Σελίδα 1 από 1

Ορίζουσα πίνακα

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 04, 2019 12:18 am
από Tolaso J Kos
Έστω A \in \mathcal{M}_{3 \times 3}(\mathbb{R}) ορθογώνιος πίνακας τέτοιος ώστε \det A=-1. Να υπολογιστεί η τιμή της ορίζουσας \det(A-\mathbb{I}).

Re: Ορίζουσα πίνακα

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 04, 2019 10:59 am
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Αύγ 04, 2019 12:18 am
Έστω A \in \mathcal{M}_{3 \times 3}(\mathbb{R}) ορθογώνιος πίνακας τέτοιος ώστε \det A=-1. Να υπολογιστεί η τιμή της ορίζουσας \det(A-\mathbb{I}).
Ισχύει γενικά για πίνακες A \in \mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R})

Το γινόμενο των ιδιοτιμών του πίνακα είναι -1
Οι ιδιοτιμές ενός ορθογωνίου πίνακα θεωρούμενες στο \mathbb{C}
εχουν μέτρο 1
Επειδή είναι πραγματικός αν έχει μια μιγαδική ιδιοτιμή έχει και την συζηγή της.
Συμπεραίνουμε ότι αναγκαστικά ο πίνακας έχει ιδιοτιμή το -1
Αρα \det(A+\mathbb{I})=0

Συμπλήρωμα.Οπως μου επισήμανε ο Δημήτρης η εκφώνηση είναι λάθος.
Θα πρέπει να ζητάει ότι \det(A+\mathbb{I})=0.
Ετσι το διόρθωσα .
Ο λόγος που δεν μπορεί η εκφώνηση του Τόλη να είναι σωστή είναι το εξής:
Αν ο A εχει στήλες τα
(\cos \theta ,\sin \theta ,0),(-\sin \theta ,\cos \theta ,0),(0,0,-1)
τότε η \det(A-\mathbb{I}) εξαρτάται από το  \theta