Μηδενική ορίζουσα

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2778
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Μηδενική ορίζουσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Αύγ 17, 2018 2:32 am

Να αποδειχθεί ότι η 3\times 3-ορίζουσα D είναι μηδενική.

D=\left|{\begin{array}{ccc} 
		b\,c\,(e-d)                     & c\,e         & b\,d \\\noalign{\vspace{0.3cm}} 
		e(b-c)(1-d)-c\,(d-e)(1-b)     & e\,(1-c)     & d\,(1-b) \\\noalign{\vspace{0.3cm}} 
		(b-c)(1-d)(1-e)             & (1-c)(1-e)     & (1-b)(1-d)  
		\end{array}}\right|


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
sot arm
Δημοσιεύσεις: 162
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Μηδενική ορίζουσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Παρ Αύγ 17, 2018 10:02 pm

grigkost έγραψε:
Παρ Αύγ 17, 2018 2:32 am
Να αποδειχθεί ότι η 3\times 3-ορίζουσα D είναι μηδενική.

D=\left|{\begin{array}{ccc} 
		b\,c\,(e-d)                     & c\,e         & b\,d \\\noalign{\vspace{0.3cm}} 
		e(b-c)(1-d)-c\,(d-e)(1-b)     & e\,(1-c)     & d\,(1-b) \\\noalign{\vspace{0.3cm}} 
		(b-c)(1-d)(1-e)             & (1-c)(1-e)     & (1-b)(1-d)  
		\end{array}}\right|
Δίνω μία απάντηση με επιφύλαξη.
Ας θεωρήσουμε την ορίζουσα σαν πολυώνυμο του b.
Παρατηρούμε αρχικά ότι είναι το πολύ δευτέρου βαθμού καθότι στην δεύτερη στήλη δεν έχουμε b .
Θέτοντας διαδοχικά b=0,b=1,b=c. Προκύπτουν τα εξής:
Για b=0 αναπτύσοντας την ορίζουσα ως προς την τρίτη στήλη και με απλές πλέον πράξεις βγαίνει D(0)=0.
Για b=c βλέπουμε άμεσα ότι η δεύτερη γραμμή είναι πολλαπλάσιο της πρώτης άρα πάλι D(c)=0
Για b=1 αναπτύσοντας ως προς την τρίτη στήλη και με απλές πράξεις D(1)=0
Άρα έχουμε δευτέρου βαθμού πολυώνυμο με 3 ρίζες, άρα είναι το μηδενικό και άρα η ορίζουσα μηδενική.
Συγχωρέστε μου που δεν γράφω όλες τις πράξεις σε Latex αλλά τις θεωρώ ρουτίνας.


Αρμενιάκος Σωτήρης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8097
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μηδενική ορίζουσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Αύγ 17, 2018 10:09 pm

Έγραφα την ίδια ώρα με τον Σωτήρη. Ίδια ιδέα αλλά λίγο πιο μακροσκελής η λύση μου.

Η ορίζουσα είναι ένα πολυώνυμο P(b,c,d,e). Παρατηρούμε ότι

\displaystyle  \begin{aligned} P(0,c,d,e) &= \begin{vmatrix} 0 & ce & 0 \\ -ce(1-d) - c(d-e) & e(1-c) & d \\ -c(1-d)(1-e) & (1-c)(1-e)  &  1-d \end{vmatrix} \\ 
&= -ce \begin{vmatrix} -cd(1-e) & d \\ -c(1-d)(1-e) & 1-d\end{vmatrix} \\  
&= 0 \end{aligned}

Ομοίως βρίσκουμε P(b,0,d,e) = P(b,c,0,e) = P(b,c,d,0) = 0, καθώς επίσης και P(1,c,d,e)=P(b,1,d,e)=P(b,c,1,e)=P(b,c,d,1)= 1. (Σε όλες τις περιπτώσεις καταλήγουμε απευθείας σε υπολογισμό μίας 2 \times 2 ορίζουσας η οποία ισούται με 0 επειδή έχει γραμμικώς εξαρτημένες στήλες.

Άρα αναγκαστικά P(b,c,d,e) = bcde(b-1)(c-1)(d-1)(e-1)Q(b,c,d,e) για κάποιο πολυώνυμο Q(b,c,d,e).

Όμως το P(b,c,d,e) έχει βαθμό το πολύ 3+2+2=7. Πρέπει λοιπόν το Q και άρα και το P να είναι ταυτοτικά ίσο με 0.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2778
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μηδενική ορίζουσα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Αύγ 17, 2018 10:52 pm

Οι λύσεις σας μου αρέσουν περισσότερο από αυτήν που βρήκα -και παραθέτω- όταν μου ζητήθηκε να αποδείξω το ζητούμενο.

\begin{aligned} 
D&=\left|{\begin{array}{ccc} 
	bc(e-d)                     & ce         & bd \\\noalign{\vspace{0.3cm}} 
	e(b-c)(1-d)-c(d-e)(1-b)     & e(1-c)     & d(1-b) \\\noalign{\vspace{0.3cm}} 
	(b-c)(1-d)(1-e)             & (1-c)(1-e)     & (1-b)(1-d)  
	\end{array}}\right|\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
& = {\begin{array}{l} 
	{}\\\noalign{\vspace{0.3cm}} 
	{\Gamma_2\rightarrow \Gamma_2+\Gamma_1}\\\noalign{\vspace{0.3cm}} 
	{\Gamma_3\rightarrow \Gamma_3+\Gamma_2}\end{array}}\left|{\begin{array}{ccc} 
	bc(e-d)                     & ce         & bd \\\noalign{\vspace{0.3cm}} 
	eb-ebd+ecd-cd     & e     & d \\\noalign{\vspace{0.3cm}} 
	ec+cbd-ceb+b-bd-c             & 1-c     & 1-b 
	\end{array}}\right|\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
& = {\begin{array}{l} 
	{\Sigma_1\to \Sigma_1-b(1-d)\,\Sigma_2+c(1-e)\,\Sigma_3}\\\noalign{\vspace{0.3cm}} 
	{}\\\noalign{\vspace{0.3cm}} 
	{}\end{array}}\left|{\begin{array}{ccc} 
0                     & ce         & bd \\\noalign{\vspace{0.3cm}} 
0     & e     & d \\\noalign{\vspace{0.3cm}} 
0             & 1-c     & 1-b 
\end{array}}\right|\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=0\,.\end{aligned}


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11088
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μηδενική ορίζουσα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Αύγ 18, 2018 12:08 am

sot arm έγραψε:
Παρ Αύγ 17, 2018 10:02 pm
.
Θέτοντας διαδοχικά b=0,b=1,b=c. Προκύπτουν τα εξής:
...
Άρα έχουμε δευτέρου βαθμού πολυώνυμο με 3 ρίζες, άρα είναι το μηδενικό και άρα η ορίζουσα μηδενική.
Σωστά αλλά με μία μικρή προσθήκη: Αν ήταν c=0 ή c=1 τότε το πολυώνυμο του b δεν είναι μηδέν για τρεις τιμές
του b (τις 0,1,c) αλλά για δύο.

Για όφελος των μαθητών συμπληρώνω ότι ότι τo θέμα διορθώνεται λέγοντας ότι αν c=0 ή c=1 τότε η ορίζουσα μηδενίζεται (απλό). Άρα μπορούμε να υποθέσουμε ότι c\ne 0 και c\ne 1. Tώρα οι 0,1,c είναι τρεις τιμές, και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8097
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μηδενική ορίζουσα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Αύγ 18, 2018 1:03 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Σάβ Αύγ 18, 2018 12:08 am
sot arm έγραψε:
Παρ Αύγ 17, 2018 10:02 pm
.
Θέτοντας διαδοχικά b=0,b=1,b=c. Προκύπτουν τα εξής:
...
Άρα έχουμε δευτέρου βαθμού πολυώνυμο με 3 ρίζες, άρα είναι το μηδενικό και άρα η ορίζουσα μηδενική.
Σωστά αλλά με μία μικρή προσθήκη: Αν ήταν c=0 ή c=1 τότε το πολυώνυμο του b δεν είναι μηδέν για τρεις τιμές
του b (τις 0,1,c) αλλά για δύο.

Για όφελος των μαθητών συμπληρώνω ότι ότι τo θέμα διορθώνεται λέγοντας ότι αν c=0 ή c=1 τότε η ορίζουσα μηδενίζεται (απλό). Άρα μπορούμε να υποθέσουμε ότι c\ne 0 και c\ne 1. Tώρα οι 0,1,c είναι τρεις τιμές, και λοιπά.

Αλλιώς μπορούμε να πούμε ότι οι πράξεις γίνονται στον πολυωνυμικό δακτύλιο R [ b ] όπου ο R = \mathbb{Z}[c,d,e] είναι ακέραια περιοχή.

Πλέον δεν χρειάζεται ο έλεγχος αν c=0 ή c=1 διότι το c είναι ξεχωριστή μεταβλητή στον δακτύλιο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης