mathematica.gr • Ορίζουσα

Σελίδα 1 από 1

Ορίζουσα

Δημοσιεύτηκε: Τρί Οκτ 16, 2018 12:24 pm

από Tolaso J Kos

Έστω $A, B \in \mathcal{M}_{2 \times 2}$ πίνακες με στοιχεία ακεραίους τέτοιοι ώστε AB = BA

AB = BA

, $\det \left( A + B \right) =2$ και $\det \left( A^3 + B^3 \right) = 2^3$ . Να υπολογιστεί η ορίζουσα:

$\displaystyle{\mathcal{D} = \det \left( A^2 + B^2 \right)}$

Re: Ορίζουσα

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 17, 2018 11:44 am

από Demetres

Θέτω $f(x) = \det(A+xB)$ . To f(x)

f(x)

είναι πολυώνυμο βαθμού το πολύ

με ακέραιους συντελεστές. Έστω f(x) = ax^2+bx + c

f(x) = ax^2+bx + c

.

Έχουμε f(1) = 2

f(1) = 2

. Οπότε έχουμε c = 2-a-b

c = 2-a-b

.

Επίσης $A^3 + B^3 = (A+B)(A+\omega B)(A + \bar{\omega} B)$ όπου $\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}$ , αφού AB=BA

AB=BA

. Άρα παίρνουμε και $|f(\omega)|^2 = 4$ .

Μετά από πράξεις (παραλείπονται) παίρνω a^2 + b^2 + ab - 2a - 2b = 0

a^2 + b^2 + ab - 2a - 2b = 0

. Ως πολυώνυμο στο

έχει διακρίνουσα $\Delta = -(b-2)(3b+2)$ . Η διακρίνουσα πρέπει να είναι μη αρνητική οπότε $-2/3 \leqslant b \leqslant 2$ και άρα b = 0,1,2

b = 0,1,2

αφού ο

είναι ακέραιος. Επίσης η διακρίνουσα πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο οπότε η περίπτωση b=1

b=1

απορρίπτεται.

Καταλήγουμε στις περιπτώσεις f(x) = 2,f(x) = 2x, f(x) = 2x^2

f(x) = 2,f(x) = 2x, f(x) = 2x^2

. Σε όλες τις περιπτώσεις έχω

$\displaystyle \det(A^2+B^2) = |f(i)|^2 = 4$