχεία

είναι διαφορετικά μεταξύ τους και
δεν ανήκουν στο $H\cup K$

Αρα $|G-(H\cup K)|> \frac{|G|}{4}$

Aπο την τελευταία προκύπτει ότι

$|H\cup K|\leq \frac{3}{4}|G|$

Να σημειώσω ότι μπορούμε να βρούμε παράδειγμα στο οποίο ισχύει ισότητα.
Αρκεί να πάρουμε την quaternion group με 8 στοιχεία.

Από ότι βλέπω με πρόλαβε ο Δημήτρης με διαφορετική απόδειξη.

Tolaso J Kos · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 12, 2019 12:02 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 12, 2019 12:09 am
Έστω $\mathcal{G}$ πεπερασμένη ομάδα και έστω $\mathcal{H}$ , $\mathcal{K}$ δύο υποομάδες αυτής τέτοιες ώστε $\mathcal{H} \neq \mathcal{G}$ και $\mathcal{K} \neq \mathcal{G}$ . Δείξατε ότι:

$\displaystyle \left|\mathcal{H} \cup \mathcal{K} \right| \leq \frac{3}{4} \left| \mathcal{G} \right|$
Να σημειώσω ότι μπορούμε να βρούμε παράδειγμα στο οποίο ισχύει ισότητα.
Αρκεί να πάρουμε την quaternion group με 8 στοιχεία.

Ήταν το επόμενο ερώτημα που θα έθετα να βρεθεί παράδειγμα ώστε να ισχύει η ισότητα. Και η ομάδα Klein $\mathcal{G}=\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ με υποομάδες $\mathcal{H}=\{(0,0), (1,0)\}$ και $\mathcal{K}=\{(0,0),(0,1)\}.$ Τότε $|\mathcal{G}|=4$ και

$\displaystyle |\mathcal{H} \cup \mathcal{K}|=3=\frac{3}{4}|\mathcal{G}|$
Αυτό βέβαια δείχνει ότι η σταθερά $\frac{3}{4}$ δε μπορεί να βελτιωθεί.

Ανισότητα ομάδων

Ανισότητα ομάδων

Re: Ανισότητα ομάδων

Re: Ανισότητα ομάδων

Re: Ανισότητα ομάδων

Μέλη σε σύνδεση