ν x ν ορίζουσα

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί η τιμή της $\nu \times \nu$ ορίζουσας:

$\displaystyle{\mathcal{D} = \begin{vmatrix} 1 +a_1& 1 & \cdots &1 \\ 1 & 1+a_2 & \cdots &1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1& 1 & \cdots & 1+a_n \end{vmatrix}}$

#2

Μια όχι ολοκληρωμένη επίλυση (θα επανέλθω, αν δεν το κάνει κάποιος άλλος) :

$\begin{aligned} D &= \left|{\begin{array}{ccccccc} 1+a_1 & 1 & 1 &\cdots &1 & 1 & 1\\ 1 & 1+a_2 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1+a_3 &\cdots & 1 & 1 & 1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots& \vdots\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1+a_{n-2} & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1+a_{n-1} & 1\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1+a_n \end{array}}\right|\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &\stackrel{C_{i}\rightarrow C_{i}-C_{i+1}}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}\left|{\begin{array}{ccccccc} a_1 & 0 & 0 &\cdots &0 & 0 & 1\\ -a_2 & a_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1\\ 0 & -a_3 & a_3 &\cdots & 0 & 0 & 1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots& \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-2} & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -a_{n-1}& a_{n-1} & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_n & 1+a_n \end{array}}\right| \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\stackrel{C_{n}\rightarrow \sum_{i=1}^{n} C_{i}}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}\left|{\begin{array}{ccccccc} a_1 & 0 & 0 &\cdots &0 & 0 & 1+a_1\\ -a_2 & a_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1\\ 0 & -a_3 & a_3 &\cdots & 0 & 0 & 1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots& \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-2} & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -a_{n-1}& a_{n-1} & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_n & 1 \end{array}}\right|\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &\stackrel{\text{\gr αναπτ. 1η γρ.}}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=} a_1\left|{\begin{array}{ccccccc} a_2 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1\\ -a_3 & a_3 & 0& \cdots & 0 & 0 & 1\\ 0 & -a_4 & a_4 &\cdots & 0 & 0 & 1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots& \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-2} & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 &\cdots & -a_{n-1}& a_{n-1} & 1\\ 0 & 0 & 0 &\cdots & 0 & -a_n & 1 \end{array}}\right|\,+\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &\qquad(-1)^{n+1}(1+a_1)\left|{\begin{array}{ccccccc} -a_2 & a_2 & 0 &\cdots &0 & 0 &0\\ 0 & -a_3 & a_3 & \cdots &0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -a_4 &\cdots & 0 & 0 & 0\\ \vdots &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots& \vdots\\ 0 & 0 & 0 &\cdots & -a_{n-2} &a_{n-2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 &\cdots & 0 & -a_{n-1}& a_{n-1} \\ 0 & 0 & 0 &\cdots & 0 & 0 & -a_n \end{array}}\right|\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=a_1\,D_1+(-1)^{n+1}(1+a_1)(-1)^{n-1}\mathop{\prod}\limits_{i=2}^na_i\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=a_1\,D_1+(1+a_1)\mathop{\prod}\limits_{i=2}^na_i\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\ldots\end{aligned}$

nikkru · #3

grigkost έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 15, 2018 5:57 am
Μια όχι ολοκληρωμένη επίλυση (θα επανέλθω, αν δεν το κάνει κάποιος άλλος) :

Χρόνια πολλά στις εορτάζουσες και στους εορτάζοντες,

αντιγράφοντας την λύση του Γρηγόρη, μετά την τρίτη ορίζουσα αναπτύσσοντας ως προς την τελευταία στήλη έχουμε:

$\begin{aligned} D &= \left|{\begin{array}{ccccccc} 1+a_1 & 1 & 1 &\cdots &1 & 1 & 1\\ 1 & 1+a_2 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1+a_3 &\cdots & 1 & 1 & 1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots& \vdots\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1+a_{n-2} & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1+a_{n-1} & 1\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1+a_n \end{array}}\right|\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\stackrel{C_{n}\rightarrow \sum_{i=1}^{n} C_{i}}{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}\left|{\begin{array}{ccccccc} a_1 & 0 & 0 &\cdots &0 & 0 & 1+a_1\\ -a_2 & a_2 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1\\ 0 & -a_3 & a_3 &\cdots & 0 & 0 & 1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots& \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-2} & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -a_{n-1}& a_{n-1} & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_n & 1 \end{array}}\right|\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \end{array}}\right| \end{aligned}$

$&\stackrel{\text{\gr αναπτ. τελευτ. στήλη}} {=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=} \left ( -1 \right )^{n+1}\left ( 1+a_1 \right )\prod_{i=2}^{n}\left ( -a_i \right ) + \sum_{k=2}^{n} \left ( \left ( -1 \right )^{n+k} \cdot \prod_{m=1}^{m=k-1} a_m \cdot \prod_{m=k+1}^{m=n} \left (-a_m \right ) \right ) =$

$= \sum_{i=1}^{n} \frac{ (\prod_{k=1}^{n} a_k )}{a_i}+\prod_{i=1}^{n}a_i$

#4

ή λίγο διαφορετικά...(συνεχίζοντας την παραπάνω δημοσίευσή μου)

$\begin{aligned} D&=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=a_1\,D_1+(1+a_1)\mathop{\prod}\limits_{i=2}^na_i\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=a_1\,D_1+\Big(\frac{1}{a_1}+1\Big)\mathop{\prod}\limits_{i=1}^na_i\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=a_1\,a_2\,D_2+a_1\mathop{\prod}\limits_{i=3}^na_i+\Big(\frac{1}{a_1}+1\Big)\mathop{\prod}\limits_{i=1}^na_i\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=a_1\,a_2\,D_2+\Big(\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_1}+1\Big)\mathop{\prod}\limits_{i=1}^na_i\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=a_1\,a_2\cdots a_{n-1}\,\cancelto{1}{D_{n-1}\big.}+\Big(\frac{1}{a_{n-1}}+\ldots+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_1}+1\Big)\mathop{\prod}\limits_{i=1}^na_i\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\Big(\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{a_{n-1}}+\ldots+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_1}+1\Big)\mathop{\prod}\limits_{i=1}^na_i \\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\bigg(\mathop{\sum}\limits_{i=1}^n\frac{1}{a_i}+1\bigg)\mathop{\prod}\limits_{i=1}^na_i\,. \end{aligned}$

#5

Για κάθε $I \subseteq \{1,2,\ldots,n\}$ κοιτάζουμε με τι συντελεστή εμφανίζεται το $\displaystyle \prod_{i \in I} a_i$ στο ανάπτυγμα της ορίζουσας.

Ο συντελεστής θα είναι η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει αν αγνοήσουμε όλες τις σειρές και όλες τις στήλες με δείκτη

για κάθε $i \in I$ .

Αυτή όμως η ορίζουσα ισούται με

εκτός και αν |I|=n-1

οπότε η ορίζουσα ισούται με

. Εξαίρεση έχουμε και στην περίπτωση όπου |I|=n

όπου και ο συντελεστής προφανώς ισούται με

.

Άρα $\displaystyle D = a_1 \cdots a_n + \sum_{i=1}^n \prod_{j \neq i} a_j$

sot arm · #6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 14, 2018 8:43 pm
Να υπολογιστεί η τιμή της $\nu \times \nu$ ορίζουσας:

$\displaystyle{\mathcal{D} = \begin{vmatrix} 1 +a_1& 1 & \cdots &1 \\ 1 & 1+a_2 & \cdots &1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1& 1 & \cdots & 1+a_n \end{vmatrix}}$

Μιας και πιάσαμε τις ορίζουσες σήμερα, δίνω άλλη μία λύση.Πρώτα κάποιοι συμβολισμοί:
$\displaystyle{C_{n}(x)=\mathcal{ \begin{vmatrix} 1 +a_1& 1 & \cdots &1 \\ 1 & 1+a_2 & \cdots &1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1& 1 & \cdots & 1+x \end{vmatrix}}$
Και $\displaystyle{D_{n}=C_{n}(a_{n})}$
η ζητούμενη ορίζουσα για n όρους.
Η $C_{n}(x)$ είναι παραγωγίσιμη με:
$\displaystyle{C_{n}'(x)=\begin{vmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 1+a_2 & \cdots &1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1& 1 & \cdots & 1+x \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 1 +a_1& 1 & \cdots &1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1& 1 & \cdots & 1+x \end{vmatrix}+...+\begin{vmatrix} 1 +a_1& 1 & \cdots &1 \\ 1 & 1+a_2 & \cdots &1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 +a_1& 1 & \cdots &1 \\ 1 & 1+a_2 & \cdots &1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{vmatrix}=D_{n-1}}$
Πράγμα που προκύπτει αναπτύσοντας ως προς την τελευταία γραμμή.
Άρα έπεται ότι:
$\displaystyle{C_{n}(x)=D_{n-1}\cdot x + c (I)}$
Επίσης έχω:
$\displaystyle{C_{n}(0)=\begin{vmatrix} 1 +a_1& 1 & \cdots &1 \\ 1 & 1+a_2 & \cdots &1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1& 1 & \cdots & 1 \end{vmatrix}}$
η οποία υπολογίζεται εύκολα αφαιρώντας από την πρώτη γραμμή την τελευταία, από την δεύτερη την τελευταία κ.ο.κ. βγαίνει κάτω τριγωνικός με διαγώνιο τα $a_{1},a_{2},...,a_{n-1},1$
Άρα $C_{n}(0)=\prod_{i=1}^{n-1}a_{i}$
Και από την (Ι) για x=0

προκύπτει:
$c=\prod_{i=1}^{n-1}a_{i}$
Συνεπώς αντικαθιστώντας το c βρίσκουμε:
$C_{n}(x)=D_{n-1}\cdot x + \prod_{i=1}^{n-1}a_{i} (I)$
Ακόμα για $x=a_{n}$ έπεται:
$C_{n}(a_{n})=D_{n-1}\cdot a_{n} + \prod_{i=1}^{n-1}a_{i}$
Η αλλιώς:
$D_{n}=D_{n-1}\cdot a_{n} + \prod_{i=1}^{n-1}a_{i}$
Τώρα πλέον με επαγωγή αν θέλουμε να είμαστε αυστηροί και την χρήση της παραπάνω αναδρομικής προκύπτει:
$\displaystyle{D_{n}=\prod_{i=1}^{n}a_{i}+\sum_{i=1}^{n}\prod_{j \neq i}a_{j}}$

ν x ν ορίζουσα

ν x ν ορίζουσα

Re: ν x ν ορίζουσα

Re: ν x ν ορίζουσα

Re: ν x ν ορίζουσα

Re: ν x ν ορίζουσα

Re: ν x ν ορίζουσα

Μέλη σε σύνδεση