Παραθετω μια προσέγγιση. Ελπίζω να μην μου έχει φύγει κάτι.
Έστω
και
ένας θετικός μη τετράγωνος ρητός. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του
είναι
. Αν θεωρήσουμε τον
ως πίνακα του
το χαρακτηριστικό πολυώνυμο παραμένει το ίδιο και έχει ρίζες
που ενδεχομένως είναι ίσες.
Αν υποτεθεί ότι
τότε έχουμεQ
Επομένως
ή
άρα κάποιοις από τους
είναι ιδιοτιμή του
και επομένως ρίζα του
.
Για τα
διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
ΠΕΡ 1.
ΠΕΡ 2.
ΠΕΡ 3.
H πρώτη περίπτωση αποκλείεται αφού κάποιος από τους
πρέπει να είναι
.
Η τρίτη περίπτωση αποκλείεται διότι κάποιος από τους ρητούς
πρέπει να είναι ίσος με κάποιοςν από τους άρρητους
.
Απομένει η δεύτερη περίπτωση. Επειδή το
έχει ρητούς συντελεστές αν δέχεται ως ρίζα κάποιον από τους
θα δέχεται και τον συζυγή του. Άρα
. Άρα ο
έχει δύο διαφορετικές ιδιοτιμές και επομένως είναι διαγωνιοποιήσιμος δηλαδή υπάρχει
ώστε
όπου
με
.
Τότε
και επομένως ο
είναι ο βαθμωτός πίνακας
αντιμετατίθεται με όλους τους πίνακες.
Από αυτό προκύπτει το πρώτο ερώτημα.
Σκεφτομενοι ανάλογα για τον έχουμε και το δεύτερο ερώτημα.
Θα. με ενδιέφερε να μάθω την προέλευση της άσκησης και αν γίνεται και την προτεινόμενη λύση.
Edit Από αβλεψία μου διάβασα λάθος την εκφώνηση και την εξέλαβα ως
.
Επομένως δεν έχω δώσει απάντηση στο ερώτημα. Ευχαριστώ πολύ τον Δημήτρη Χριστοφίδη που ευγενικά μου επεσήμανε με pm την αβλεψία μου.