Ρητὲς τιμὲς σὲ πολυώνυμα

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 544
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Ρητὲς τιμὲς σὲ πολυώνυμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Δευ Ιουν 25, 2018 2:27 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω x θετικὸς πραγματικός, ὥστε γιὰ κάποιο n\in\mathbb N, οἱ ἀριθμοὶ
\displaystyle{ 
x^n+\frac{1}{x^n}, \quad x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}}, 
}
νὰ εἶναι ρητοί. Δείξατε ὅτι \displaystyle x+\frac{1}{x}\in\mathbb Q.



Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1393
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ρητὲς τιμὲς σὲ πολυώνυμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Ιουν 25, 2018 5:19 pm

Έστω \displaystyle x^n + \frac{1}{x^n} = r_n \in \mathbb{Q} και \displaystyle x^{n+1} + \frac{1}{x^{n+1}} = r_{n+1} \in \mathbb{Q}.

Οι ρίζες του πολυωνύμου P_n (t) \equiv t^{2n} - r_n t^n + 1 \in \mathbb{Q}[t] είναι \displaystyle x e^{2k \pi i / n}, \ \frac{1}{x} e^{2k \pi i / n} \ (k = 0,...,n-1) και αντίστοιχα του P_{n+1}(t) \equiv t^{2n+2} - r_{n+1} t^{n+1} + 1 \in \mathbb{Q}[t] είναι \displaystyle x e^{2k \pi i / (n+1)}, \ \frac{1}{x} e^{2k \pi i / (n+1)} \ (k = 0, ..., n).

Προφανώς τα δύο σύνολα ριζών έχουν το πολύ δύο κοινά στοιχεία (τα \displaystyle x, \frac{1}{x}) και έτσι το ανάγωγο πολυώνυμο του (αλγεβρικού) x έχει βαθμό το πολύ 2. Αν ο βαθμός του είναι 1 τότε x \in \mathbb{Q} και το ζητούμενο προφανώς ισχύει. Αν είναι 2 τότε το ανάγωγο πολύωνυμο είναι \displaystyle t^2 - \left( x + \frac{1}{x} \right) t + 1 \in \mathbb{Q}[t], οπότε \displaystyle x + \frac{1}{x} \in \mathbb{Q}.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες